九年级数学下册期末高效复习专题4相似三角形含解析浙教版20180615288.wps

专题 4 4 相似三角形 题型一 比例线段、平行线分线段成比例定理 24 例 1 如图 1，已知 ABCDEF，ADAF35，BE12，那么 CE 的长等于_ _ 5 图 1 AD BC 3 BC 36 36 24 【解析】 ABCDEF， ，即 ，BC ，CEBEBC12 . AF BE 5 12 5 5 5 左上 右上 【点悟】 利用平行线分线段成比例定理解题时，要注意找好对应线段，通常用 ， 左下 右下 左上 右上 等关系分段寻找 左全 右全 变式跟进 1 2017·镇 江 如 图 2， ABC 中 ， AB 6， DE AC， 将 BDE 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 得 到 BDE，点 D 的对应点落在边 BC 上，已知 BE5，DC4，则 BC 的长为_2 34_ 图 2 BD BE 【解析】 “由条件DEAC”可得BDEBAC，即有 ；由题意可得 BEBE5， BA BC x4 5 BDBDBCDCBC4，AB6.设 BCx，由，可列方程： ，解得 x2 6 x 34 (负值舍去)，故 BC 的长为 2 34. 题型二 相似三角形的判定 例 2 2017·祁阳期末已知：如图 3，12，AB·ACAD·AE. 图 3 1 求证：CE. 证明：在ABE 和ADC 中，AB·ACAD·AE， AB AE ，又12， AD AC ABEADC， CE. 【点悟】 判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定 理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定 3)或找夹边成比例(用判定 2)；(3)条 件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑一对等角或证明 斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也 可找底和腰对应成比例 变式跟进 22017·随州在ABC 中，AB6，AC5，点 D 在边 AB 上，且 AD2，点 E 在边 AC 上， 5 12 当 AE_ 或 _时，以 A，D，E 为顶点的三角形与ABC 相似 3 5 AD AB 2 6 5 【解析】 AA，分两种情况：当 时，ADEABC，即 ，AE ； AE AC AE 5 3 AD AC 2 5 12 5 12 当 时，ADEACB，即 ，AE .综上所述，当 AE 或 时，以 A，D，E 为 AE AB AE 6 5 3 5 顶点的三角形与ABC 相似 32017·嘉兴模拟已知：如图 4，四边形 ABCD 是正方形，PAQ45°，将PAQ 绕着正方 形的顶点 A 旋转，使它与正方形 ABCD 的两个外角EBC 和FDC 的平分线分别交于点 M 和 N， 连结 MN. 图 4 (1)求证：ABMNDA； (2)连结 BD，当BAM 的度数为多少时，四边形 BMND 为矩形，并加以证明 解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形， 2 ABCADCBAD90°， BM，DN 分别是正方形的两个外角平分线， ABMADN135°，MAN45°， BAMAND45°DAN， ABMNDA； (2)当BAM22.5°时，四边形 BMND 为矩形 证明：BAM22.5°，EBM45°， AMB22.5°，BAMAMB， ABBM，同理 ADDN， ABAD，BMDN， 四边形 ABCD 是正方形， ABDADB45°， BDNDBM90°， BDNDBM180°，BMDN， 四边形 BMND 为平行四边形， BDN90°，四边形 BMND 为矩形 题型三 相似三角形的性质 例 3 如图 5，把ABC 沿 AB 边平移到ABC的位置，它们的重叠部分(即图中的阴 影部分)的面积是ABC 的面积的一半，若 AB 2，则此三角形移动的距离 AA_ 2 1_ 图 5 【解析】 设 BC 与 AC交于点 E，由平移的性质知，ACAC，BEABCA，S BEASBCAAB 2AB212，AB 2，AB1，AAABAB 21. 【点悟】 (1)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似三角形对 应高线、中线、角平分线的比等于相似比 变式跟进 42017·自贡如图 6，在ABC 中，MNBC，分别交 AB，AC 于点 M，N，若 AM1，MB2， 3 BC3，则 MN 的长为_1_ 图 6 AM MN 1 MN 【解析】 MNBC，AMNABC， .AM1，MB2，BC3， ，解 AB BC 12 3 得 MN1. 5如图 7，有一块三角形的余料 ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC8 cm，高 AD12 cm，矩形 EFGH 的边 EF 在 BC 边上，G，H 分别在 AC，AB 上，设 HE 的长为 y cm，EF 的长为 x cm. (1)写出 y 与 x 的函数关系式； (2)当 x 取多少时，四边形 EFGH 是正方形？ 图 7 解：(1)BC8 cm，高 AD12 cm，HE 的长为 y cm，EF 的长为 x cm，四边形 EFGH 是矩形， AKADy12y，HGEFx，HGBC， AK HG 12y x AHGABC， ，即 ， AD BC 12 8 3 y12 x； 2 3 (2)由(1)可知，y 与 x 的函数关系式为 y12 x， 2 四边形 EFGH 是正方形，HEEF，即 xy， 3 24 x12 x，解得 x . 2 5 24 答：当 x 时，四边形 EFGH 是正方形 5 题型四 位似图形及其画法 例 4 如图 8，在平面直角坐标系中有ABC，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为( C ) 4 图 8 3 3 1 1 A.( 2 )，( ， ， 2， 2 ) ( ，1 ) 2 2 B(8，6)，(6，2)，(2，4) C(8，6)，(6，2)，(2，4)或(8，6)，(6，2)，(2，4) D(8，6)，(6，2)，(2，4)或(8，6)，(6，2)，(2，4) 【解析】 由坐标系可知，点 A，点 B，点 C的坐标分别为(4，3)，(3，1)，(1，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将ABC放大，则它的对应顶点的坐标为(4×2，3×2)，(3×2，1× 2)，(1×2，2×2)或(4×2，3×2)，(3×2，1×2)，(1×2，2×2)，即(8，6)， (6，2)，(2，4)或(8，6)，(6，2)，(2，4) 【点悟】 如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形与原图形对应点的 坐标比等于 k或k. 变式跟进 62017·烟台如图 9，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为 1.AOB与AOB是以 原点 O为位似中心的位似图形，且相似比为 32，点 A，B都在格点上，则点 B 的坐标是 4 ( 3) 2， 图 9 2 【解析】 由题意，将点 B的横、纵坐标都乘以 ，得点 B的坐标由 B的坐标(3，2)， 3 4 得 B的坐标( . 2，3) 7如图 10，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为 A(2，4)，B(3，2)， C(6，3) 5