2019n阶行列式的计算方法探索毕业论文.doc

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There is no fixed method of calculating the determinant . So we should use different methods to calculate the determinant according to the characteristics of the determinant. In this paper, considering the characteristics of determinant, we provide several common methods to calculate the determinant. Firstly, we list some common methods. For example ：the direct method of calculation by using the determinant definition , the method of changing the determinant into a triangular determinant according to the properties of the determinant, the method of expanding the determinant by line (column)  and the using the known formula method. Secondly, we introduce some special methods : the mathematical conduction method and recursive method , adding the edge method and  the method of the application of Laplace theorem. Between these methods are not independent of each other,but have certain correlation.There are some different methods to calculate a determinant or using several methods to simplify and calculate the same determinant at the same time.This requests us in mastering the determinant of several kinds of method,flexible to use and find one of the most simple method to make complex problem simple,In addition,by applying the theorems and the properties of the determinant ,we can solve some problems about elementary algebra andsolid geometry.Key words：n-order determinant ,the property of the determinant, elementary algebra,three-order determinant目 录第一章 前 言第二章 计算行列式的基础方法2.1利用行列式的定义计算2.2利用行列式的性质计算行列式2.3 化为三角形法2.4 行列式按一行（列）展开2.5 加边法2.6 递推法2.7 数学归纳法2.8 线性因子计算法2.9 拆项法2.10 构造法第三章 行列式计算方法的拓展3.1 应用公式和定理计算3.1.1 范德蒙行列式3.1.2 拉普拉斯定理3.2 辅助行列式法3.3 四分块矩阵计算第四章 行列式的应用4.1 行列式在初等代数中的应用4.1.1用行列式分解因式4.1.2 用行列式证明不等式和恒等式4.2 三阶行列式在立体几何中的应用致谢参考文献第一章 前 言 行列式作为研究线性代数的一个必不可少的工具，在线性方程组、矩阵、二次型，以及数学的其他分支里都要用到这方面知识。在行列式中n阶行列式的计算是一个重点，相对于来说也是一个比较难的方面。很多人不能非常熟练的掌握其计算方法。因此行列式的计算问题显得非常的重要。引例：对于二元线性方程组若，则对于低元的方程组，对应的低阶行列式比较好计算。但是我们为了解n元方程组， 那就不得不用面临计算 对于这种n阶行列式的计算方法，除了定义法，我们还能通过其他方法计算吗？第二章 计算行列式的基础方法2.1利用行列式的定义计算行列式的定义 ：n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2.anjn（1）的代数和，这里j1j2.jn是1,2，.，n的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当j1j2.jn是奇排列时，（1）带有负号，当j1j2.jn是偶排列时，（1）带有正号。这一定义可写成这里 表示对所有n阶排列求和。 例1 计算行列式解：这是一个4阶行列式，展开式共有4！=24项，可以看出，对角线上元素乘积的项与次对角线上元素乘积的项值不为零，其余项都为零，而且，所以 =1*2*3*4+1*2*3*4=48;通常来说，利用行列式的定义来解n阶行列值更多的应用于某些特殊的、有规律的行列式，因为它能得到意想不到的效果。而这类行列式一般有一些明显的特征，例如: (1)只有对角线的元素不是零，或者行列式是上、下（反上、下）三角形行列式；(2)中一定有一个元素等于零,或者是有很多项为零; (3)等等。2.2利用行列式的性质计算行列式行列式的完全展开式在行列式的理论中所占的地位是非常重要的，利用它可以导出行列式的某些重要性质，而这些性质在简化行列式的计算中可以起到非常关键的作用。总结行列式的性质，可以分为以下：性质1 行列变换，行列式不变；性质2 某行（列）的公因子可以提到行列式符号外；性质3 如果某一行（列）是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样；性质4 如果行列式中有两行（列）对应元素都相等，那么行列式为零；性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零；性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变；性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。作为行列式的应用，我们来看下面这个例子。 例2 计算n阶行列式：解：当n=1时，D1=a1+b1,；当n=2时，D2=当n时，故 2.3 化为三角形法化三角形法指的是通过行列式的行变换和列变换，使得行列式变成下面的形式：位于主对角线 一侧的所有元素全等于0，这样得到的行列式的值等于主对角线元素的乘积，对于次对角线的情形，行列式的值等于（-1）1/2n(n-1)与次对角线上所有元素的乘积。化三角法一般只适用于一些有规律的、 可以通过简单的初等行列变换变成三角形行列式， 或 者变成爪型行列式、主次对角行列式、平行线形行列式、等的行列式。但对于其它的一些行列式就不是很适合应用。 例3 计算行列式 Dn=解： Dn=（x+(n-1)y） =（x+(n- 1)y） =x+(n- 1)y(x- y)n- 12.4 行列式按一行（列）展开 这种按行列式某行或某列展开的计算方法是运用行列式自身所带有的工具-余子式、代数余子式。下面先介绍余子式和代数余子式的定义：余子式：在n阶行列式中，将元素aij所在的第i行第j列的元素划去后剩下的元素按照位置次序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij，代数余子式：当Aij=（-1）i+jMij，称Aij为元素Aij的代数余子式。在了解了余子式和代数余子式之后，再补充一条关于行列式的值的定理，定理：行列式的值等于它的某一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 因此，我们可以把一个n阶行列式的计算置换成n个（n-1）阶行列式来计算，这种方法通常应用在一般是行列式某一行或某一列含有较多的零时。例4 计算解:原式= 注：由行列式的展开定理，我们可以把有些行列式展开来，展开成若干个低一阶的行列式的代数和，如果有必要的话，我们可以继续展开下去，直到方便计算求和，这种方法叫做降阶法。 例5 计算n 阶行列式D= 解: 依第一列展开得D=+(- 1)n+1y=xn+(- 1)n+1yn2.5 加边法还有一种常用的行列式计算方法-加边法，也就是升阶法。有时候为了方便计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后的行列式必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式容易计算。这就要求我们在选取所加的行和列要根据需要和原行列式的特点。加边法适用于某一行（列）只有一个不相同的元素的情况，也可用于其行（列）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是：这里升阶是为了降价，在*处加上所需要的数，就可以简化行列式的计算，用此法时要注意行列式阶数的变化。 例6 计算n（n2）阶行列式Dn=，其中a1a2.an0 解：先将D n添上一行一列，变成下面的n+1阶行列式： Dn+1=,显然Dn+1=Dn将上式第1行乘以-1加到第i行；第i行乘以-加到第1行（i=2，n）； 按第一行展开得Dn+1=（1+)a1a2.an注：找出每行或每列相同的因子是加边法最大的特点，这样升阶之后，我们就可以利用行列式的性质把绝大部分的元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的目的。当然，有时加边后的行列式的值不一定就等于原行列式的值，不过会与原行列式的值存在一个关系。例如有原行列式Dn，Dn行列式如果直接求值的话，不容易求，加边后的行列式为Dn+1，很容易求得Dn+1的值，两者有比较明确的关系，ADn+BDn+1=C，则可利用这个关系求出行列式Dn的值，这种解法也是同样适用于加边法的。2.6 递推法 递推法也是一种常用的行列式计算方法。递推方法计算行列式是将已知的行列式按行（列）展开成较低阶的同类型的行列式（同类型行列式是指阶数不同，但结构相同的行列式），再找出Dn与Dn-1或Dn与Dn-1、Dn-2（其中Dn、Dn-1、Dn-2结构一定要相同）之间的递推关系，然后利用这个递推公式求出行列式的值。例7 计算行列式 Dn= 解:将Dn按第一行展开,得Dn = ( a + b)Dn- 1 - ab= ( a + b)Dn- 1 - abDn- 2.把上式改写成 Dn - aD n- 1 = b(Dn - 1 - aDn- 2 )利用上述递推关系,递推得到Dn - aDn- 1 = b (Dn- 1 - aDn- 2 )= b2(Dn- 2 - aDn-3 )= bn- 2(D2 - aD 1 ).而D1 = a + b, D2 =a2+ab+b2,将它们代入上式, 得Dn - aDn- 1 = bn, 即Dn = aDn-1 + bn再由此递推关系得 Dn = aDn- 1+ bn= a(aDn- 2 + bn-1）+ bn=a2Dn- 2 +abn-1+bn=an+an-1b+.+abn-1+bn = 2.7 数学归纳法数学归纳法来计算行列式，一般来说是利用不完全归纳法先寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出对猜想的证明。因为对于给定的一个行列式，要猜想其值是比较困难的事情，所以有时是先给定其值，然后再去证明一个与自然数n有关的命题。数学归纳法分为第一、第二数学归纳法。第一数学归纳法：（1）证明当n=1时表达式成立； （2）证明如果当n=k时成立，那么当n=k+1时也同样成立。第二数学归纳法：（1）证明当n=1时命题成立； （2）设nk时命题成立； （3）由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。一般情况下，用第一归纳法来计算行列式就可以了，但有时候用第一归纳法来证明时，仅仅只能归纳假设“n=k时命题成立”，还不能证明出命题对n=k+1也能够成立，所以就要求用更强的归纳假设“nk时命题成立”，也就是用到了第二数学归纳法。用数学归纳法计算行列式时，要看行列式的具体条件，再决定是适用第一数学归纳法还是第二数学归纳法。 例8 证明 Dn=cos, 证明：用第一数学归纳法证明。 当n=1时, ，等式成立； n=2时, D1=cos, 等式成立； 设当n=k 时, 等式成立, 则当n=k+l时,2cos =cos(k+1)=右边，故等式成立，得证。 例9 计算行列式 解：D1=2，D2=4-1=3,D3=8-2-2=4 猜想Dn=n+1 （1）当n=1时验证成立； （2）假设时成立，即有Dk=k+1 当n=k+1时，有 当n=k+1时，猜想成立。2.8 线性因子计算法首先需要了解到以下两个命题：(1) 设行列式D 中的各元素都是a,b 的有理整函数, 若以b 代替a时，行列式的值为零, 则a- b 是原行列式的一个因子。 (2) 设行列式D 的元素都是x 的有理整函数, 如果x=a 时, D 有p行( 列) 各元素变成相同, 那么行列式D 有因式(x- a)p- 1 例10 计算n 阶行列式f(x)=解: 由于以x=a 代入后, 行列式有n 行元素都相同。依命题, f(x)有因式(x- a)n- 1, 将f(x)变形为f(x)=显然f(x)有因式x+(n- 1)a, 因而f(x)=k(x- a)n- 1 x+(n- 1)a,这里k为待定系数。由于f(x)的n 次项xn 的系数为1, 故k=1。从而f(x)=(x- a)n- 1 x+(n- 1)a。2.9 拆项法由行列式的拆项性质得，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得到原行列式的值，此法叫做拆行（列）法。由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一个性质，有时候较容易求出行列式的值。 例11 计算n（n2）阶行列式 解：将D n按第一列拆成两个行列式的和，即 上式等号右端的第一个行列式：第i列减去第一列的i倍，第i列再提取公因式； 第二个行列式：提出第一列的公因子，再分别减去第一列的i倍（i=2,3，。，n）， 则得到当时，;当时，。2.10 构造法根据题设条件构造出一个新行列式再进行计算。 例12 设 证明： 证：构造出多项式： 第三章 行列式计算方法的拓展3.1 应用公式和定理计算3.1.1 范德蒙行列式 N阶范德蒙行列式的形式和结果为：， 例13 计算行列式解：范德蒙行列式应用起来虽然简单，但必须要注意，行列式结构符合范德蒙行列式结构，所以我们计算行列式时需要注意，有些行列式只是结构上与范德蒙行列式结构形似，其实并不符合范德蒙行列式。这往往会导致我们错误的计算行列式。而有的时候有些行列式，从形式上看不是范德蒙行列式，但经过一定的变形之后却是符合范德蒙行列式的形式。所以在计算时务必先小心判断，再解题。3.1.2 拉普拉斯定理拉普拉斯定理：任意取定n级行列式D的某k行（列）（）,由这k行（列）元素所组成的一切k级子式（共有个）与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。从拉普拉斯定理可以看出，对行列式进行计算，有时可以把行列式进行分块处理，然后把分好的行列式块进行一个乘法计算，这样也是可以求解出行列式的值，这种方法即是分块法。 例14 计算N阶行列式：解：利用拉普拉斯定理展开，按第n行展开有3.2 辅助行列式法辅助行列式法是指在行列式D的各元素中加上一个数x，使得新行列式Dn除对角线外，其余的元素均为零，然后计算Dn的主对角线各元素的代数余子式（i=1,2，。，n），由此可得。 例15 计算 解：在Dn的各元素上加上（-a）后，得辅助行列式也称为元素变形法，我们还可以近一步推广，可以把一些行列式进行元素变形，使得原本不容易计算的行列式变的计算十分容易，再通过计算出来的行列式的值与行列式之间的关系来求出原行列式的值。3.3 四分块矩阵计算有如下两个命题：命题1设A、B、C、D都是n阶矩阵，其中，并且AC=CA，则命题2设是一个n阶矩阵，其中A、B、C、D分别是阶的矩阵。（i）若A可逆，则(ii)若D可逆，则我们可以直接利用命题2的结论来计算某些行列式，其方法较为简便，容易掌握。 例16 计算2n阶行列式解：令，则第四章 行列式的应用行列式是研究数学的重要工具之一，应用于多元一次方程组的解、线性方程组、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、n维空间的投影变换、初等代数、解析几何、线性微分方程组等的计算中。下面主要研究和探讨了行列式在初等代数、高中代数和立体几何中的应用。4.1 行列式在初等代数中的应用4.1.1用行列式分解因式利用行列式分解因式，关键在于把所给的多项式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则，下面举几个例子来说明。 例17 分解因式： 解：原式 例18 分解因式： 解：原式 4.1.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道，在行列式的性质中，把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列)的对应元素上，行列式不变；如果行列式中有一行（列）的元素全部为零，那么这个行列式等于零。我们可以利用行列式的这些性质，构造行列式来证明等式和不等式。例19 已知,求证证明：令，则 而，则，命题得证。 例20 已知 求证。证明：令，则命题得证。4.2 三阶行列式在立体几何中的应用由高等数学的相关知识可知，两个不共线非零向量的叉乘表示这两个向量所在平面的法向量。而行列式恰好可以解决垂直问题，因此求一个平面的法向量可以通过构造一个三阶行列式来进行计算。首先我们要知道三阶行列式的运算方法：例21 如图在直四棱柱中，底面为等腰梯形，,分别是棱的中点。(1)证明:直线EE1平面FCC1;(2)求二面角BFC1C的余弦值解：(1)AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，BF=BC=CF，BCF为正三角形ABCD为等腰梯形，BAC=ABC=60°，取AF的中点M连接DM，则DMAB，DMCD以DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(，1，0)，F(，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E（），E1()，设平面CC1F的法向量为，则，取，则直线EE1平面FCC1；（2） ,设平面BFC1的法向量为则，取，则由图可知二面角BFC1C的余弦值为。第五章 小结以上我着重的介绍利用行列式的一些定义和性质来计算行列式，总结了多种计算行列式的方法，通过对这几种方法的熟练掌握和灵活应用，最终会使行列式的运算变的简洁、方便、准确。我们针对具体问题具体行列式的时候，务必要把握行列式的特点，灵活选用计算方法。计算行列式时，应当遵循一个总的原则：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可以运用多种方法计算一个行列式。在学习过程中，我们一定要多总结，多练习，用系统的眼光，发散的思维去解决问题，才能更好的掌握行列式的计算.致谢 大学四年时光已经悄然接近尾声，不得不让人感叹真的是时光如梭啊！我清清楚楚的记得，当我第一次来到南京林业大学时，我所看到的场景，所听到的声音，所遇到的人。樱花开了一年又一年，柳树绿了一季又一季，将近四年的时间，我们的母校发生了很多的变化，在此我真心的祝愿我的母校能够越来越美，更加雄起！ 本论文在完成过程中得到了我的导师-朱敏老师的悉心指导。朱老师多次询问论文的研究进程，主动为我解决论文写作中遇到的困难，在忙碌的教学工作之余，帮助我查找论文的相关文献资料，并且还帮助开拓我的研究思路，对我的论文提出了很多宝贵的建议。因此，本论文的完成也倾注了朱老师的大量心血，在此谨向朱老师真诚的说一句“谢谢”，也祝愿老师工作顺利，越来越年轻美丽！ 我还要感谢5栋108的美女们，我们来自不同的地方，却共同度过了这人生中难忘的四年。我不会忘了临近期末，宿舍熄灯以后还亮着的一盏一盏的小台灯；我也不会忘了没课的时候我们一起出去玩的快乐；我更不会忘了我们一起分享好吃的，用同一双筷子，用同一跟吸管在即将分别的时候，我希望你们每个人的生活都会越来越美好，笑容也越来越灿烂！最后，特别感谢班主任孙老师对我们班级所付出的的心血，祝愿您工作顺利，家庭幸福，女儿越来越可爱。也感谢这四年来所有教过我的老师，感谢您的悉心教导。还有我的家人，感谢你们给我一个美好的家庭环境，感谢你们对我的信任和支持，我爱你们！参考文献1王萼芳，石生明，高等代数（第三版），高等教育出版社，2003年7月；2王彦，N阶行列式几种常见的计算方法；3陈会平，浅谈N阶行列式计算方法的研究，黑龙江科技信息；4陈林，求n阶行列式的几种方法和技巧，科技信息，2007年第8期；5代冬岩，n阶行列式的计算方法和研究，哈尔滨职业技术学院学报，2008年第1期；6黄娟霞，n阶行列式的几种特殊计算方法，吕梁教育学院