第6章习题课.ppt

1,第6章 习题课,2,一. 向量组的线性相关性,1. 向量间的线性运算：加法、数乘。,把向量理解为列矩阵或行矩阵时，事实上就是矩阵的加法 和数乘。,注意: (1)同维向量做加减。 (2)零向量参与运算时，维数与其它向量维数相同。,2. 线性组合、线性表示,(1) 判断向量 可由向量组 线性表示的常用方法,方法1：,只要证出,就可得出,3,方法2：,证下列线性方程组有解,其中,方法3：,利用矩阵的初等行变换,行最简形矩阵,4,(2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论,结论1：,向量 可由向量组 线性表示,结论2：,5,(2) 利用常用结论：,1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。,n1个n维向量线性相关。,部分相关 整体相关；整体无关 部分无关。,3. 线性相关性的判别方法,(1) 一般方法：设数,转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。,原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关； 原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。,6,(3) 利用向量组的秩判断：,当 时， 线性无关。,当 时， 线性相关；,4. 极大无关组的选取或证明,(1) 初等变换法（最常用）,7,解：,是一个极大无关组,并且,考虑：还有那些极大无关组？,8,(2) 极大无关组的证明,方法1：利用定义,线性无关；,9,证明： （往证 与 等价）,向量组 可由向量组 线性表示。,又,向量组 可由向量组 线性表示。,两个向量组等价,也是极大无关组。,10,二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法,初等变换后，看非零行的行数。,三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明,关于向量组的秩的两个重要定理：,11,1. 向量组秩的不等式的证明,证明：,证：（比较向量组秩的大小，通常从各自的极大无关组考虑）,当 或 时，结论显然成立。,设向量组A的极大无关组是,设向量组B的极大无关组是,设向量组B的极大无关组是,12,综上，有,13,有关矩阵秩的重要结论：,使得,即矩阵A可以经过初等变换化为 形式。,14,2. 矩阵秩的不等式的证明,设,设,15,则,又,综上，,16,（2）设,则,17,又,综上,18,证：设 则存在可逆矩阵,使得,又,（令 ）,（令 ）,19,S行,n-S行,可逆,（Q可逆）,20,例4：证明,证：设,则经过初等变换，有,21,3. 矩阵秩的等式的证明,（1）证,思路,（2）证,22,证：,综上，,23,证：设,则,又,由 线性无关，得,综上，,24,即,又,有,25,否则，若0，则K的列向量组 线性相关，则r（K）r，矛盾。,26,由,即,所以假设不成立。,线性无关。,27,4. 用矩阵k阶子式定义证明矩阵秩,下列说法等价,是可逆矩阵,是满秩矩阵,是非奇异矩阵,28,例7：设 是n阶矩阵 的伴随矩阵，,29,(2) 若,则,则,则,综上，,则 中元素全为0，即,