数字信号第5章答案.doc

EDITED BY LB5.1 证明随机变量的均值的线性性质即式(5.16)和式(5.17)。 证明E()=+其中=由于的概率的概率的概率的概率的概率0的概率0所以最后得E=+=E+E另一方面，有Ea=a=aE故随机变量的均值具有线性性质。5.2 已知x(n)和y(n)是不相关的两个随机信号，它们的方差分别是和，求w(n)=x(n)+y(n)的方差。 根据随机信号的均值的线性性质，得到 由于x(n)和y(n)是不相关的两个随机信号，所以在上列最后一个式子中 因此 5.3 设有3个白噪声序列x(n)、x(n)和x(n)，它们分别在区间(-q,0)、(-q/2,q/2)和(0,2)上呈均匀分布。(1) 画出它们的概率密度函数图形。(2) 计算它们各自的均值。(3) 计算它们各自的方差。解(1)、和的概率密度函数分别为 其图形如图所示。xxx (2) 、和的均值 (3) 、和的方差 5.4 已知随机信号x(n)=cos(n+)其中，角频率是常数，初相是在区间(0,2)均匀分布的随机变量。求x(n)的均值和自相关序列，并判别x(n)是否广义平稳随机过程。 x(n)的均值为=Ex(n)=0 =Ex(m)x(n)= = 因为和都与时间起点n无关，只与时间差|n-m|有关，所以x(n)是广义平稳随机过程。5.5 证明一个任意随机信号与一个与其不相关的白噪声序列相乘后，变成为一个白噪声序列。 设任意随机信号为x(n)，白噪声序列为e(n),它们的乘积y(n)=x(n)e(n)。 白噪声序列e(n)的自相关序列为 其中，是白噪声序列e(n)的方差，是单位取样序列。 y(n)的自相关序列为 因为e(n)和x(n)不相关，所以上式可写成 因此y(n)是白噪声序列。5.6 遍历性过程一定是平稳的，平稳随机过程一定是遍历性的，这两个论断正确吗？为什么？5.7 有一随机变量x，它的均值为m、方差为。已知x的N个测量值x(i=0,N-1)是互不相关的，这些测量值的算术平均值=称为取样均值。(1) 求的期望值。(2) 求的方差。5.8 同上题。把=叫做取样方差。(1) 计算取样方差的期望值E。 期望值 = =(2) 若x是高斯随机变量，即x的概率密度函数为p(x)=e求取样方差的方差Var=E(-E)。5.9 x(n)是零均值随机过程的取样序列，d(n)=x(n+1)-x(n)称为差分序列。设该随机过程的功率谱是低通的即S(e)=此外还假设已知随机过程自相关序列的前两个值R(0)和R(1)。(1) 求差分序列的均方值Ed(n). 差分序列的均方值 (2) 证明Ed(n)Ex(n). 因为差分序列的均值为 所以差分序列的方差为 x(n)的功率谱为 上式可视为偶函数的傅里叶级数展开式，级数的前两个系数分别为 和 由于当时，所以 上式中 因此得 即 或 5.10设x(n)是均值为零，方差为的平稳白噪声随机信号，它作用于冲激响应为h(n)的线性非移变系统的输入端，得到输出随机信号y(n)。(1) 求x(n)与y(n)的互相关序列在滞后时间m=0时的取样值R(0)。 解：线性非移变系统的输出y(n)输入x(n)有如下关系 因此 其中，是均值为零、方差为的平稳白噪声随机信号x(n)的自相关序列，有 所以 (2) 求输出信号y(n)的方差。 解：因为x(n)的均值为零，所以y(n)的均值也为零，因此 由于x(n)是一个均值为零、方差为的平稳白噪声随机信号，所以 因此 5.11设有一平稳随机信号x(n)由于下列差分方程表示：x(n)=-式中，a(k=1,p)是p个常数，u(n)是均值为零、方差为的白噪声。求x(n)的自相关序列R(m)的表示式。 解：x(n)的自相关序列为 （1） 式（1）右端第二项 （2） 由于h(n)是因果系统即满足条件h(-m)=0(m>0),所以式（2）成为 Ex(n)u(n+m)= (3) 由题给差分方程可求出系统函数 根据初值定理，有 （4） 将式（4）代入式（3），得 Ex(n)u(n+m)= (5) 将式（5）代入式（1），最后得 这就是x(n)的自相关序列应满足的方程式。5.12有一线性非移变系统，其单位冲激响应为h(n)=,若在该系统输入端作用一个离散随机信号x(n)，则在系统输出端得到y(n)。(1) 求输出信号y(n)的自相关序列。(2) 求输入信号x(n)与输出信号y(n)的互相关序列。(3) 证明(2)所算得的互相关序列是奇序列。(4) 若用x(n)和y(n)构成一个复序列(n), (n)=x(n)+jy(n)请计算(n)的自相关序列。(5) 求用(n)的功率谱。解：(1)首先求h(n)的傅里叶变换 j j 其中 因此，当时 即 由此得到 由于y(n)的功率谱与功率谱有以下关系： 且功率谱与自相关序列之间有傅里叶变换关系，即 所以，最后得到 (2)x(n)与y(n)的互相关序列 Ex(n)y(n+m)Ex(n) (3)因x(n)是实序列，有 h(n)是奇序列，即 h(n)h(n) 所以 即(2)所算得的互相关序列是奇序列。(4)的自相关序列为 EE(x(n)+jy(n)(x(n+m)-jy(n+m) Ex(n)x(n+m)+Ey(n)y(n+m)+jEy(n)x(n+m)-jx(n)y(n+m) 将(1)和(3)的结果，即和代入上式，得2j22j(5)因0，所以0，于是的功率谱为 利用(4)的结果，有 2j22j2 利用(2)的结果，有 故 21j 5.13有一线性非移变系统，它有两个输入端1、2和一个输出端，从输入端1至输出端的单位取样响应为h(n)，从输入端2至输出端的单位取样响应h(n)。当两输入端分别作用有互不相关的两随机序列x(n)和x(n)时，试证明：它们产生的各自对应的输出y(n)和y(n)也是不相关的。 解：因为是线性非移变系统，所以有因此，与的互相关序列为 EE()() 由于和互不相关，因此上式中有 EEE 所以 E EE EE 所以和不相关。5.14有一线性移不变系统，其单位取样响应为h(n)，它由单位取样响应分别为h(n)和h(n) 的两个子系统级联而成。设系统输入端作用有一个白噪声序列x(n)，第1个子系统的输出是y(n)，第2个子系统的输出(也是整个级联系统的输出)是w(n)。设x(n)的均值为零，方差为。(1) 以下3个关系式是否都正确，为什么？(a) (b) (c) 解：因为x(n)的均值为零，所以y(n)的均值也为零，因此E E()() （1）由于x(n)是一个均值为零、方差为的白噪声随机信号，所以 0，将上二式代入式（1），得 所以式（a）是正确的。 根据式（1）的结果，可以得出第2个级联子系统的输出的方差，即 （2）虽然x(n)是一个白噪声随机信号，但是，第1个级联子系统的输出，即第2个级联子系统的输入y(n)，在一般情况下不是白噪声随机信号，因此，在式（2）中的和具有以下性质 所以题中给出的式（b）不正确。 题中给出的式（c），表示整个系统h(n)的输入x(n)和输出的方差之间的关系。由于x(n)是白噪声随机信号，h(n)是线性移不变因果系统，所以式（c）是正确的。 (2)设h(n)=au(n)，h(n)=bu(n)，这里，|a|<1，|b|<1。分别用上面列出的(b)式和(c)式计算，并比较两个计算结果是否相等？哪个结果是正确的？为什么？解：题中给出的级联系统的单位取样响应为 h(n) 用题中给出的式（c）计算，得 （3） 用题中给出的式（b）计算，得 （4） 将分别用题中给出的式（c）和式（b）计算得到的结果式（3）和式（4）比较，可以看出它们是不同的。基于前面说明的理由，用式（c）计算得到的结果即式（3）是正确的。5.15设x(t)是均值为零的连续时间随机信号，它的自相关函数和功率谱分别定义为REx(t)x(t+)和S其中，上标(a)表示针对连续时间(或模拟)信号；滞后时间是连续变量；是模拟信号角频率。 现以周期T对x(t)等间隔取样，得到离散时间信号x(n)x(nT),n取整数。x(n)的自相关序列和功率谱分别定义为R(m)=Ex(n)x(n+m)和Sxx(e)=(1) 求R(m)与R之间的关系。解：按照定义，自相关序列为 Ex(n)(n+m)E(nT) (nT+mT) 因此就是以周期T对的等间隔取样。(2) 求S(e)与S之间的关系。解：根据（1）的结果和的定义，有 （1） 另一方面，根据S(e)的定义，有 （2） 将式（1）表示成无限个积分之和，其中每个积分都在长为的区间上进行，即 （3） 变量置换：，式（3）化为 （4）交换求和与积分的次序，考虑到对于所有整数k和m有，因此式（4）化为 （5）将代入式（5），得 （6）将式（6）与式（2）对照，得 （7）或 （8）(3) 为了不失真地由S(e)得到S,S应满足什么条件？ 解：从式（7）或式（8）可看出，是的周期延拓，周期为。因此，若满足条件0，|>则经过周期延拓后不会发生混叠失真，因而能够不失真地由得到，即有 ，5.16已知连续时间随机信号x(t)的功率谱如图P5.16所示，以周期T对x(t)等间隔取样得到离散时间随机信号x(n)=x(nT)。 (1) 求x(n)的自相关序列R(m)。解：(2) 为了使x(n)是白色随机序列，应如何选择T？解：若，k是正整数，则上式化为 这是白色随机序列的自相关序列的形式。因此，只要取样周期T是的整数倍，那么x(n)就是白色随机序列。5.17假设连续时间随机信号x(t)的功率谱如图P5.17所示，重做5.16题。 解：x(n)的自相关序列为 （1） 式（1）右端第二项 （2） 由于h(n)是因果系统，即满足条件h(-m)=0(m>0),所以式（2）成为 （3） 由题给差分方程可求出系统函数 根据初值定理，有 （4） 将式（4）代入式（3），得 （5） 将式（5）代入式（1），最后得 这就是x(n)的自相关序列应满足的方程式。5.18将题5.16和题5.17推广到一般情况。设连续时间随机信号x(t)的功率谱为S(t)，对 x(t) 以等时间间隔T取样后得到离散时间随机序列x(n)。为使x(n)是白色随机序列，讨论S(t)和T应满足什么条件？5.19设均值为零、方差为的白噪声序列u(n)作用于一个传输函数为H(z)=的线性移不变系统，得到输出信号x(n)。(1) 写出系统的差分方程。解：求系统的差分方程 根据系统函数H(z)=可看出单位取样响应h(n)是有限长序列 因此 x(n) （1）(2) 用系统的冲激响应h(n)表示x(n)的自相关序列R(m)。解：用h(n)表示x(n)的自相关序列 Ex(n)x(nm) E 令rkl，上式变成 其中Eu(n)u(n+m-l) 因此 （2）(3) 利用系统的频率响应H(e)表示x(n)的功率谱S(e)。解：用表示x(n)的功率谱 由于h(k)的自相关序列实际上是h(k)与h(-k)的线性卷积，因此的傅里叶变换等于乘积。这样，对式（2）求傅里叶变换与h(-k)的傅里叶变换的乘积。边样，对式（2）求傅里叶变换，便得到 （3）(4) 证明自相关序列满足差分方程R(m)= 解：由可以求得 这里u(k)表示单位阶跃序列。因此 （4） 将式（4）代入式（2），得 5.20设均值为零、方差为的白噪声序列x(n)作用于一个传输函数为H(z)=的线性移不变系统，得到输出随机信号x(n)。(1) 写出系统的差分方程。解：设系统的输入和输出信号的Z变换分别为U(z)和X(z),于是 由上式得 取逆Z变换，得系统的差分方程 （1） 或 (2) 证明x(n)的自相关序列满足差分方程R(m)= 解：将式（2）代入x(n)自相关序列定义式，得 （3） 设系统的单位取样响应为h(n),则系统的输出为 因此，式（3）中的为 （4） 由于系统是因果系统，有h(m)=0(m<0)或h(-m)=0(m>0)，所以式（4）可写成 （5） 其中h(0)可用初值定理求得 因此，式（5）化为 （6） 将式（6）代入式（3），最后得 5.21设线性移不变系统的传输函数为H(z)=重做题5.20。