第7多元函数微分学.ppt

第7章 多元函数微分学,§7.1 空间解析几何基础,§7.2 多元函数的概念,§7.3 偏导数及其在经济中的应用,§7.4 全微分及其应用,§7.5 多元复合函数与隐函数的微分法,目 录,§7.6 多元函数的极值及其应用,§ 7.1 空间解析几何基础,一、空间直角坐标系,1基本概念,在空间取定一点O，过O作三条具有长度单位且两两相互垂直的数轴：x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称为坐标轴.规定三条坐标轴的正向构成右手系，如图7-1所示，由此构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz直角坐标系，点O称为该坐标系的原点.,.,图7-1,由x轴和y轴确定的平面称为xOy面.类似地，有yOz面和zOx面.,三个坐标平面把空间分成八个部分，每一部分称为卦限，分别用罗马数字，表示.如图7-2所示.,图7-2,设,分别作垂直于,轴，,轴的三个平,和,坐标轴的交点依次为,这三个点在,轴，,轴，,轴上的坐标依次为,可知,任何有序数组,是空间中任意一点，过点,面，它们与三个,就唯一确定了一个有序数组,.则点,反之,将以上过程倒过来,一定对应空间中唯一的一点,这样,空间的点就与有序数,之间建立起一一对应关系，称有序数组,为点,的坐标，并依次称,为点,的横坐标，,组,纵坐标，和竖坐标，记为,.,例1 坐标轴上、坐标面上及卦限中点的坐标各有什么特点？,解 (1) x轴上的点，有y=z=0； y轴上的点，有x=z=0； z轴上的点，有x=y=0.,.,(2) xOy面上的点，有z=0； yOz面上的点，有x=0； xOz面上的点，有y=0. (3) 考察八个卦限中点的坐标的正负号，有如下特点： (+，+，+),(-，+，+),(-，-，+),(+，-，+)，(+，+，-),(-，+，-),(-，-，-),(+，-，-).,.,.,例2 已知点M(1，-2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解 设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则 (1) 由x+1=0，y+(-2)=0，z+3=0，得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为：(-1，2，-3). (2) 由x=1，y+(-2)=0，z+3=0，得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(1，2，-3). 同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3)；关于z轴的对称点的坐标为：(-1，2，3). (3)由x=1，y=-2，z+3=0，得到点M关于xOy面的对称点的坐标为：(1，-2，-3). 同理，M关于yOz面的对称点的坐标为：(-1，-2，3)；,.,.,M关于zOx面的对称点的坐标为：(1，2，3).,2、空间两点间的距离,设,和,为空间中两点，,过点,和,分别作垂直于三个坐标轴的平面，,这六个平面围成一个长方体,（如图7-4所示）.,其棱长分,别为,，,，,和,.,得到空间两点,，,距离为,.,.,图7-4,例3,在z轴上求与两点,和,等距离的点.,解,设所求的点为,，得,即,得,，因此所求的点的坐标为(0，0，11).,.,二、空间曲面及其方程,定义 1 在空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点坐标都满足方程F(x,y,z)=0，而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程F(x,y,z)=0称为曲面S的方程，而曲面S就称为方程F(x,y,z)=0的图形，如图7-5所示,图7-5,.,下列是几种常见的空间曲面：,1.平面,先看平面的一个引例,例4,已知,、,，求,的垂直平分面的方程.,解 设,是所求垂直平分面上任意一点，,则,由空间两点的距离公式可得,整理化简得到垂直平分面的方程为,4x4y6z+5=0 .,可以证明，空间任一个平面方程均可表示为,Ax+By+Cz+D=0,其中A、B、C、D、均为常数且A、B、C不全为0.,上述方程称为平面的一般方程,.,下面是几种特殊的平面方程：,(1)当D=0时，Ax+By+Cz=0表示过原点的平面.,(2)当C=0时，Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面；,当A=0时，By+Cz+D=0表示平行于x轴的平面； 当B=0时，Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面.,(3) Ax+D=0表示平行于yOz平面；By+D=0表示平行于zOx平面.Cz+D=0表示平行于xOy平面.,.,例6 求平行于z轴且过M1(1,0,0)，M2(0,1,0)两点的平面方程.,解 因所求平面平行于z轴，故可设其方程为 Ax+By+D=0. 又点M1和M2都在平面上 可得关系式：A=B=D,代入方程得： DxDy+D=0. 显然D0,消去D并整理可得所求的平面方程为x+y1=0.,2.球面,例7 建立球心在点,、半径为R的球,面方程.,解 设,是球面上的任意一点 .则,即方程,表示球心在,半径为R的球面的方程.,.,例8 方程,表示什么样的曲面?,解 原方程可化为,即方程表示以点,为球心，半径R=5,的球面.,3. 柱面,直线,沿定曲线,平行移动形成的轨迹叫柱面,叫柱面的准线，动直线,叫柱面的母线.,定曲线,例9 由圆,移动而形成的曲面叫圆柱面. (如图7-9),面上的圆,叫做它的准线，这平行于,轴的直线,叫做它的母线.,图7-9,.,只含x，y而缺z的方程F(x，y)=0，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy面上的曲线C：F(x，y)=0.,如方程,表示母线平行于z轴,准线是,xOy平面上的抛物线,的抛物柱面.,同理,表示椭圆柱面.,表示双曲柱面.,4. 几种常见的二次曲面,(1) 椭球面,（,为正的常数）.,所确定的曲面叫椭球面,其中,称为半轴,如图(7-10)所示.,图7-10,由,.,(2) 椭圆抛物面,其中p,q同号.如图a,(3) 双曲抛物面(马鞍面),其中p,q同号.如图b,图a 图b,(4) 双曲面,（,为正常数）,所确定的曲面叫做双曲面.,所确定的曲面叫单叶双曲面 .,其中,所确定的曲面叫双叶双曲面,