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第二章 原子的结构和性质 习题,计算氢原子的基态波函数在 处的比值。 解：氢原子基态波函数为： 该函数在 两处的比较值为： 而,本题的计算结果所表明的物理意义是不言而喻的。而且，如果我们注意到 在r的全部区间内随着r的增大而单调下降这个事实，计算结果的合理性也是显而易见的。,已知氢原子的 试问下列问题： （a） 原子轨道能E=？ （b） 轨道角动量|M|=？轨道磁距|=？ （c） 轨道角动量M和Z轴的夹角是多少度？ （d） 列出计算电子离核平均距离的公式（不必计算出具体 的数值）。 （e） 节面的个数、位置和形状怎样？ （f） 几率密度极大值的位置在何处？ （g） 画出径向分布图。,解： （a） 原子轨道能为： （b） 轨道角动量为： 轨道磁距为：,（c）设轨道角动量M和Z轴的夹角为，则： =900,（d） 电子离核的平均距离的表达式为： (e) 令 ,得： 节面或节点通常不包括 的节面只有一个，即x,y平面（当然，坐标原点也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分.,（f) 几率密度为： 由式可见，若r相同，则当=00或=1800时最大（亦可令 ），以0表示，即：,解之得：,又因：,所以，当 有极大值。 此极大值为：,= 36.4nm-3,(g),根据此式列出D-r数据表：,0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 0 0.015 0.090 0.169 0.195 0.175 0.134 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 0.091 0.057 0.034 0.019 1.02×10-2 5.3×10-3 按表中数据作D-r图，得下图： 由图可见，氢原子 的径向分布图有 个极大（峰）和 个极小（节面），这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在 处，这与最大几率密度对应的 r 值不同，因为二者的物理意义不同。另外，由于径向分布函数只与 有关而与 无关， 、 和 的径向分布图相同。,作氢原子的 图 ，证明 极大值 在 处，并说明两种图形不同的原因。,解：H原子的 分析 、 的变化规律，估计的变化范围及特殊值，选取合适的值，计算出 列于下表：,*从物理图象上来说， 只能接近于0。,0* 0.10 0.20 0.35 0.50 0.70 0.90 1.10 1.30,1.00 0.82 0.67 0.49 0.37 0.25 0.17 0.11 0.07,0 0.03 0.11 0.24 0.37 0.48 0.54 0.54 0.50,1.60 2.00 2.30 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00,0.04 0.02 0.01 0.007 0.003 0.001 0.001 ,0.42 0.29 0.21 0.17 0.09 0.04 0.02 0.01 0.005,根据表中数据作 图 如图2.9（a）和(b)所示。 令 得,即 处有极大值，这与 称为H原子的最可几半径，亦常称为Bohr半径。推广之，核电荷为Z的单电子“原子”，1s态最可几半径为 。,图不同的原因是 的物理意义不同， 表示电子在空间某点出现的几率密度，即电子云。而 的物理意义是：Ddr代表在半径为 和半径为 的两个球壳内找到电子的几率。两个函数的差别在于 不包含体积因素，而Ddr包含了体积因素。由 图可见，在原子核附近，电子出现的几率密度最大，随后几率密度随 的增大单调下降。由 图可见，在原子核附近， 接近于0，随着 的增大， 先是增大，到 时达到极大，随后随 的增大而减小。由于几率密度 随 的增大而减小，而球壳的面积 随 的增大而增大，两个随 变化趋势相反的因素的乘积必然使 出现极大值。,写出Li2+离子的Schrodinger方程，说明该方程中各符号及各项的意义；写出Li2+离子1s态的波函数并计算或回答： （a） 1s电子径向分布最大值离核的距离； （b） 1s电子离核的平均距离； （c） 1s电子几率密度最大处离核的距离； （d）比较Li2+离子的2s和2p态能量的高低； （e） Li原子的第一电离能（按Slater屏蔽常数算有效核电荷）。,解：Li2+离子的Schrodinger方程为： 方程中， 分别代表Li2+的约化质量和电子到核的距离； 分别是Laplace算符、状态函数及该状态的能量， 则分别是Planck常数和真空电容率。方括号内为总 能量算符，其中第一项为动能算符，第二项为势能算符。,Li2+离子1s态的波函数为：,（a）,又 1s电子径向分布最大值在距核 处；,（b）,（c）,因为 随着 的增大而单调下降，所以不能用令一阶导数为0的方法求其最大值离核的距离。分析 的表达式可见， =0 时 最大，因而 也最大。但实际上 不能为0（电子不可能落到原子核上），因此更确切的说法是 趋近于0时1s电子的几率密度最大。 （d）Li2+为单电子“原子”，组态的能量只与主量子数有关，所以2s和2p态简并，即即 E 2s= E 2p. （e）Li原子的基组态为(1s)2(2s)1 。.对2s电子来说，1s电子为其相邻内一组电子，=0.85。因而： 根据Koopmann定理，Li原子的第一电离能为：,已知He原子的第一电离能I1=24.59eV，试计算： （a） 第二电离能； （b） 基态能量； （c） 在1s轨道中两个电子的互斥能； （d） 屏蔽常数； （e） 根据（d）所得结果求H-的能量。,解：（a）He原子的第二电离能I2是下一电离过程所 需要的最低能量，即：,He+是单电子“原子”， 可按单电子原子能级公式计算,因而：,（b）从原子的电离能的定义出发，按下述步骤求He原子基态的能量： 由（1）式得：,将（2）式代入，得：,推而广之，含有n个电子的多电子原子A，其基态能量等于各级电离能之和的负值，即：,（c）用 J(s,s)表示He原子中两个1s电子的互斥能，则： 也可直接由I2减I1求算J(s,s)，两法本质相同。,（d）,（e） H-是核电荷为1的两电子“原子”， 其基态为(1s)2，因而基态能量为：,写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：(a)Si；(b)Mn；(c)Br；(d)Nb；(e)Ni 解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层，电子的自旋相互抵消，各电子的轨道角动量矢量也相互抵消，不必考虑），根据Hund规则推出原子最低能态的自旋量子数S、角量子数L和总量子数J，进而写出最稳定的光谱支项。,（a）Si:Ne3s23p2 (b) Mn： Ar4s23d5,(c) Br：Ar4s23d104p5 (d) Nb：Kr 5s14d4,(e) Ni：Ar4s23d8,写出Na原子的基组态、F原子的基组态和碳原子的激发态（1s22s22p13p1）存在的光谱支项符号。 解： Na原子的基组态为（1s）2(2s)2(2p)6(3s)1。其中1s、2s和2p三个电子层皆充满电子，它们对整个原子的轨道角动量和自旋角动量均无贡献。Na原子的轨道角动量和自旋角动量仅由3s电子决定；L= 0，S = 1/2 ,故光谱项为2S；J只能为1/2 ，故光谱支项为,F原子的基组态为(1s)2(2s)2(2p)5。与上述理由相同，该组态的光谱项和光谱支项只决定于(2p)5组态。根据等价电子组态的“电子空位”关系，(2p)5组态与(2p)1组态具有相同的谱项。因此，本问题转化为推求(2p)1组态的光谱项和光谱支项。这里只有一个电子，S= ½ , L=1 ，故光谱项为2P。又 ， 因此有两个光谱支项：,对C原子激发态(1s)2(2s)2(2p)1(3p)1，只考虑组态(2p)1(3p)1即可。2P和3P电子是不等价电子，因而(2p)1(3p)1组态不受Pauli原理限制，可按下述步骤推求其谱项：由 。因此可得6个光谱项：3D，3P，3S，1D，1P，1S。根据自旋一轨道相互作用，每一光谱项又分裂为数目不等的光谱支项，例如，对3D光谱项，S=1，L=2，S和L组合可得J=3，2，1，因而它分裂为3D3，3D2，3D13个支项。6个光谱项共分裂为10个光谱支项： 3D3，3D2，3D1，3P2，3P1，3P0，3S1，1D2，1P1，1S0。,基态Ni原子可能的电子组态为：（a）Ar3d84s2；(b)Ar3d94s1，由光谱实验确定其能量最低的光谱支项为3F4。式判断它是哪种组态。 解：分别求出 ， 两种电子组态能量最低的光谱支项，与实验结果对照，即可确定正确的电子组态。 组态 ： 。因此，能量最低的光谱支项为3F4，与光谱实验结果相同。 组态 ： 。因此，能量最低的光谱支项为3D3，与光谱实验结果不同。 所以，基态Ni原子的电子组态为 Ar3d84s2。,