第一章运动学.ppt

力 学,基本物理量,选择不同的基本单位可以构成不同的单位制,长度的 标准,（1）The prototype of meter(米原器)： 1889年的第一届国际计量大会确定“米原器”为国际长度基准，它规定1米就是米原器在0oC时两端的两条刻线间的距离。米原器的精度可以达到0.1 微米。,国际计量局保存的米原器,铂铱合金的米原器,在1983年，国际计量大会重新定义了1米的标准为光在真空中传播1/299 792 458 秒经过的距离。,-光速的精确值,米原器，保存在法国的国际计量局。世界各国都依照这个原器制作自己的标准原器，并且还要经常到巴黎来与原器进行校准。,为了满足精度的要求，时间的标准现在被定义为:,时间的标准,1秒等于铯-133原子发射的特定波长的光完成9,192,631,770 个振动所需要的时间。,任何重复出现的现象都可作为计时的标准,基于原子发射光波的振动基础之上设计而成的钟称为原子钟;精度为6000年内相差不到1s.,铯原子钟,一秒可以定义为一天的1/86400,将来的钟精度可能会达到3*1010年（1018s）才差1秒,质量的标准是保存在国际计量局中的一个铂铱合金圆柱体(1889年，直径和高均为39mm)，其质量被规定为标准千克(1kg)，又被称为千克原器。其密度约为21500 kg/m3。,质量的标准,千克原器-保存在巴黎附近Sèvres的国际度量衡局内(International Bureau of Weights and Measures)。,千克是最后一个靠人造实物而非基本物理特性来定义的物理量基准。,这个实物千克原器已经存放了100多年，但它不够稳定，在前几年一次检验时“神秘地”比原来轻了50微克。,千克原器的不稳定影响到其它一连串许多物理量的基准。如力(N)、压强(Pa)、能量(J)、功率(W)、电流(A)、电荷(C)、电压(V)、磁感应强度(T)、磁通量(Weber)、以及 发光强度(cd)等等。,“千克”的重新定义,德、俄、澳大利亚等8国的科学家联合研究一个新的标准质量。历时5年，耗资200万欧元，制成一个“完美硅球”，它含有纯度为99.99%的硅-28原子，直径为9.375cm。,为验证圆球体精确度，科学家们从球体表面上随机选择6万个点，用激光光学干扰仪测量各点间的距离。结果表明这个圆球是目前世界上已知最圆的球体，每个测量点到球心的距离误差不超过0.3nm。,力 学,1什么是力学,机械运动是指物体之间或物体各部分之间发生的相对位置的变化。,2力学的分类,根据研究内容分类 运动学（Kinematics）研究物体运动的规律 动力学（Dynamics） 研究物体运动的原因 静力学（Statics） 研究物体平衡时的规律,3数学工具微积分和矢量,力学研究机械运动及其规律的物理学分支。,运动学研究物体位置随时间变化的规律 主要内容有： 四个概念：质点、刚体、参照系、坐标系、 四个基本物理量：位矢、位移、速度、加速度,第一章 运动学,数学知识： 矢量，微分，积分,（位置、轨道、运动状态）,§1 基本概念,一. 质点,一般情况下，物体各部分的运动不相同，在运动的过程中，大小、形状可能改变，这使得运动问题变得复杂。,质点：,具有一定质量，没有大小和形状的理想物体（点）,大小、形状及形变对运动没有影响或影响可以忽略。这时忽略次要因素可引入一个理想化力学模型。,可以将物体抽象为质点的两种情况：,1 . 物体不变形且不作转动时（此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任意一点的运动可以代表所有点的运动）。,2 . 物体本身的线度和它的活动范围相比小得很多时（此时物体的形变及转动显得并不重要）。,研究地球公转,地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺寸的影响，作为质点处理。,质 点,研究地球自转,地球上各点的速度相差很大，地球自身的大小和形状不能忽略，不能作质点处理。,质 点,复杂的物体可以看为许多质点的组合质点系,二、 刚体,从物体而言，我们考虑了它的形状大小，而忽略其形状大小的改变; 从运动而言，我们突出了整个物体的平动、转动，而忽略了质点间的振动或其他变形运动。,在无论多大的外力作用下,形状和大小都保持不变的物体;即在运动过程中任意两点之间的距离都保持不变的物体( )称为刚体.,刚体是一个特殊的质点系,刚体是比质点更接近实际物体的理想模型。,1.刚体模型：,刚体运动基本类型：,i）刚体的平动,平动、,转动、平面运动,若连结刚体上任意两质点的直线，在运动中恒不改变其空间取向，则这种运动称为刚体的平动,二、 刚体,ii）刚体的转动,刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动称为转动。,转轴不随时间变化 - 定轴转动 转轴随时间变化 - 一般转动,iii）刚体的平面运动：质心平动+绕质心转动,二、 刚体,此页车轮图应换成陀螺,对任何一个物体的运动状态的描述，都是相对于另外一个选定的参考物体而言的，只在参考物确定的前提下，物体的运动特性才能相对地确定。 被选作参考的物体就称为参照系。,任何物体都处于运动（机械、物理、化学、生物）和变化中，没有绝对静止的物体。,三、参照系和坐标系,1、参照系,运动的绝对性：,运动的相对性：,对于同一种运动，由于参照系选择的不同可有不同的运动特性,参照系的选择是任意的，视描述运动的方便而定。,二、参照系和坐标系,参照系和坐标系,要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。,常用的坐标系有直角坐标系(x,y,z)，自然坐标系 （n,），极坐标等,2、坐标系,参照系与坐标系的区别,参考系和坐标系,要描述一个运动，首先需要建立参照系，并将对象进行抽象（如质点模型），然后在一定的坐标系中定量求解相关问题。,§2 位置矢量 速度 加速度,一.位置矢量,1、 位置矢量: 用来确定质点所在位置的矢量，,位置矢量是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段,又叫矢径。,简称位矢，,说明 位置矢量是矢量：有大小和方向； 具有瞬时性； 具有相对性； 单位：米（m）,质点的位置随时间按一定规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，叫做运动方程。,2、运动方程：,即,例如：,运动方程,运动学的重要任务之一，就是找出各种具体运动所遵循的运动轨道方程。,轨迹质点在运动时所描绘出的空间径迹。,从运动方程中消去时间 t ，可得质点运动的轨迹方程。,一般轨迹方程是空间曲线。,运动方程,二、位移矢量、路程,位移,反映质点位置变化的物理量，,1、位移矢量:,大小为起点到终点之间的直线距离，方向从初始位置指向末位置。,位矢与位移,位矢依赖于坐标系的选取，而位移与坐标系的选取无关,位移确切反映物体在空间位置的变化, 与过程无关，只决定于质点的始末位置。,与 的含义是什么？是否相同？,S,是质点经过实际路径的长度(图中S),路程,一般：,割线AB的长度。,S,弧线AB的长度。,2、路程:,位移与路程的比较,(2) 一般情况,位移大小不等于路程;,(3) 位移是矢量，路程是标量。,什么情况位移大小等于路程？,不改变方向的直线运动;,(1) P1P2 两点间的路程可以不是唯一的,可以是s 或s´，而位移是唯一的；,三、速度、速率,1）平均速度,速度：表示质点运动快慢及方向的物理量,1、平均速度、平均速率（ ）,平均速度分量表示:,平均速度 方向与 的相同,平均速度大小：,2）平均速率定义为：,平均速度的大小一般不等于平均速率。,？,何时相等？,2 瞬时速度、速率:,当质点做曲线运动时,质点在某一点的速度方向就是轨迹上该点的切线方向。,当t 0 时平均速度 的极限值叫做瞬时速度, 简称速度。,单位：m/s,瞬时速度的大小为：,速度的分量表示：,瞬时速度的大小即为瞬时速率,回顾,1、 位置矢量:,2、位移矢量:,瞬时速度的大小为：,速度的分量表示：,瞬时速度的大小即为瞬时速率,速度是矢量，有大小和方向 匀速运动：速度为恒量 变速运动：速度为变量 速度具有瞬时性；具有相对性；,瞬时加速度,平均加速度,速度的增量,单位：m/s2,四、加速度矢量,描述质点速度大小和方向随时间变化快慢的物理量,加速度分量,加速度合成,加速度的大小,加速度的方向就是时间t 趋近于零时，速度增量的极限方向。,加速度,加速度与速度的方向一般不同。,注：1)加速度是矢量，有大小和方向 匀变速运动：加速度为恒量 非匀变速运动：加速度为变量 2)加速度具有瞬时性；相对性 3) 单位： m·s-2,加速度的方向总是指向轨道曲线凹的一面。,加速度与速度的夹角为0或180；,加速度与速度的夹角等于90；,质点做直线运动:,质点做匀速圆周运动:,质点做一般曲线运动:,规律：,的夹角在 00 至 1800 之间,1 注意区分,加速度,五、 之间的异同与关系,矢量性：,四个量都是矢量，有大小和方向,瞬时性：,相对性：,不同参照系中，同一质点运动描述不同;,比较物理量,（条件：各坐标系间相对静止）,(2) 位矢 ，速度 ，加速度 之间关系,求导,求导,积分,积分,a)由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度 -求导数,b)已知质点的加速度(以及初始速度和初始位置), 可求质点速度及其运动方程 -求积分,质点运动学的两类基本问题：,两类基本问题,消去 t ,得轨迹方程：,（圆）,例题,（1）求轨迹方程,解：,（1）,（2）,（3）求瞬时加速度,可见加速度指向坐标原点，即圆心。,（3）,（沿切线， 常数）,例题,例2：已知一个质点在 x-y平面内移动： 和 , 求质点在t=3s时的 位置，速度 和加速度。,解：,例题,例3 一人站在崖上, 用绳子通过一滑轮向岸边拉一条小船, 如图, 假设崖高为h , 拉绳的速率为v0 , 求：船靠岸的速率 v 和加速度的大小a (用x,h表示)。,解：,例题,注意约束条件,例题,例3一质点在oxy平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。已知ax=2, ay=36t2，t0时 r0=0, v0=0。 求：(1) 此质点的运动方程；(2) 此质点的轨道方程，,解：(1),例题,所以质点的运动方程为：,(2) 上式中消去t，得 y = 3x2 即为轨道方程， 可知是抛物线。,例题,，它受到一阻力,例5 一质点从坐标原点出发沿 x 轴作,v = v (t ), x = x (t ),作用,初速为,试求:,解：,直线运动，,例题,已知质点作匀变速直线运动，加速度大小为a，求该质点的运动方程。,解：,两端积分可得到速度：,(已知t=0 时刻，,采用积分法,采用标量形式,根据速度的定义式：,六、特殊直线运动,两端积分得到运动方程,消去t得到：,匀变速直线运动常用方程,如何扩展到三维情况？,§3 质点的一般运动,一、 运动的叠加原理或运动的独立性原理,曲线运动可以分解为几个独立进行的垂直方向的运动。 当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动乃是各个独立运动的合成结果。,即一个复杂的运动可以看成几个各自独立进行的简单运动叠加而成。,螺旋运动、更一般的曲线运动如何分解？,平抛运动,二、抛体运动,抛体运动: 在竖直平面内，质点的初速度为 ，加速度为重力加速度 g 的运动称为抛体运动.,曲线运动：若质点运动的速度 与加速度 的方向不在同一直线上，质点的运动即为曲线运动.,平抛运动,上抛运动,斜抛运动,其它情况:,抛体运动,斜抛运动,水平方向：匀速运动 竖直方向：竖直上抛运动 轨迹为抛物线,初速度 vx0=v0cos vy0= v0sin,初始位置 x0=0 y0=0,加速度 ax=0 ay= -g,速度 vx= v0cos vy= v0sin g t,人体炮弹,射高：,射程：,=69m,抛体运动,当考虑空气阻力时，计算结果与理想情况不同(见轨迹I),射高和射程都减小，轨迹不再是严格抛物线。,（理想）,（实际 情况）,阻力：,例1一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为a，他沿车前进的斜上方 抛出一球，设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角应为多大？,解：抛出后车的位移：,球的位移：,小孩接住球的条件为：x1=x2; y=0,两式相比得：,自然坐标系,1. 自然坐标系,三、自然坐标系 变速圆周运动的加速度,在运动轨道上任一点建立正交坐标系,其一根坐标轴沿轨道切线方向,正方向与速度 v 相同；,轨迹上各点处，坐标轴的空间方位也不断变化。,规定,显然，坐标原点的空间位置是变化的，,另一根轴沿轨道法线方向，正方向指向相切曲率圆中心。,由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：,由加速度的定义有：,切向加速度和法向加速度,2 自然坐标系下，变速圆周运动的加速度,对圆周运动，可以推出：,代入得：,（R : 圆周半径）,对曲线运动，质点在任意一点的速度方向沿其轨迹切线方向：,an 、a 的推导：,怎样求解 上式第二项？,R为曲线在P点的曲率半径,由于dt 是小量， 与 近似平行，所以 方向近似沿P点的法线方向.,求导,求导,积分,积分,回顾,自然坐标系,变速圆周运动加速度的另一种推导,A,切向加速度和法向加速度,由它与速度方向的夹角给出,的大小：,的方向：,上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径 R 要用曲率半径 代替，即：,四、任意曲线运动,任意曲线运动的加速度,质点减速 ，,讨论:,讨论,1、变速圆周运动时，,质点加速 ，,夹角大于90，速率减小。,夹角小于90，速率增大。,2、任意曲线运动，,加速区域,减速区域,地球公转,（1）a 等于0, an等于0；,（2）a 等于0, an不等于0 ；,（3）a不等于0, an等于0 ；,4、下列情况时，质点各作什么运动？,（4）a ，an 均不等于0。,讨论,匀速直线运动,匀速曲线运动,变速直线运动,变速曲线运动,t = 0 时，,t 时刻，质点运动到位置 s 处。,（3）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行了多少圈。,解：如右图，,例题,例题 一质点沿半径为R的圆周运动，规律为：,（1）t 时刻质点的总加速度的大小；,（2）t 为何值时，总加速度的大小为b ；,质点位于s = 0 的p点处。,，v0、b 都是正的常量。求：,（2）令 a = b ，解得：,（1）t 时刻：,运行圈数：,(3) 代入 t = v0/b ，可得质点历经的弧长为：,用位矢、速度、加速度描述圆周运动的方法，称线量描述法；,设质点在 xoy 平面内，绕 o 点沿半径为R的轨道作圆周运动。,1、角位置为：,角位移为：,以 ox 轴为参考方向，t 时刻 质点到达 A 点，,圆周运动的角量描述,，矢径与横轴所夹角度,（规定逆时针为正）, ,转过的角度,角量描述法？,则质点的：,如图，,t+t 时刻质点到达 B 点,（单位：rad）,§4 圆周运动的角量描述,一 角位置、角速度、角加速度,圆周运动的角量描述,;,方向：右手螺旋,2. 角速度,3. 角加速度,质点各作什么运动？,讨论：,等于零；,为常数；,随时间变化；,圆周运动的角量描述,方向：与角速度增量方向相同,比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。,圆周运动的角量描述,4. 角量、线量运算关系比较,角、线量对应关系：,匀变速直线运动,匀变速圆周运动,在 t 时间内，质点的角位移为，则 A、B 间的路程（弧长）S 将满足下面的关系:,5. 平面内线量与角量的数值关系,如图 ，质点作圆周运动 ,线量与角量的数值关系,即：,上式两端对时间求导，得:,将速度与角速度的关系代入an的定义式 ,得:,线量与角量的数值关系,二、 刚体的定轴转动,若刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动，则称刚体作绕轴线转动，该直线称转轴。,若转轴是固定不动的，则称刚体作定轴转动,1、转动、定轴转动,转轴是否一定 在刚体上？,2、转动平面:,垂直于转动轴所作的平面(如图）,刚体中任何质点都在各自的转动平面内作圆周运动,刚体平动 等效成质点,刚体转动 如何描述？,采用角量！,规定：俯视转轴，刚体沿逆时针方向转动，为正，反之为负。,其它角量规定同前,飞轮30s内转过的角度：,例：一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1， 因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t = 6s时飞轮的角速度；（3）t = 6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.,飞轮做匀减速转动：,设,该点的切向加速度和法向加速度,转过的圈数,问题:在两个参照系中考察同一物理事件，会有不同的表示形式，这一事实称运动描述的相对性。,§5 相对运动,1 位置矢量、位移的相对性,设A系（x,y,z）相对观察者静止， B系(oxyz).以恒速运动，A、B系的相应轴保持平行.,将上式对时间求导数，得到：,伽利略速度变换定律可以实现一个参考系中的速度相对另一个参考系的速度的转化.,-伽利略速度变换定律,：绝对速度 相对于静止参照系 A ：相对速度 相对于运动参照系 B ： 牵连速度 B相对A的运动速度,绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度,2、速度的相对性,3、加速度的关系,如果 为常量，则两个系中的加速度相同:,即在不同参照系中（以恒定速度相对运动）的观察者测得的运动质点的加速度相同.,绝对加速度 = 相对加速度 + 牵连加速度,例1 雨天一辆客车在水平马路上以 的速度向东开，雨滴在空中以 的速度竖直下落求: 雨滴相对车箱的速度。,解:,绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度,地静系,车动系,雨运动质点,在地面参照系上观察:,v车,利用速度变换式,得到在车箱参照系上观察:,v车,在地面参照系上观察:,例2.一架飞机遇到向东北方向吹的恒定气流，在飞行员驾机朝东偏南飞行时，飞机相对地面却向正东方向飞行。若飞机相对于风的速度 的大小为215km/h，方向东偏南 角；风相对地面的速度 的大小为65km/h，方向北偏东 ，求飞机相对地面速度 的大小。,解：,绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度,y分量的方程：,x分量的方程：,由这两分量方程可解出 角及 的值,质点运动学小结,一、重要概念：,1、位矢、位移、速度、加速度； 2、切向加速度、法向加速度； 3、绝对速度、相对速度、牵连速度,二、基本规律,1、运动叠加性原理 2、运动描述的相对性,三、重要公式,位矢的大小：,2、位移：,1、位矢：,位移大小：,速度大小（速率）：,3、速度：,4、加速度：,5、切向加速度和法向加速度,为曲线在该点处的曲率半径,7 角量:,绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动,8 相对运动( 、 、 ):,