离散型随机变数.ppt

離散型隨機變數,隨機變數 離散型隨機變數的機率分布 期望值 二項分布 超幾何分布 卜瓦松分布,隨機變數,定義(隨機變數) 隨機變數(random variable)是一種函數對應，把樣本空間中每一個樣本點對應到一個數。,例： 連續擲一枚硬幣三次，令H代表正面、T代表反面，則樣本空間為 S =HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT,HHH3, HHT2, TTH1, TTT0 像這樣的一種函數對應，就叫做隨機變數。,如果我們關心的是擲三次所得到的正面總數，則樣本空間中每一個樣本點都會對應一個數字。,隨機變數類型,離散型隨機變數 選修課程修課人數 服務多少位顧客 可能值都是非負整數，非負整數0、1、2、當中的任兩個數之間都有間隔 連續型隨機變數 河川或水庫的可能水位 可能值會連起來，沒有間隔，因此不能用一個個單獨的值代表，而必須用區間表示,隨機變數,定義 若隨機變數的可能值是分散開的，叫做離散型隨機變數(discrete random variable)； 若可能值是連起來的，必須用區間表示，叫做連續型隨機變數(continuous random variable)。,註： 離散型隨機變數會考慮單獨一點的機率 連續型隨機變數則只考慮落在區間的機率，因為任何單獨一點的機率都是0。,離散型隨機變數的機率分布,機率函數,定義(機率函數) 設X為離散型隨機變數，其機率函數(probability function, p.f.)或機率密度函數(probability density function, p.d.f.)定義為 p(x) =PX =x,註： 機率函數用在離散型隨機變數，機率密度函數用在連續型隨機變數。 通常機率質量函數(probability mass function, p.m.f.)用在離散型隨機變數。,離散型隨機變數的機率函數,離散型隨機變數的機率函數p(x)必滿足下列條件： 1. p(x)0對所有x成立。 2.,例4.2-1 連續擲一枚均勻硬幣三次，令X代表擲出之正面總數，試求X之機率分布。,解：,X之機率分布為,期望值與變異數,期望值,定義(期望值) 若離散型隨機變數X的機率函數為p(x)，則X的期望值(expected value, expectation或mean)為,例4.3-1 (續例4.2-3)試求小胖實際需要付的金額(元)之期望值。,解：,期望值為86.25元的直觀意義大約為： 如果小胖重複消費許多次，每次都花費100元，抽獎之後可能有時要付70元，有時要付95元，但許多次的平均，會接近86.25元。,期望值,定義(期望值) 若離散型隨機變數X的機率函數為p(x)，而g為一函數，則g(X)仍是離散型隨機變數，其期望值為,例4.3-3 設有一遊戲規則如下：參加者可擲一均勻硬幣三次，然後可獲得不同金額的獎金，獎金等於正面數的平方再加上1(以元為單位)，而每玩一次要先繳4元。計算玩此項遊戲一次所得金額之期望值，以判斷此遊戲是否公平。,解：,X之機率分布為,X的線性函數之期望值,定理(X的線性函數之期望值) E(aX+b)=aE(X)+b，a，b為常數,以上所列公式可以推廣應用到更多項相加的情況，例如 E(aX2+bX+c)=aE(X2)+bE(X)+c,例4.3-4 (續例4.3-3)同樣的遊戲，如果獎金金額改為h(X)=2X2-3X+1，X代表正面總數，則玩此項遊戲一次所得金額的期望值是多少？,解：,變異數,定義(變異數) 隨機變數X的變異數(variance)為 2 =V(X) =E(X-)2 ，標準差(standard deviation)為 。,註： 2 =V(X) =E(X-)2=E(X2)- 2,例4.3-5 設X為離散型隨機變數，機率函數如下，試求X之變異數及標準差：,解：,X之期望值：,X的線性函數之變異數,定理(X的線性函數之變異數) V(aX+b)=a2V(X),例4.3-7 (續例4.3-5)設X為離散型隨機變數，機率函數如下，試求2X -3之變異數及標準差：,解：,變異數性質,因為(X-)20，所以變異數2 = E(X-)2的值必定是非負的。 若2 = E(X-)2=0，則代表X的值沒有任何分散的情況也就是，X等於常數，有人稱這種隨機變數叫做退化的隨機變數(degenerate random variable)。嚴格說來，這樣的X已不夠資格叫做隨機變數了，因為它的值永遠都一樣，毫無變化。,二項分布,二項分布,隨機變數X若符合以下描述，即稱為二項隨機變數(binomial random variable)，其分布稱為二項分布(binomial distribution)，參數為n及p，以符號XB(n,p)表示： 1. 同一隨機試驗重複做n次。 2. 每一次試驗的結果只有兩種可能：成功(S)或失敗(F)。 3. 每一次試驗的成功機率相同，用p代表。 4. 各次試驗之間相互獨立。 5. X等於n次試驗的成功總次數。 符合以上第1項到第4項描述的試驗，便叫做二項隨機試驗(binomial random experiment)。,伯努利試驗,二項式試驗若只做一次，叫做伯努利試驗(Bernoulli trial)。 若令X等於試驗的成功次數，則X的可能值只有0或1(結果得到成功，則X= 1，否則X=0)，我們稱X為伯努利隨機變數，參數為p=P(X= 1)。,二項隨機變數可視為n項互相獨立、參數相同的伯努利隨機變數的和。,設X1,X2,Xn為互相獨立的伯努利隨機變數，p=P(Xi=1)，則 的分布是參數為n、p之二項分布。,例4.4-1 盒子裡裝著1顆白球和2顆紅球。若從盒子中隨意取出一球，記錄顏色後放回，重複執行5次，則5次中紅球正好出現3次的機率是多少？,解：,二項分布的機率函數,若XB(n,p)，則X的機率函數為,二項分布的應用,品管工程師會關心瑕疵品的比例是否過高 因為產品數量太大，通常只能抽驗 抽驗產品屬於取出不放回形式，前後結果之間不獨立 在產品總數量極大，抽出檢查的件數相對來說很小時，取出不放回和取出放回差別不大，可視為前後結果互相獨立 在此假設下，若從生產線上隨機抽出若干件產品來檢驗，則瑕疵品的總件數可視為符合二項分布 精品店關心的是來店的顧客是否有消費 經過長時間的紀錄，發現進店後有消費的顧客比例是p，則n位顧客中的消費人數，亦大致可視為參數為n及p的二項隨機變數。,例4.4-2 某次統計學小考，老師出了10題單選題，每題有4個選項。小翰完全沒讀書，每一題都是瞎猜，試求他(a)恰好答對5題的機率； (b)至少答對6題的機率。答案用式子表示即可，不須計算。,解：,期望值和變異數,若XB(n,p)，則X之期望值和變異數公式為 E(X)=np V(X)=np(1-p),例4.4-5 每期統一發票收執聯末三位數號碼與頭獎中獎號碼末三位相同者，可得六獎，獎金200元。如果某期統一發票共開出三組頭獎號碼(三組的末三位號碼都不相同)，阿邦和家人共蒐集了該期200張發票，則他們會中該期發票六獎的發票張數之期望值會是多少？,解：,若令X代表200張發票中，中6獎的張數，則X B(200， )，因此X的期望值等於,超幾何分布,超幾何分布,總共有N個物件、分成兩類，其中第一類有M件、第二類有N-M件，從N件中任意抽出n件，取出不放回，我們關心的是所抽出n件當中，第一類恰有x件的機率。若令X代表在上述架構下，所抽出n件中第一類的件數，X就叫做超幾何隨機變數，參數為N、M、n，其機率函數如下： 若X為參數N、M、n的超幾何隨機變數，則其機率函數為 x為非負整數 符號max(a, b)，代表a, b中較大的數；符號min(a, b)，則代表a, b中較小的數。,例4.5-1 容器中有3顆紅球、5顆白球，從中任取4顆，取出不放回。令X代表4顆中紅球的顆數，試寫出X的機率函數。,解：,期望值和變異數,若X為參數N、M、n的超幾何隨機變數，其期望值和變異數為,例4.5-3某選修課有15位同學修習，其中四年級4位、三年級11位。某次上課，老師以隨機抽座號的方式任意選出5位同學上台做報告。令X代表5位同學中的四年級同學人數，試求(a) X的機率函數； (b) X的期望值和變異數。,解：,超幾何分布與二項分布,當N很大、n卻很小時參數N、M、n的超幾何隨機分布，可以用參數為n和 的二項分布來逼近。,例4.5-4 某百貨公司週年慶時把2000件過季T恤放在花車用超低價促銷，其中有600件略有瑕疵。阿花很勇猛的隨便抓了10件，試求10件T恤中，瑕疵品不超過2件的機率。,解：,瑕疵品不超過2件的機率,P(X2)大約等於,卜瓦松分布,卜瓦松分布,一大張壁紙上的瑕疵數，某網站在某時段十分鐘之內的上網瀏覽人數，或者某路段一個月之內的車禍數，這些都屬於計次型的離散變數。雖然計次的對象不同，但這類變數常符合某些共同性質，且根據這些性質可以導出一族特定的分布，叫做卜瓦松分布(Poisson distribution)，它有一個參數為特定範圍內的平均發生次數；此處範圍做廣義解釋，有可能是一段時間、或一個區域等等。,參數為的卜瓦松隨機變數X，其機率函數為 其中的e為實數，e= 2.71828。,例4.6-1 假設秘書張小姐所打的文件，平均每一頁有0.5個錯。某天，她替上司打了一份12頁的報告。假設錯誤數X符合卜瓦松分布，試求該份報告當中(a)恰好有2個錯的機率；(b)至少有4個錯的機率；(c)完全沒有錯誤的機率。,解：,期望值和變異數,若X為參數的卜瓦松隨機變數、則其期望值和變異數為 E(X)= V(X)=,例4.6-2 假設某眼科診所在上班日白天(早上9點到下午5點)的求診人數符合卜瓦松分布，平均每小時3位病人。令X代表某個上班日從10：00到11：12的求診人數，求(a)X的期望值和變異數(b)P(X3),解：,(a)從10：00到11：12中間有一小時12分鐘，也就是1.2小時，所以這段時間的平均求診人數是 =31.2=3.6 X的期望值和變異數都等於3.6。,(b) P(X3)= 1-P(X2)=1-0.3027=0.6973,二項分布與卜瓦松分布,當n較大、p卻很小時，,n較大、p很小並沒有一定的標準。 一般來說，n至少應該要滿足n20，且p的大小和n的大小也有關係；n若不夠大，p應該要小些，n若較大，則p不需太小即可。 有教科書就如此建議：若n20且p0.05時，或若n100且p0.10時，適合用卜瓦松分布來逼近二項分布。,例4.6-3 某製造商生產的聖誕樹裝飾用彩色小燈泡中，有3%屬於瑕疵品。現從商店買一盒該廠生產的小燈泡100個，則其中所包含的瑕疵品個數符合參數n=100、p= 0.03的二項分布。利用卜瓦松分布來求100個小燈泡中，瑕疵品不超過4個的機率。,解：,令X代表100個小燈泡中，瑕疵品的個數，則題目所求為P(X4)。,直接用二項分布求機率，必須計算下式,改用卜瓦松分布來逼近，參數為=np=100(0.03)=3，則可得近似機率,