2018中考数学专题突破导学练第10讲一次函数的图象与性质试题20170731225.wps

第 1010 讲一次函数的图象与性质 知识梳理 (1)一次函数 如果 ykxb(k、b 是常数，k0)，那么 y 叫做 x 的一次函数 特别地，当 b0 时，一次函数 ykxb 成为 ykx(k 是常数，k0)，这时，y 叫做 x 的 正比例函数 (2)一次函数的图象 b 一次函数 ykxb 的图象是一条经过(0，b)点和 ( ,0) 点的直线 k 特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线 “”“需要说明的是，在平面直角坐标系中， 直线 并不等价于 一次函数 ykxb(k0)的 图象”，因为还有直线 ym(此时 k0)和直线 xn(此时 k 不存在)，它们不是一次函数图 象 (3)一次函数的性质 当 k0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 b 直线 ykxb 与 y 轴的交点坐标为(0，b)，与 x 轴的交点坐标为 ( ,0) k (4)用函数观点看方程(组)与不等式 任何一元一次方程都可以转化为 axb0(a，b 为常数，a0)的形式，所以解一元一 次方程可以转化为：一次函数 ykxb(k，b 为常数，k0)，当 y0 时，求相应的自变量的 值，从图象上看，相当于已知直线 ykxb，确定它与 x 轴交点的横坐标 y x k b 1 1 二元一次方程组 “对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从 数”的角 y k x b 2 2 度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从 “”形 的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标 任何一元一次不等式都可以转化 axb0 或 axb0(a、b 为常数，a0)的形式，解 一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于 0 或小于 0 时，求自变量相应的取值范围 【考点解析 题型一 一次函数的图象与性质 例 1 1（20172017湖南株洲） 如图示直线 y= x+ 与 x 轴 、y 轴分别交于点 A、B，当直线绕着点 A 按顺时针方向旋转到与 1 x 轴首次重合时，点 B 运动的路径的长度为 【考点】F9：一次函数图象与几何变换；O4：轨迹 【分析】先利用一次函数的解析式可确定 A（1，0），B（0， ），再利用正切的定义求出 BAO=60°，利用勾股定理计算出 AB=2，然后根据弧长公式计算 【解答】解：当 y=0时， x+ =0，解得 x=1，则 A（1，0）， 当 x=0时，y= x+ = ，则 B（0， ）， 在 RtOAB中，tanBAO= = ， BAO=60°， AB= =2， 当直线绕着点 A 按顺时针方向旋转到与 x 轴首次重合时，点 B 运动的路径的长度= = 故答案为 题型二 确定一次函数的解析式 例 2 2（2017宁德）如图，直线 是一次函数 y=kx+b 的图象，若点 A（3，m）在直线 上， 则 m 的值是（ ） A5 B C D7 【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征 【分析】待定系数法求出直线解析式，再将点 A 代入求解可得 2 【解答】解：将（2，0）、 （0，1）代入，得： 解得： ， y= x+1， 将点 A（3，m）代入，得： +1=m， 即 m= ， 故选：C 【点评】本题主要考查直线上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关 键 题型三 一次函数的图象的平移 例 3 3 如图，将八个边长为 1 的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线将图形分成 面积相等的两部分，则将直线向右平移 3 个单位后所得到直线l'的函数关系式为 . 【答案】 9 27 y x 10 10 考点：一次函数图象与几何变换 【解析】 试题分析：设直线 l 和八个正方形的最上面交点为 A，过 A 作 ABOB于 B，B 过 A 作 ACOC 于 C， 正方形的边长为 1， OB=3， 经过原点的一条直线 l 将这八个正方形分成面积相等的两部分， 两边分别是 4， 三角形 ABO面积是 5， 3 1 OBAB=5， 2 10 AB= ， 3 10 OC= ， 3 10 由此可知直线 l 经过（ ，3）， 3 设直线方程为 y=kx， 10 则 3= k， 3 9 k= ， 10 9 直线 l 解析式为 y= x， 10 9 27 y x 将 直线 l 向右平移 3 个单位后所得直线 l的函数关系式为 ； 10 10 9 27 y x 故答 案为： 10 10 题型四一次函数与方程( (组) )、不等式的关系 例 4 4（2017 乌鲁木齐）一次函数 y=kx+b（k，b 是常数，k0）的图象，如图所示，则不等式 kx+b 0 的解集是（ ） Ax2 Bx0 Cx0 Dx2 【考点】FD：一次函数与一元一次不等式；F3：一次函数的图象 【分析】从图象上得到函数的增减性及与 x 轴的交点的横坐标，即能求得不等式 kx+b0 的解 集 【解答】解：函数 y=kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值 y 随 x 的增大而减小， 4 所以当 x2 时，函数值大于 0，即关于 x 的不等式 kx+b0 的解集是 x2 故选 A 【中考热点】 （2017黑龙江）为营造书香家庭，周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书，走了 6 分钟 忘带借书证，小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证，姐姐以原来的速度继续向前行走， 小亮取到借书证后骑单车原路原速前往图书馆，小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书 馆已知单车的速度是步行速度的 3 倍，如图是小亮和姐姐距家的路程 y（米）与出发的时间 x （分钟）的函数图象，根据图象解答下列问题： （1）小亮在家停留了 2 分钟 （2）求小亮骑单车从家出发去图书馆时距家的路程 y（米）与出发时间 x（分钟）之间的函数 关系式 （3）若小亮和姐姐到图书馆的实际时间为 m 分钟，原计划步行到达图书馆的时间为 n 分钟， 则 nm= 30 分钟 【考点】FH：一次函数的应用 【分析】（1）根据路程与速度、时间的关系，首先求出 C、B 两点的坐标，即可解决问题； （2）根据 C、D 两点坐标，利用待定系数法即可解决问题； （3）求出原计划步行到达图书馆的时间为 n，即可解决问题 【解答】解：（1）步行速度：300÷6=50m/min，单车速度：3×50=150m/min，单车时间： 3000÷150=20min，3020=10， C（10，0）， A 到 B 是时间= =2min， B（8，0）， BC=2， 5 小亮在家停留了 2 分钟 故答案为 2 （2）设 y=kx+b，过 C、D（30，3000）， ，解得 ， y=150x1500（10x30） （3）原计划步行到达图书馆的时间为 n 分钟，n= =60 nm=6030=30 分钟， 故答案为 30 【点评】本题考查一次函数的应用、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解 题意，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 【达标检测】 一选择题： 1. （2017呼和浩特）一次函数 y=kx+b 满足 kb0，且 y 随 x 的增大而减小，则此函数的图象 不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】F7：一次函数图象与系数的关系 【分析】根据 y 随 x 的增大而减小得：k0，又 kb0，则 b0再根据 k，b 的符号判断直 线所经过的象限 【解答】解：根据 y 随 x 的增大而减小得：k0，又 kb0，则 b0， 故此函数的图象经过第二、三、四象限， 即不经过第一象限 故选 A 2. （2017甘肃张掖）在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，观察图象可得 （ ） 6 Ak0，b0 Bk0，b0 Ck0，b0 Dk0，b0 【考点】F7：一次函数图象与系数的关系 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可 【解答】解：一次函数 y=kx+b的图象经过一、三象限， k0， 又该直线与 y 轴交于正半轴， b0 综上所述，k0，b0 故选 A 3.如 图 是 甲 、乙 两 车 在 某 时 段 速 度 随 时 间 变 化 的 图 象 ，下 列 结 论 错 误 的 是（ ） A 乙 前 4 秒 行 驶 的 路 程 为 48 米 B 在 0 到 8 秒 内 甲 的 速 度 每 秒 增 加 4 米 /秒 C 两 车 到 第 3 秒 时 行 驶 的 路 程 相 等 D 在 4 至 8 秒 内 甲 的 速 度 都 大 于 乙 的 速 度 【 考 点 】 函 数 的 图 象 【 分 析 】 根 据 函 数 图 象 和 速 度 、 时 间 、 路 程 之 间 的 关 系 ， 分 别 对 每 一 项 进 行 分 析 即 可 得 出 答 案 【 解 答 】 解 ： A、 根 据 图 象 可 得 ， 乙 前 4 秒 行 驶 的 路 程 为 12×4=48 米 ， 正 确 ； B、 根 据 图 象 得 ： 在 0 到 8 秒 内 甲 的 速 度 每 秒 增 加 4 米 秒 /， 正 确 ； C、 根 据 图 象 可 得 两 车 到 第 3 秒 时 行 驶 的 路 程 不 相 等 ， 故 本 选 项 错 误 ； D、 在 4 至 8 秒 内 甲 的 速 度 都 大 于 乙 的 速 度 ， 正 确 ； 7 故 选 C 4. 如图，直线 y= x+4与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、D 分别为线段 AB、OB的中点， 点 P 为 OA上一动点，PC+PD值最小时点 P 的坐标为（ ） A（3，0） B（6，0） C（ ，0） D（ ，0） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题 【分析】根据一次函数解析式求出点 A、B 的坐标，再由中点坐标公式求出点 C、D 的坐标，根 据对称的性质找出点 D的坐标，结合点 C、D的坐标求出直线 CD的解析式，令 y=0即可求 出 x 的值，从而得出点 P 的坐标 【解答】解：作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小，如 图所示 令 y= x+4中 x=0，则 y=4， 点 B 的坐标为（0，4）； 令 y= x+4中 y=0，则 x+4=0，解得：x=6， 点 A 的坐标为（6，0） 点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点， 点 C（3，2）， 点 D（0，2） 8 点 D和点 D 关于 x 轴对称， 点 D的坐标为（0，2） 设直线 CD的解析式为 y=kx+b， 直线 CD过点 C（3，2），D（0，2）， 有 ，解得： ， 直线 CD的解析式为 y= x2 令 y= x2 中 y=0，则 0= x2，解得：x= ， 点 P 的坐标为（ ，0） 故选 C 二填空题： 5. （2016·重庆市 A 卷·4分）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不 同的速度匀速跑步 1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发 30秒后，乙才出发，在跑 步的整个过程中，甲、乙两人的距离 y（米）与甲出发的时间 x（秒）之间的关系如图所示， 则乙到终点时，甲距终点的距离是 175 米 【分析】根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终 点时甲所走的路程，最后用总路程甲所走的路程即可得出答案 【解答】解：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5 米/秒， 设乙的速度为 m 米/秒，则（m2.5）×150=75， 解得：m=3 米/秒， 则乙的速度为 3 米/秒， 乙到终点时所用的时间为： =500（秒）， 此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米）， 甲距终点的距离是 15001325=175（米） 故答案为：175 【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、 9 乙两人所用的时间是解题的关键 6. （20172017 重庆 B B）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从 A 地到 B 地，乙 驾车从 B 地到 A 地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发 6 分钟后，乙才出发，在 整个过程中，甲、乙两人的距离 y（千米）与甲出发的时间 x（分）之间的关系如图所示，当 乙到达终点 A 时，甲还需 18 分钟到达终点 B 【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速 度，可得乙到达 A 站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达 B 站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案 【解答】解：由纵坐标看出甲先行驶了 1 千米，由横坐标看出甲行驶 1 千米用了 6 分钟， 甲的速度是 1÷6= 千米/分钟， 由纵坐标看出 AB两地的距离是 16 千米， 设乙的速度是 x 千米/分钟，由题意，得 10x+16× =16m， 解得 x= 千米/分钟， 相遇后乙到达 A 站还需（16× ）÷ =2 分钟， 相遇后甲到达 B 站还需（10× ）÷ =20 分钟， 当乙到达终点 A 时，甲还需 202=18 分钟到达终点 B， 故答案为：18 【点评】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键 7.将函数 y2xb（b 为常数）的图象位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折至其上方后，所得的折 线是函数 y|2xb|（b 为常数）的图象若该图象在直线 y2 下方的点的横坐标 x 满足 0 x3，则 b 的取值范围为_ 10 【考点】一次函数图形与几何变换 【答案】-4b-2 b 0- 3 2 【解析】根据题意：列出不等式 ，解得-4b-2 x=0 代入y= - 2x - b 满足：- b 2 x=3 代入y=2x+b 满足：6+b 2 8. 在平面直角坐标系中，直线 l：y=x1 与 x 轴交于点 A1，如图所示依次作正方形 A1B1C1O、 正方形 A2B2C2C1、正方形 AnBnCnCn1，使得点 A1、A2、A3、在直线 l 上，点 C1、C2、C3、 在 y 轴正半轴上，则点 Bn的坐标是 （ 2n1， 2n1 ） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质 【分析】先求出 B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题 【解答】解：y=x1 与 x 轴交于点 A1， A1点坐标（1，0）， 四边形 A1B1C1O 是正方形， B1坐标（1，1）， C1A2x 轴， 11 A2坐标（2，1）， 四边形 A2B2C2C1是正方形， B2坐标（2，3）， C2A3x 轴， A3坐标（4，3）， 四边形 A3B3C3C2是正方形， B3（4，7）， B1（20，211），B2（21，221），B3（22，231）， Bn坐标（2n1，2n1） 故答案为（2n1，2n1） 三解答题： 9. 甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从 A 地出发前往 B 地，甲出发 1h 后，y甲、y 乙与 x 之间的函数图象如图所示 （1）甲的速度是 60 km/h； （2）当 1x5 时，求 y乙关于 x 的函数解析式； （3）当乙与 A 地相距 240km 时，甲与 A 地相距 220 km 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）根据图象确定出甲的路程与时间，即可求出速度； 12 （2）利用待定系数法确定出 y乙关于 x 的函数解析式即可； （3）求出乙距 A 地 240km 时的时间，乘以甲的速度即可得到结果 【解答】解：（1）根据图象得：360÷6=60km/h； （2）当 1x5 时，设 y乙=kx+b， 把（1，0）与（5，360）代入得： ， 解得：k=90，b=90， 则 y乙=90x90； （3）令 y乙=240，得到 x= ， 则甲与 A 地相距 60× =220km， 故答案为：（1）60；（3）220 10.（20172017 黑龙江佳木斯）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆 货车从乙地驶往甲地两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离 y1（千米），y2 （千米）与行驶的时间 x（小时）的函数关系图象如图 1 所示 （1）甲、乙两地相距 480 千米 （2）求出发 3 小时后，货车离服务区的路程 y2（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数关 系式 （3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的 时间忽略不计），邮政车离服务区的距离 y3（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数关系图 线如图 2 中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离 相等？ 【考点】FH：一次函数的应用 【分析】（1）根据图 1，根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离； 13 （2）根据图象中的数据可以求得 3 小时后，货车离服务区的路程 y2与行驶时间 x 之间的函数 关系式； （3）分两种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等； 当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等 【解答】解：（1）360+120=480（千米） 故答案为：480； （2）设 3 小时后，货车离服务区的路程 y2与行驶时间 x 之间的函数关系式为 y2=kx+b， 由图象可得，货车的速度为：120÷3=40 千米/时， 则点 B 的横坐标为：3+360÷40=12， 点 P 的坐标为（12，360）， ， 得 ， 即 3 小时后，货车离服务区的路程 y2与行驶时间 x 之间的函数关系式为 y2=40x120； （3）v客=360÷6=60 千米/时， v邮=360×2÷8=90 千米/时， 设当邮政车去甲地的途中时，经过 t 小时邮政车与客车和货车的距离相等， 120+（9040）t=360（60+90）t t=1.2（小时）； 设当邮政车从甲地返回乙地时，经过 t 小时邮政车与客车和货车的距离相等， 40t+60t=480 解得 t=4.8， 综上所述，经过 1.2或 4.8小时邮政车与客车和货车的距离相等 14