2018中考数学专题突破导学练第11讲一次函数的应用试题20170731226.wps

第 1111 讲 一次函数的应用 【知识梳理】 建模思想：解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是 自变量，哪个是自变量的函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值 范围 一次函数的最大(小)值：一次函数 ykxb(k0)自变量 x 的范围是全体实数，图象是直线， 因此没有最大值与最小值 实际问题中的一次函数：自变量的取值范围一般受到限制，其图象可能是线段或射线，根据 函数图象的性质，就存在最大值或最小值 常见类型：(1)求一次函数的解析式；(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题如最值 等 【考点解析】 题型一 利用一次函数进行方案选择 例 1.1. （20172017 宁夏）某商店分两次购进 A、B 两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价 相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 （1）求 A、B 两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定 A 种商品以每件 30元出售，B 种商品以每件 100 元出售为满足市场需求，需 购进 A、B 两种商品共 1000 件，且 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍，请你求出获利 最大的进货方案，并确定最大利润 【分析】（1）设 A 种商品每件的进价为 x 元，B 种商品每件的进价为 y 元，根据两次进货情况 表，可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 B 种商品 m 件，获得的利润为 w 元，则购进 A 种商品（1000m）件，根据总利润 =单件利润×购进数量，即可得出 w 与 m 之间的函数关系式，由 A 种商品的数量不少于 B 种商 品数量的 4 倍，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，再根据一次 函数的性质即可解决最值问题 1 【解答】解：（1）设 A 种商品每件的进价为 x 元，B 种商品每件的进价为 y 元， 根据题意得： ， 解得： 答：A 种商品每件的进价为 20 元，B 种商品每件的进价为 80 元 （2）设购进 B 种商品 m 件，获得的利润为 w 元，则购进 A 种商品（1000m）件， 根据题意得：w=（3020）（1000m）+（10080）m=10m+10000 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍， 1000m4m， 解得：m200 在 w=10m+10000 中，k=100， w 的值随 m 的增大而增大， 当 m=200时，w 取最大值，最大值为 10×200+10000=12000， 当购进 A 种商品 800件、B 种商品 200 件时，销售利润最大，最大利润为 12000 元 【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的 关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出 w 与 m 之间的 函数关系式 题型二 利用一次函数解决分段函数问题 例 2.2. （20172017 重庆 B B）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从 A 地到 B 地， 乙驾车从 B 地到 A 地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发 6 分钟后，乙才出发， 在整个过程中，甲、乙两人的距离 y（千米）与甲出发的时间 x（分）之间的关系如图所示， 当乙到达终点 A 时，甲还需 18 分钟到达终点 B 【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速 度，可得乙到达 A 站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达 B 站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案 【解答】解：由纵坐标看出甲先行驶了 1 千米，由横坐标看出甲行驶 1 千米用了 6 分钟， 2 甲的速度是 1÷6= 千米/分钟， 由纵坐标看出 AB两地的距离是 16 千米， 设乙的速度是 x 千米/分钟，由题意，得 10x+16× =16m， 解得 x= 千米/分钟， 相遇后乙到达 A 站还需（16× ）÷ =2 分钟， 相遇后甲到达 B 站还需（10× ）÷ =20 分钟， 当乙到达终点 A 时，甲还需 202=18 分钟到达终点 B， 故答案为：18 【点评】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键 题型三 利用一次函数解决其他生活实际问题 例 3 3“”低碳环保，绿色出行 的理念得到广大群众的接受，越来越多的人再次选择自行车作为 出行工具，小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以 150米/分的速度骑行一段时间， 休息了 5 分钟，再以 m 米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程 y （米）与时间 x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题： （1）a= 10 ，b= 15 ，m= 200 ； （2）若小军的速度是 120 米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； （3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距 100米？ （4）若小军的行驶速度是 v 米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）， 请直接写出 v 的取值范围 【考点】FH：一次函数的应用 3 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，即可求出 a 值，结合休息的时间为 5 分钟，即可得出 b 值，再根据速度=路程÷时间，即可求出 m 的值； （2）根据数量关系找出线段 BC、OD所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通 过解方程组求出交点的坐标，再用 3000去减交点的纵坐标，即可得出结论； （3）根据（2）结论结合二者之间相距 100 米，即可得出关于 x 的含绝对值符号的一元一次方 程，解之即可得出结论； （4）分别求出当 OD 过点 B、C 时，小军的速度，结合图形，利用数形结合即可得出结论 【解答】解：（1）1500÷150=10（分钟）， 10+5=15（分钟）， ÷（22.515）=200（米/分） 故答案为：10；15；200 （2）线段 BC 所在直线的函数解析式为 y=1500+200（x15）=200x1500； 线段 OD所在的直线的函数解析式为 y=120x 联立两函数解析式成方程组， ，解得： ， 30002250=750（米） 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是 750米 （3）根据题意得：|200x1500120x|=100， 解得：x1= =17.5，x2=20 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5 分钟时和 20分钟时与小军相距 100 米 （4）当线段 OD 过点 B 时，小军的速度为 1500÷15=100（米/分钟）； 当线段 OD过点 C 时，小军的速度为 3000÷22.5= （米/分钟） 结合图形可知，当 100v 时，小军在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两 地） 4 题型四 一次函数的综合应用 例 4 4（2017江西）如图，直线 y=k1x（x0）与双曲线 y= （x0）相交于点 P（2，4）已 知点 A（4，0），B（0，3），连接 AB，将 RtAOB 沿 OP 方向平移，使点 O 移动到点 P，得到 A'PB'过点 A'作 A'Cy 轴交双曲线于点 C （1）求 k1与 k2的值； （2）求直线 PC 的表达式； （3）直接写出线段 AB 扫过的面积 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；FA：待定系数法求一次函数解析式；Q3：坐 标与图形变化平移 【分析】（1）把点 P（2，4）代入直线 y=k1x，把点 P（2，4）代入双曲线 y= ，可得 k1与 k2 的值； （2）根据平移的性质，求得 C（6， ），再运用待定系数法，即可得到直线 PC的表达式； （3）延长 A'C 交 x 轴于 D，过 B'作 B'Ey 轴于 E，根据AOBA'PB'，可得线段 AB扫过的 5 面积=平行四边形 POBB'的面积+平行四边形 AOPA'的面积，据此可得线段 AB扫过的面积 【解答】解：（1）把点 P（2，4）代入直线 y=k1x，可得 4=2k1， k1=2， 把点 P（2，4）代入双曲线 y= ，可得 k2=2×4=8； （2）A（4，0），B（0，3）， AO=4，BO=3， 如图，延长 A'C交 x 轴于 D， 由平移可得，A'P=AO=4， 又A'Cy 轴，P（2，4）， 点 C 的横坐标为 2+4=6， 当 x=6时，y= = ，即 C（6， ）， 设直线 PC的解析式为 y=kx+b， 把 P（2，4），C（6， ）代入可得 ，解得 ， 直线 PC的表达式为 y= x+ ； （3）如图，延长 A'C 交 x 轴于 D， 由平移可得，A'PAO， 又A'Cy 轴，P（2，4）， 点 A'的纵坐标为 4，即 A'D=4， 如图，过 B'作 B'Ey 轴于 E， PB'y 轴，P（2，4）， 点 B'的横坐标为 2，即 B'E=2， 又AOBA'PB'， 线段 AB扫过的面积=平行四边形 POBB'的面积+平行四边形 AOPA'的面积=BO×B'E+AO×A'D=3 ×2+4×4=22 6 【中考热点】 （2017 乌鲁木齐）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地， 两车之间的距离 y（千米）与行驶时间 x（小时）的对应关系如图所示： （1）甲乙两地相距多远？ （2）求快车和慢车的速度分别是多少？ （3）求出两车相遇后 y 与 x 之间的函数关系式； （4）何时两车相距 300 千米 【考点】FH：一次函数的应用 【分析】（1）由图象容易得出答案； （2）由题意得出慢车速度为 =60（千米/小时）；设快车速度为 x 千米/小时，由图象得出 方程，解方程即可； （3）求出相遇的时间和慢车行驶的路程，即可得出答案； （4）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可 【解答】解：（1）由图象得：甲乙两地相距 600 千米； （2）由题意得：慢车总用时 10 小时， 慢车速度为 =60（千米/小时）； 想和快车速度为 x 千米/小时， 由图象得：60×4+4x=600，解得：x=90， 7 快车速度为 90千米/小时，慢车速度为 60千米/小时； （3）由图象得： = （小时），60× =400（千米）， 时间为 小时时快车已到达甲地，此时慢车走了 400千米， 两车相遇后 y 与 x 的函数关系式为 ； （4）设出发 x 小时后，两车相距 300 千米 当两车没有相遇时， 由题意得：60x+90x=600300，解得：x=2； 当两车相遇后， 由题意得：60x+90x=600+300，解得：x=6； 即两车 2 小时或 6 小时时，两车相距 300千米 【达标检测】 1. （2017深圳）如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= （x0）交于 A（2，4），B（a， 1），与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D （1）直接写出一次函数 y=kx+b 的表达式和反比例函数 y= （x0）的表达式； （2）求证：AD=BC 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点 B 的坐标，最后用待定系数法求出直 线 AB的解析式； （2）由（1）知，直线 AB 的解析式，进而求出 C，D 坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即 可得出结论 8 【解答】解：（1）将点 A（2，4）代入 y= 中，得，m=2×4=8， 反比例函数的解析式为 y= ， 将点 B（a，1）代入 y= 中，得，a=8， B（8，1）， 将点 A（2，4），B（8，1）代入 y=kx+b中，得， ， ， 一次函数解析式为 y= x+5； （2）直线 AB 的解析式为 y= x+5， C（10，0），D（0，5）， 如图， 过点 A 作 AEy 轴于 E，过点 B 作 BFx 轴于 F， E（0，4），F（8，0）， AE=2，DE=1，BF=1，CF=2， 在 RtADE中，根据勾股定理得，AD= = ， 在 RtBCF中，根据勾股定理得，BC= = ， AD=BC 2. 某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度若每月用水量不超过 14 吨（含 14 吨），则每吨按政府补贴优惠价 m 元收费；若每月用水量超过 14吨，则超过部分每吨按市场 价 n 元收费小明家 3 月份用水 20吨，交水费 49 元；4 月份用水 18 吨，交水费 42元 9 （1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？ （2）设每月用水量为 x 吨，应交水费为 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）小明家 5 月份用水 26 吨，则他家应交水费多少元？ 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价为 m 元，市场调节价为 n 元，根据题意列出方程组， 求解此方程组即可； （2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内 y 与 x 之间的函数关系，注意自变量的取值范 围； （3）根据小英家 5 月份用水 26 吨，判断其在哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即 可 【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为 m 元，市场调节价为 n 元 ， 解得： ， 答：每吨水的政府补贴优惠价 2 元，市场调节价为 3.5元 （2）当 0x14 时，y=2x； 当 x14 时，y=14×2+（x14）×3.5=3.5x21， 故所求函数关系式为：y= ； （3）2614， 小英家 5 月份水费为 3.5×2621=69 元， 答：小英家 5 月份水费 69吨 【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式 时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围 3.某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x 件已知产销两种产品的 有关信息如下表： 产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件） 甲 6 a 20 200 乙 20 10 400.05x2 80 10 其中 a 为常数，且 3a5 （1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为 y1万元、y2万元，直接写出 y1、y2与 x 的函数 关系式； （2）分别求出产销两种产品的最大年利润； （3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由 【考点】二次函数的应用，一次函数的应用 【答案】 （1）y1=(6-a)x-20（0x200），y2=-0.05x²+10x-40（0x80）；（2） 产销甲 种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为 440 万元；（3）当 3a 3.7 时，选择甲产品；当 a=3.7时，选择甲乙产品；当 3.7a5 时，选择乙产品 【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0x200），y2=-0.05x²+10x-40（0x80）； （2）甲产品：3a5，6-a0，y1随 x 的增大而增大 当 x200 时，y1max1180200a（3a5） 乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0x80） 当 0x80 时，y2随 x 的增大而增大 当 x80 时，y2max440（万元） 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为 440 万元； （3）1180200440，解得 3a3.7 时，此时选择甲产品； 1180200440，解得 a=3.7 时，此时选择甲乙产品； 1180200440，解得 3.7a5 时，此时选择乙产品 当 3a3.7时，生产甲产品的利润高； 当 a=3.7 时，生产甲乙两种产品的利润相同； 当 3.7a5 时，上产乙产品的利润高 4. （20172017 绥化）一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿相同路线 匀速行驶，轿车到达乙城停留一段时间后，按原路原速返回甲城；卡车到达甲城比轿车返回甲 城早 0.5小时，轿车比卡车每小时多行驶 60千米，两车到达甲城弧均停止行驶，两车之间的 路程 y（千米）与轿车行驶时间 t（小时）的函数图象如图所示，请结合图象提供的信息解答 下列问题： （1）请直接写出甲城和乙城之间的路程，并求出轿车和卡车的速度； （2）求轿车在乙城停留的时间，并直接写出点 D 的坐标； 11 （3）请直接写出轿车从乙城返回甲城过程中离甲城的路程 s（千米）与轿车行驶时间 t（小时） 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 【考点】FH：一次函数的应用 【分析】（1）根据图象可知甲城和乙城之间的路程为 180千米，设卡车的速度为 x 千米/时， 则轿车的速度为（x+60）千米/时，由 B（1，0）可得 x+（x+60）=180 可得结果； （2）根据（1）中所得速度可得卡车和轿车全程所用的时间，利用卡车所用的总时间减去轿车 来回所用时间可得结论； （3）根据 s=180120×（t0.50.5）可得结果 【解答】解：（1）甲城和乙城之间的路程为 180 千米， 设卡车的速度为 x 千米/时，则轿车的速度为（x+60）千米/时，由 B（1，0）得 ，x+（x+60）=180 解得 x=60， x+60=120， 轿车和卡车的速度分别为 120千米/时和 60 千米/时； （2）卡车到达甲城需 180÷60=3（小时） 轿车从甲城到乙城需 180÷120=1.5（小时） 3+0.51.5×2=0.5（小时） 轿车在乙城停留了 0.5小时， 点 D 的坐标为（2，120）； （3）s=180120×（t0.50.5）=120t+420 5 “世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各 种品牌的山地自行车相继投放市场顺风车行经营的 A 型车 2015年 6 月份销售总额为 3.2 万 元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400元，若今年 6 月份与去年 6 月份卖 出的 A 型车数量相同，则今年 6 月份 A 型车销售总额将比去年 6 月份销售总额增加 25% 12 （1）求今年 6 月份 A 型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）； （2）该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车 数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A、B 两种型号车的进货和销售价格如表： A 型车 B 型车 进货价格（元/辆） 1100 1400 销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2400 【分析】（1）设去年 A 型车每辆 x 元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题 （2）设今年 7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50m）辆，获得的总利润为 y 元，先求出 m 的 范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题 【解答】解：（1）设去年 A 型车每辆 x 元，那么今年每辆（x+400）元， 根据题意得 ， 解之得 x=1600， 经检验，x=1600 是方程的解 答：今年 A 型车每辆 2000元 （2）设今年 7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50m）辆，获得的总利润为 y 元， 根据题意得 50m2m 解之得 m ， y=（20001100）m+（24001400）（50m）=100m+50000， y 随 m 的增大而减小， 当 m=17时，可以获得最大利润 答：进货方案是 A 型车 17辆，B 型车 33辆 【点评】不同考查一次函数的应用、分式方程等知识，解题的关键是设未知数列出方程解决问 题，注意分式方程必须检验，学会构建一次函数，利用一次函数性质解决实际问题中的最值问 题，属于中考常考题型 13