2018中考数学专题突破导学练第5讲一次方程组及其应用试题20170731253.wps

第 5 5 讲 一次方程（组）及其应用 【知识梳理】 知识点一：等式及方程的有关概念 1等式及其性质 (1)“”用等号 来表示相等关系的式子，叫做等式 (2)等式的性质：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为 0)，所得结果仍是等式 2方程的有关概念：(1)含有未知数的等式叫做方程；(2)使方程左、右两边的值相等的 未知数的值，叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解也叫做根)；(3)方程的两边都是关 于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程 重点：等式的理解与运用 难点：方程定义的理解 知识点二：一元一次方程 1一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等 于 0 的方程叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是 ax b 0( a 0) 2解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项； (5)系数化为 1. 2方程的有关概念：(1)含有未知数的等式叫做方程；(2)使方程左、右两边的值相等的 未知数的值，叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解也叫做根)；(3)方程的两边都是关 于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程 重点： 能够列出方程关系。 难点：结合情景找到数量关系并进行数学模型的建立 知识点三：二元一次方程组及解法 1二元一次方程组 (1)几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组； (2)二元一次方程的一般形式：axbyc0(a0，b0) 2二元一次方程组的解法 (1)代入消元法；(2)加减消元法；(3)图象法 重点：几种解决方程的方法。 难点：利用图像法解决实际方程问题。 知识点四：列方程组解应用题 1列方程(组)解应用题的一般步骤 1 (1)把握题意，搞清楚什么是条件，求什么； (2)设未知数(直接设未知数，问什么就设什么；间接设未知数)； (3)找出能够包含未知数的等量关系(一般情况下设几个未知数，就找几个等量关系)； (4)列出方程(组)； (5)求出方程(组)的解(注意排除增根)； (6)检验(看是否符合题意)； (7)写出答案(包括单位名称) 2列方程(组)解应用题的关键是：确定等量关系. 重点：准确把握解应用题的一般步骤。 难点：确定等量关系. 【考点解析】 考点一： 方程组的有关概念 【例题 1 1】（2016·内蒙古包头·3分）若 2（a+3）的值与 4 互为相反数，则 a 的值为（ ） A1 B C5 D 【考点】解一元一次方程；相反数 【分析】先根据相反数的意义列出方程，解方程即可 【解答】解：2（a+3）的值与 4 互为相反数， 2（a+3）+4=0， a=5， 故选 C 考点二、方程组的解法 【例 1 1】（2016·湖北武汉·8分）解方程：5x23(x2) 【考点】解一元一次方程 【答案】x2 【解析】解：去括号得 5x23x6， 移项合并得 2x4， x2 类型三方程组的应用 为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对 A、B 两类学 校进行改扩建，根据预算，改扩建 2 所 A 类学校和 3 所 B 类学校共需资金 7800 万元，改扩建 3 2 所 A 类学校和 1 所 B 类学校共需资金 5400万元 （1）改扩建 1 所 A 类学校和 1 所 B 类学校所需资金分别是多少万元？ （2）该县计划改扩建 A、B 两类学校共 10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担若 国家财政拨付资金不超过 11800万元；地方财政投入资金不少于 4000万元，其中地方财政投 入到 A、B 两类学校的改扩建资金分别为每所 300 万元和 500万元请问共有哪几种改扩建方 案？ 【分析】（1）可根据“改扩建 2 所 A 类学校和 3 所 B 类学校共需资金 7800 万元，改扩建 3 所 A 类学校和 1 所 B 类学校共需资金 5400万元”，列出方程组求出答案； （2“）要根据 国家财政拨付资金不超过 11800万元；地方财政投入资金不少于 4000”万元 来 列出不等式组，判断出不同的改造方案 【解答】解：（1）设改扩建一所 A 类和一所 B 类学校所需资金分别为 x 万元和 y 万元 由题意得 ， 解得 ， 答：改扩建一所 A 类学校和一所 B 类学校所需资金分别为 1200万元和 1800 万元 （2）设今年改扩建 A 类学校 a 所，则改扩建 B 类学校（10a）所， 由题意得： ， 解得 ， 3a5， x 取整数， x=3，4，5 即共有 3 种方案： 方案一：改扩建 A 类学校 3 所，B 类学校 7 所； 方案二：改扩建 A 类学校 4 所，B 类学校 6 所； 方案三：改扩建 A 类学校 5 所，B 类学校 5 所 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用解决问题的关键是读 懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系 【中考热点】 1. 某次篮球联赛初赛阶段，每队有 10 场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分， 3 负一场得 1 分，积分超过 15分才能获得参赛资格 （1）已知甲队在初赛阶段的积分为 18 分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场； （2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？ 【考点】C9：一元一次不等式的应用；8A：一元一次方程的应用 【分析】（1）设甲队胜了 x 场，则负了（10x）场，根据每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分， 利用甲队在初赛阶段的积分为 18分，进而得出等式求出答案； （2）设乙队在初赛阶段胜 a 场，根据积分超过 15 分才能获得参赛资格，进而得出答案 【解答】解：（1）设甲队胜了 x 场，则负了（10x）场，根据题意可得： 2x+10x=18， 解得：x=8， 则 10x=2， 答：甲队胜了 8 场，则负了 2 场； （2）设乙队在初赛阶段胜 a 场，根据题意可得： 2a+（10a） 15， 解得：a5， 答：乙队在初赛阶段至少要胜 5 场 2. （2017“湖北江汉） 六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知 1 套文具和 3 套图书需 104元，3 套文具和 2 套图书需 116 元，则 1 套文具和 1 套图书需 48 元 【考点】9A：二元一次方程组的应用 【分析】设 1 套文具的价格为 x 元，一套图书的价格为 y 元，根据“1套文具和 3 套图书需 104 元，3 套文具和 2 套图书需 116 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出 x、 y 的值，将其代入 x+y 中，即可得出结论 【解答】解：设 1 套文具的价格为 x 元，一套图书的价格为 y 元， 根据题意得： ， 解得： ， x+y=20+28=48 故答案为：48 【达标检测】 4 1. （2017黑龙江鹤岗）某企业决定投资不超过 20 万元建造 A、B 两种类型的温室大棚经测 算，投资 A 种类型的大棚 6 万元/个、B 种类型的大棚 7 万元/个，那么建造方案有（ ） A2 种 B3 种 C4 种 D5 种 【考点】95：二元一次方程的应用 【分析】直接根据题意假设出未知数，进而得出不等式进而分析得出答案 【解答】解：设建造 A 种类型的温室大棚 x 个，建造 B 种类型的温室大棚 y 个，根据题意可得： 6x+7y20， 当 x=1，y=2 符合题意； 当 x=2，y=1 符合题意； 当 x=3，y=0 符合题意； 故建造方案有 3 种 故选：B 2. （20172017 湖北随州）“小明到商店购买 五四青年节”活动奖品，购买 20 只铅笔和 10本笔记 本共需 110元，但购买 30支铅笔和 5 本笔记本只需 85 元，设每支铅笔 x 元，每本笔记本 y 元， 则可列方程组（ ） A B C D 【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组 【分析】设每支铅笔 x 元，每本笔记本 y 元，根据购买 20只铅笔和 10 本笔记本共需 110元， 但购买 30支铅笔和 5 本笔记本只需 85 元可列出方程组 【解答】解：设每支铅笔 x 元，每本笔记本 y 元， 根据题意得 故选 B 3. （2017山东滨州）某车间有 27 名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天 生产螺母 16个或螺栓 22 个，若分配 x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产 的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ） A22x=16（27x） B16x=22（27x） C2×16x=22（27x） D 2 × 22x=16 （27x） 【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程 5 【分析】设分配 x 名工人生产螺栓，则（27x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按 1：2 配套，可得出方程 【解答】解：设分配 x 名工人生产螺栓，则（27x）名生产螺母， 一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母 16个或螺栓 22 个， 可得 2×22x=16（27x） 故选 D 4.（2017 乌鲁木齐）一件衣服售价为 200元，六折销售，仍可获利 20%，则这件衣服的进价是 100 元 【考点】8A：一元一次方程的应用 【分析】此题的等量关系：实际售价=标价的六折=进价×（1+获利率），设未知数，列方程求 解即可 【解答】解：设进价是 x 元，则（1+20%）x=200×0.6， 解得：x=100 则这件衬衣的进价是 100元 故答案为 100 5. （2017“”乌鲁木齐）我国古代数学名著孙子算经中有 鸡兔同笼 问 题：“今有鸡兔同 笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上 面看有 35个头，从下面看有 94 条腿，问笼中鸡或兔各有多少只？ 【考点】9A：二元一次方程组的应用 【分析】设笼中鸡有 x 只，兔有 y 只，本题中的等量关系有：鸡头+兔头=35头；鸡足+兔足=94 足，需要注意的是，一只鸡有一头两足，一只兔有一头四足 【解答】解：设笼中鸡有 x 只，兔有 y 只，由题意得： ， 解得 答：笼中鸡有 23只，兔有 12 只 6. （2017玉林）某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买 A，B 两种花木共 100 棵绿化操场，其中 A 花木每棵 50元，B 花木每棵 100元 （1）若购进 A，B 两种花木刚好用去 8000元，则购买了 A，B 两种花木各多少棵？ （2）如果购买 B 花木的数量不少于 A 花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低， 6 并求出该购买方案所需总费用 【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用. 【分析】（1）设购买 A 种花木 x 棵，B 种花木 y 棵，根据“A，B 两种花木共 100棵、购进 A，B 两种花木刚好用去 8000”元 列方程组求解可得； （2）设购买 A 种花木 a 棵，则购买 B 种花木（100a）棵，根据“B 花木的数量不少于 A 花木 ”的数量 求得 a 的范围，再设购买总费用为 W，列出 W 关于 a 的解析式，利用一次函数的性质 求解可得 【解答】解：（1）设购买 A 种花木 x 棵，B 种花木 y 棵， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：购买 A 种花木 40棵，B 种花木 60棵； （2）设购买 A 种花木 a 棵，则购买 B 种花木（100a）棵， 根据题意，得：100aa， 解得：a50， 设购买总费用为 W， 则 W=50a+100（100a）=50a+10000， W 随 a 的增大而减小， 当 a=50时，W 取得最小值，最小值为 7500元， 答：当购买 A 种花木 50棵、B 种花木 50棵时，所需总费用最低，最低费用为 7500 元 【点评】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式及一次函数的性质，理解题意找到题 目蕴含的相等关系列出方程和函数解析式，熟练掌握一次函数性质是解题的关键 7. （2016·江西·8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用 10节大小不同的空心套管连接 而成闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第 1 节套管的长度（如图 1 所示）：使 用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图 2 所示）图 3 是这跟鱼竿所有套管都处于完 全拉伸状态下的平面示意图已知第 1 节套管长 50cm，第 2 节套管长 46cm，以此类推，每一 节套管均比前一节套管少 4cm完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套 管间均有相同长度的重叠，设其长度为 xcm （1）请直接写出第 5 节套管的长度； 7 （2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为 311cm，求 x 的值 【考点】一元一次方程的应用 【分析】（1“）根据 第 n 节套管的长度=第 1 节套管的长度4×（n1）”，代入数据即可得 出结论； （2）同（1）的方法求出第 10 节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为 xcm，根 “据 鱼 竿长度=每节套管长度相加（101）×相邻两节套管间的长度”，得出关于 x 的一元一次方 程，解方程即可得出结论 【解答】解：（1）第 5 节套管的长度为：504×（51）=34（cm） （2）第 10 节套管的长度为：504×（101）=14（cm）， 设每相邻两节套管间重叠的长度为 xcm， 根据题意得：（50+46+42+14）9x=311， 即：3209x=311， 解得：x=1 答：每相邻两节套管间重叠的长度为 1cm 8