2018版高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案新人教A版必修4201707241120.wps

1.1.11.1.1 任意角 1.理解任意角的概念. 2.掌握终边相同角的含义及其表示.(重点、难点) 3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法.(易错点) 基础·初探 教材整理 1 任意角的概念 阅读教材 P2P3“第 5”行 以上内容，完成下列问题. 1.角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的 图形. 2.角的表示：如图 111， 图 111 (1)始边：射线的开始位置 OA， (2)终边：射线的终止位置 OB， (3)顶点：射线的端点 O. 这时，图中的角 “可记为 角 ”“或 ”“或简记为”. 3.角的分类：按旋转方向，角可以分为三类： 正角 按逆时针方向旋转形成的角 零角 射线没有作任何旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 时钟经过 1 小时，时针转动的角的大小是_. 【解析】 时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过 12个小时时针转动一个周角， 1 1 故经过 1 个小时时针转动周角的 ，所以转动的角的大小是 ×360°30°. 12 12 【答案】 30° 教材整理 2 象限角与轴线角 1 阅读教材 P3“图 1.13 ”至探究 以上内容，完成下列问题. 1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的 终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角. 2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角. 下列说法： 第一象限角一定不是负角； 第二象限角大于第一象限角； 第二象限角是钝角； 小于 180°的角是钝角、直角或锐角. 其中错误的序号为_(把错误的序号都写上). 【解析】 由象限角定义可知都不正确. 【答案】 教材整理 3 终边相同的角 阅读教材 P3“”探究 以下至 P4“例 1”以上内容，完成下列问题. 1.前提： 表示任意角. 2.表示：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S| k·360°，kZ Z，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和. 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.( ) (2)终边相同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍.( ) (3)终边相同的角的表示不唯一.( ) 【解析】 由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确. 【答案】 (1) (2) (3) 小组合作型 任意角的概念与终边相同的角 (1)已知集合 A第一象限角，B锐角，C小于 90°的角，则下面关系正 确的是( ) 2 A.ABC B.AC C.ACB D.BCC (2)下面与850°12终边相同的角是( ) 【导学号：00680000】 A.230°12 B.229°48 C.129°48 D.130°12 【精彩点拨】 正确理解第一象限角、锐角、小于 90°的角的概念. 【自主解答】 (1)第一象限角可表示为 k·360°k·360°90°，kZ Z；锐角可表 示为 0°90°，小于 90°的角可表示为 90°.由三者之间的关系可知，选 D. (2)与850°12终边相同的角可表示为 850°12k·360°(kZ Z)，当 k3 时， 850°121 080°229°48. 【答案】 (1)D (2)B 1.判断角的概念问题的关键与技巧： (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可. 2.在 0°到 360°范围内找与给定角终边相同的角的方法： (1)一般地，可以将所给的角 化成 k·360° 的形式(其中 0°360°，kZ Z)， 其中的 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用 连续加 360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减 360°的方式，直到所得结果达到要求 为止. 再练一题 1.有下列说法： 相差 360°整数倍的两个角，其终边不一定相同； 终边相同的角一定相等； 终边关于 x 轴对称的两个角 ， 之和为 k·360°(kZ Z). 其中正确说法的序号是_. 【解析】 不正确.终边相同的两个角一定相差 360°的整数倍，反之也成立； 不正确.由可知终边相同的两个角一定相差 k·360°(kZ Z). 正确.因为终边关于 x 轴对称的两个角，当 (180°，180°)，且 (180°， 180°)时 0°，当 ， 为任意角时，k·360°(kZ Z). 【答案】 3 象限角与区间角的表示 (1)1 154°是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)已知角 的终边在如图 112 所示的阴影部分内，试指出角 的取值范围. 图 112 k·360° 找出0°360°内阴 适合题意的 【精彩点拨】 影部分的角的集合 k Z Z 角的集合 【自主解答】 (1)1 154°4×360°286°，在 0°360°之间，与1 154°终边相同的角 286°，286°是第四象限角.故1 154°角为第四象限角. 【答案】 D (2)阴影在 x 轴上方部分的角的集合为： A|k·360°60°k·360°105°，kZ Z. 阴影在 x 轴下方部分的角的集合为： B|k·360°240°k·360°285°，kZ Z. 所以阴影部分内角 的取值范围是 AB，即|k·360°60°k·360°105°，k Z Z|k·360°240°k·360285°，kZ Z，其中 B 可以化为：|k·360° 180°60°k·360°180°105°，kZ Z. 即|(2m1)×180°60°(2m1)×180°105°，mZ Z. 集合 A 可以化为 |2m×180°60°2m180°105°，mZ Z. 故 AB 可化为|n·180°60°n·180°105°，nZ Z. 1.象限角的判定方法： (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限. (2)第一步，将 写成 k·360°(kZ,Z,0°360°)的形式； 第二步，判断 的终边所在的象限； 第三步，根据 的终边所在的象限，即可确定 的终边所在的象限. 4 2.表示区间角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360°360°范围内的角 和 ， 写出最简区间x|x，其中 360°； 第三步：起始、终止边界对应角 ， 再加上 360°的整数倍，即得区间角集合. 再练一题 2.写出图 113 中阴影部分(不含边界)表示的角的集合. 【导学号：70512000】 图 113 【解】 在180°180°内落在阴影部分的角的集合为大于45°小于 45°，所以终边 落在阴影部分(不含边界)的角的集合为|45°k·360°45°k·360°，kZ Z. 探究共研型 所在象限的判定方法及角的终边对称问题 k 探究 1 若 是第二象限角，则 是第几象限角？ 3 【提示】 (1)代数推导法： 由题意知 90°k·360°180°k·360°(kZ Z)， 30°k·120° 60°k·120°(kZ Z). 3 故 是第一或第二或第四象限角. 3 (2)画图法： 如图将各个象限 2 等分，从 x 轴正半轴开始逆时针方向依次标注 1,2,3,4，循环下去， 直到填满为止， 就在标注 2 的区域，即第一或第三象限的后半区(如图阴影区域). 2 同理，可得 在第一、二、四象限(如图阴影区域). 3 5 探究 2 若角 与 的终边关于 x 轴、y 轴、原点、直线 yx 对称，则角 与 分别 具有怎样的关系？ 【提示】 (1)关于 x 轴对称：若角 与 的终边关于 x 轴对称，则角 与 的关系 是 k·360°，kZ Z. (2)关于 y 轴对称：若角 与 的终边关于 y 轴对称，则角 与 的关系是 180° k·360°，kZ Z. (3)关于原点对称：若角 与 的终边关于原点对称，则角 与 的关系是 180° k·360°，kZ Z. (4)关于直线 yx 对称：若角 与 的终边关于直线 yx 对称，则角 与 的关系 是 90°k·360°，kZ Z. 已知 为第二象限角，则 2， 分别是第几象限角？ 【导学号：70512001】 2 【精彩点拨】 可由 范围写出 2， 的范围后，直接求得 2 的范围，然后分 k 为奇 2 数或偶 数两种情况确定 的位置. 2 【自主解答】 是第二象限角， 90°k·360°180°k·360°， 180°2k·360°2360°2k·360°，kZ Z， 2 是第三或第四象限角，或是终边落在 y 轴的非正半轴上的角. k k 同理 45° ·360° 90° ·360°. 2 2 2 当 k 为偶数时，不妨令 k2n，nZ Z， 则 45°n·360° 90°n·360°， 2 此时， 为第一象限角； 2 当 k 为奇数时，令 k2n1，nZ Z， 则 225°n·360° 270°n·360°， 2 此时， 为第三象限角. 为第一或第三象限角. 2 2 6 1.解决此类问题，要先确定 的范围，进一步确定出 n 或 的范围，再根据 k 与 n 的 n 关系进行讨论. 2.一般地，要确定 所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的 n 等分射线，它们与 n 坐标轴把圆周等分成 4n 个区域，从 x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环 标上号码 1,2,3,4，则标号为 n 的区域就是根据 所在第几象限时 的终边所落在的区域. n 再练一题 3.若 是第四象限角，则 180° 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】 是第四象限角，则角 应满足：k·360°90°k·360°，kZ Z， k·360°k·360°90°， 则k·360°180°180°k·360°90°180°，kZ Z， 当 k0 时，180°180°270°， 故 180° 为第三象限角. 【答案】 C 1.若 是第一象限角，则 是( ) 2 A.第一象限角 B.第一、四象限角 C.第二象限角 D.第二、四象限角 【解析】 因为 是第一象限角，所以 为第一、三象限角，所以 是第二、四象限 2 2 角. 【答案】 D 2.与457°角终边相同的角的集合是( ) A.|k·360°457°，kZ Z B.|k·360°97°，kZ Z C.|k·360°263°，kZ Z D.|k·360°263°，kZ Z 【解析】 当选项 C 的集合中 k2 时，457°. 7 【答案】 C 3.下列各角中，与角 330°的终边相同的角是( ) A.510° B.150° C.150° D.390° 【解析】 与 330°终边相同的角的集合为 S|330°k·360°，kZ Z， 当 k2 时，330°720°390°，故选 D. 【答案】 D 4.若角 与角 终边相同，则 _. 【解析】 根据终边相同角的定义可知： k·360°(kZ Z). 【答案】 k·360°(kZ Z) 5.在 0°到 360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： (1)120°；(2)640°. 【解】 (1)与120°终边相同的角的集合为 M|120°k·360°，kZ Z. 当 k1 时，120°1×360°240°， 在 0°到 360°范围内，与120°终边相同的角是 240°，它是第三象限的角. (2)与 640°终边相同的角的集合为 M|640°k·360°，kZ Z. 当 k1 时，640°360°280°， 在 0°到 360°范围内，与 640°终边相同的角为 280°，它是第四象限的角. 8