2018版高中数学第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象学案新人教A版必修420170724.wps

1.4.11.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象 的方法.(重点) 2.正、余弦函数图象的简单应用.(难点) 3.正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点) 基础·初探 教材整理 1 正弦曲线和余弦曲线 阅读教材 P30P32“”思考 以上内容，完成下列问题. 1.可以利用单位圆中的正弦线作 ysin x，x0,2的图象. 2.ysin x，x0,2的图象向左、右平行移动(每次 2 个单位长度)，就可以得到正 弦函数 ysin x，xR R 的图象. 3.正弦函数 ysin x，xR R 的图象和余弦函数 ycos x，xR R 的图象分别叫做正弦曲线 和余弦曲线 . 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.( ) (2)正弦函数 ysin x的图象在 x2k，2k2(kZ Z)上的图象形状相同，只是位 置不同.( ) (3)正弦函数 ysin x(xR R)的图象关于 x轴对称.( ) (4)正弦函数 ysin x(xR R)的图象关于原点成中心对称.( ) 【解析】 由正弦曲线的定义可知只有(3)错误. 【答案】 (1) (2) (3)× (4) 教材整理 2“” 正弦曲线和余弦曲线 五点法 作图 阅读教材 P32“”思考 以下至例 1 以上内容，完成下列问题. 1.“”五点法 作图的一般步骤是列表 描点 连线 . 2.画正弦函数 图象的五点 3 (0,0) ( ，1) (，0) ( ，1) (2，0) 2 2 1 画余弦函数 图象的五点 3 (0,1) ( ，0) (，1) ( ，0) (2，1) 2 2 用五点法作函数 y2sin x1 的图象时，首先应指出的五点的横坐标可以是_. 3 3 0， ， ，2；0， ， ， ，； 2 2 4 2 4 2 0，2，3，4；0， ， ， ， . 6 3 2 3 3 【解析】 与作函数 ysin x的图象所取的五点的横坐标一样，应是 0， ， ， 2 2 2. 【答案】 小组合作型 正弦函数、余弦函数图象的初步认识 (1)下列叙述正确的是( ) ysin x，x0,2的图象关于点 P(，0)成中心对称； ycos x，x0,2的图象关于直线 x 成轴对称； 正、余弦函数的图象不超过直线 y1 和 y1 所夹的范围. A.0 B.1 个 C.2 个 D.3 个 (2)对于余弦函数 ycos x的图象，有以下三项描述： 向左向右无限延伸； 与 x轴有无数多个交点； 与 ysin x的图象形状一样，只是位置不同. 其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【精彩点拨】 分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可. 【自主解答】 (1)分别画出函数 ysin x，x0,2和 ycos x，x0,2的图象， 由图象(略)观察可知均正确. (2)如图所示为 ycos x的图象. 2 可知三项描述均正确. 【答案】 (1)D (2)D 1.解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线. 2.正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 再练一题 1.关于三角函数的图象，有下列说法： ysin|x|与 ysin x的图象关于 y轴对称； ycos(x)与 ycos |x|的图象相同； y|sin x|与 ysin(x)的图象关于 x轴对称； ycos x与 ycos(x)的图象关于 y轴对称. 其中正确的序号是_. 【解析】 对，ycos(x)cos x，ycos |x|cos x，故其图象相同； 对，ycos(x)cos x，故其图象关于 y轴对称；作图(略)可知均不正确. 【答案】 “”用 五点法 作三角函数的图象 “” 用 五点法 作出下列函数的简图. (1)y12sin x，x0,2； (2)y2cos x，x0,2. 【导学号：00680015】 【精彩点拨】 在0,2上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可. 【自主解答】 (1)列表： x 0 2 3 2 2 sin x 0 1 0 1 0 12sin x 1 3 1 1 1 3 在直角坐标系中描出五点(0,1)，( ，3)，(，1)( ，1)，(2，1)，然后用光滑曲线 2 2 顺次连接起来，就得到 y12sin x，x0,2的图象. 3 (2)列表： x 0 2 3 2 2 cos x 1 0 1 0 1 2cos x 3 2 1 2 3 描点连线，如图 1.“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与 x轴 的交点. 2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五 个关键点. 再练一题 2.“”用 五点法 作出下列函数的简图. ysin x(0x2). 【解】 列表如下： x 0 2 3 2 2 sin x 0 1 0 1 0 sin x 0 1 0 1 0 描点、连线，如图所示. 正弦(余弦)函数图象的应用 4 1 写出 不等式 sin x 的解集. 2 1 【精彩点拨】 解答本题可利用数形结合，分别画出 ysin x 和 y 的 2 象，通过图象写出不等式的解集. 图 1 【自 主解答】 在同一坐标系下，作函数 ysin x，x0,2的图象以及直线 y . 2 5 1 由函数的图象知，sin sin . 6 6 2 1 5 当 0x2 时，sin x 的解为 x ， 2 6 6 1 不等式 sin x 的解集为 2 Error!. 1.用三角函数的图象解 sin xa(或 cos xa)的方法： (1)作出直线 ya，ysin x(或 ycos x)的图象； (2)确定 sin xa(或 cos xa)的 x 值； (3)选取一个合适周期写出 sin xa(或 cos xa)的解集，要尽量使解集为一个连续区间. 2.用三角函数线解 sin xa(或 cos xa)的方法： (1)找出使 sin xa(或 cos xa)的两个 x 值的终边所在位置. (2)根据变化趋势，确定不等式的解集. 再练一题 3.求函数 y 2sin x1的定义域. 1 【解】 要使 y 2sin x1有意义，则必须满足 2sin x10，即 sin x . 2 结合正弦曲线或三角函数线，如图所示： 知函数 y 2sin x1的定义域为 Error!. 探究共研型 5 与正弦、余弦函数图象有关的零点问题 探究 1 方程 sin xx 的实根个数有多少个？ 【提示】 在同一坐标系内分别作出 ysin x，yx 图象可知在 x0,1内，sin x1 时不会相交，所以方程只有一个实根为 0. 探究 2 函数 f(x) xcos x 在0， )内有多少个零点？ 【提示】 令 f(x)0，所以 xcosx，分别作出 y x，ycosx 的图象(略)，可知两 函数只有一个交点，所以 f(x)在0， )内只有一个零点. x 判断方程 cos x0 根的个数. 4 【精彩点拨】 当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两 个函数图象来求方程解的个数. x 【自主解答】 设 f(x) ，g(x)cos x，在同一直角坐标系中画出 f(x)与 g(x)的图象， 4 如图： x 由图可知，f(x)与 g(x)的图象有三个交点，故方程 cos x0 有三个根. 4 1.求 f(x)Asin x0(A0)或 f(x)Acos x0(A0)的根的个数，运用数形结合，转化 为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于 y1 与 y1 之间，只需 考虑Af(x)A 的 x 的范围，在该范围内 f(x)的图象与 Asin x 或 Acos x 的图象的交点的个 数即方程根的个数. 2.准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解. 再练一题 4.方程 x2cos x0 的实数解的个数是_. 【解析】 作函数 ycos x 与 yx2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解. 6 【答案】 2 1.以下对于正弦函数 ysin x 的图象描述不正确的是( ) A.在 x2k，2k2，kZ Z 上的图象形状相同，只是位置不同 B.关于 x 轴对称 C.介于直线 y1 和 y1 之间 D.与 y 轴仅有一个交点 【解析】 观察 ysin x 的图象可知 A，C，D 正确，且关于原点中心对称，故选 B. 【答案】 B 2.用“五点法”作函数 ycos 2x，xR R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( ) 【导学号：00680016】 3 3 A.0， ， ，2 B.0， ， ， ， 2 2 4 2 4 2 C.0，2，3，4 D.0， ， ， ， 6 3 2 3 3 3 【解析】 令 2x0， ， 和 2，得 x0， ， ， ，故选 B. 2 2 4 2 4 【答案】 B 3.点 M ( ，m)在函数 ysin x 的图象上，则 m 等于( ) 2 A.0 B.1 C.1 D.2 【解析】 由题意msin ，m1，m1. 2 【答案】 C 4.函数 ycos x 与函数 ycos x 的图象( ) A.关于直线 x1 对称 B.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称 【解析】 作出函数 ycosx 与函数 ycosx 的简图(略)，易知它们关于 x 轴对称，故 选 C. 【答案】 C 7 5.“”用 五点法 画出 ycos( x)，x0,2的简图. 2 7 7 【解】 由诱导公式得 ycos( x)sin x， 2 (1)列表： x 0 2 3 2 2 sin x 0 1 0 1 0 3 (2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，( ，1)，(，0)，( ，1)，(2，0). 2 2 (3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来. 8