2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学案新人教A版选.wps

1.1.21.1.2 四种命题 1.1.31.1.3 四种命题间的相互关系 1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.(重点) 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.(难点) 3.利用命题真假的等价性解决简单问题.(难点、易错点) 基础·初探 教材整理 1 四种命题 阅读教材 P4P6，完成下列问题. 1.四种命题的概念 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那 么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把 这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两 个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命 题、逆否命题 . 2.四种命题的形式 原命题：若 p，则 q. 逆命题：若 q，则 p. 否命题：若p，则q. 逆否命题：若q，则p. 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)有的命题没有逆命题.( ) (2)四种命题中，原命题是固定的.( ) (3)“”“”对顶角相等 的否命题为 对顶角不相等 .( ) 【解析】 (1)只要原命题确定了，它的逆命题就确定了，故(1)错. (2)四种命题中原命题具有相对性，故(2)错. (3)“”“对顶角相等 的否命题为 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”，故(3)错. 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理 2 四种命题间的相互关系 1 阅读教材 P6P8，完成下列问题. 1.四种命题之间的相互关系 2.四种命题的真假关系 (1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 (2)四种命题的真假性之间的关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性. 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 . 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题都没有.( ) (2)两个互逆命题的真假性相同.( ) (3)命题“若 a3，则 a6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数 有 3 个.( ) 【解析】 (1)若原命题为假命题，则其逆否命题为假命题，逆命题和否命题可都为假命 题，故(1)对. (2)两个互逆命题的真假性无关，故(2)错. (3)原命题和逆否命题正确，否命题和逆命题错误，故(3)错. 【答案】 (1) (2)× (3)× 小组合作型 四种命题的概念 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题： 2 (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面； (2)如果 x10，那么 x0； (3)当 x2 时，x2x60. 【导学号：97792002】 【精彩点拨】 根据四种命题的结构写出所求命题. 【自主解答】 (1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直 线； 否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面； 逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线. (2)逆命题：如果 x0，那么 x10； 否命题：如果 x10，那么 x0； 逆否命题：如果 x0，那么 x10. (3)逆命题：如果 x2x60，那么 x2； 否命题：如果 x2，那么 x2x60； 逆否命题：如果 x2x60，那么 x2. 1.写出一个命题的其他三种命题的步骤 (1)分析命题的条件和结论； (2)“将命题写成 若 p，则 q”的形式； (3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题. 注意：如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意 各命题中的大前提不变. 2.常见词语的否定 词语 是 都是 至少有 n个 至多有 n个 否定 不是 不都是 至多有 n1 个 至少有 n1 个 再练一题 1.(1)“命题 若 mn，则 m1n2”的逆否命题为_. (2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题： 正数的平方根不等于 0； 若 x2y20(x，yR R)，则 x，y全为 0. 3 【解析】 (1)若 m1n2，则 mn. (2) 逆命题：若一个数的平方根不等于 0，则这个数是正数； 否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于 0； 逆否命题：若一个数的平方根等于 0，则这个数不是正数. 逆命题：若 x，y全为 0，则 x2y20(x，yR R)； 否命题：若 x2y20(x，yR R)，则 x，y不全为 0； 逆否命题：若 x，y不全为 0，则 x2y20(x，yR R). 四种命题真假的判断 把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题， 然后判断它们的真假： (1)正偶数不是素数； (2)平行于同一条直线的两条直线平行. “把命题改写成 若 依据定义写出 【精彩点拨】 p，则q”的形式 另外三种命题 判断真假 【自主解答】 (1)原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题； 逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题； 否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题； 逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题. (2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题. 逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题. 否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题. 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题. 在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命 题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆 否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假. 再练一题 2.下列命题： “ 若 xy1，则 x、y”互为倒数 的逆命题； “” 四边相等的四边形是正方形 的否命题； “” 梯形不是平行四边形 的逆否命题. 其中是真命题的是_. 【解析】“ 若 xy1，则 x，y互为倒数”的逆命题是“若 x，y互为倒数，则 xy 4 1”“，是真命题； 四边相等的四边形是正方形”“的否命题是 四边不都相等的四边形不是正 方形”“，是真命题； 梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题.所 以真命题是. 【答案】 探究共研型 等价命题的应用 探究 1 我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该 怎么办？ 【提示】 可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题. 探究2 根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假，是哪种证明方法的理论基础？ 【提示】 是反证法的理论基础. “ 判断命题 已知 a，x为实数，若关于 x的不等式 x2(2a1)xa220 的解集 不是空集，则 a1”的逆否命题的真假. 【导学号：97792003】 【精彩点拨】 法一：分析已知命题写出逆否命题利用求a的范围判断命题真假 法二：判断原命题真假判断逆否命题真假 【自主解答】 法一 原命题的逆否命题： 已知 a，x为实数，若 a1，则关于 x的不等式 x2(2a1)xa220 的解集为空集. 真假判断如下： 抛物线 yx2(2a1)xa22 开口向上， 判别式 (2a1)24(a22)4a7， 若 a1，则 4a70. 即抛物线 yx2(2a1)xa22 与 x轴无交点. 所以关于 x的不等式 x2(2a1)xa220 的解集为空集. 故原命题的逆否命题为真. 法二 先判断原命题的真假. 因为 a，x为实数，且关于 x的不等式 x2(2a1)xa220 的解集不是空集， 所以 (2a1)24(a22)0， 7 即 4a70，解得 a . 4 7 因为 a ，所以 a1，所以原命题为真. 4 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真. 5 这种问题的解决通常有两种方法：一是直接法，先写出逆否命题，后判断，如法一；二是 间接法，不写逆否命题，从判断原命题的真假证明逆否命题的真假，如法二. 再练一题 3.证明：已知函数 f(x)是( ， )上的增函数，a、bR R，若 f(a)f(b)f(a) f(b)，则 ab0. 【解】 原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是( ， )上的增函数，a，bR R，若 ab0， 则 f(a)f(b)f(a)f(b).” 当 ab0 时，ab，ba， 又f(x)在( ， )上是增函数， f(a)f(b)，f(b)f(a). f(a)f(b)f(a)f(b)， 即逆否命题为真命题.原命题为真命题. 1.“”命题 若一个数是负数，则它的相反数是正数 的逆命题是( ) A.“”若一个数是负数，则它的相反数不是正数 B.“”若一个数的相反数是正数，则它是负数 C.“”若一个数不是负数，则它的相反数不是正数 D.“”若一个数的相反数不是正数，则它不是负数 【解析】“ 若原命题记作 若 p，则 q”，则 A“为 若 p，则q”；B“为 若 q，则 p”；C 为 “若p，则q”；D“为 若q，则p”.故 B 正确. 【答案】 B 2.“命题 如果 x21，则1x1”的逆否命题是( ) A.如果 x21，则 x1，或 x1 B.如果1x1，则 x21 C.如果 x1 或 x1，则 x21 D.如果 x1 或 x1，则 x21 【解析】“ 1x1”的含义是“x1 且 x1”，故“1x1”的否定是“x1 或 x1”，故选 D. 【答案】 D 3.已知命题：“若 x0，y0，则 xy0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四 个命题中，真命题的个数是( ) 6 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 由题意可判断原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，其逆命题为“若 xy0，则 x0，y0”，为假命题，所以否命题也为假命题，故四个命题中，真命题的个数为 2. 【答案】 B 4.有下列四个命题： “命题 若 xy0，则 x，y ”互为相反数 的逆命题； “”命题 面积相等的三角形全等 的否命题； “命题 若 m1，则 x22xm0”有实根 的逆否命题； “命题 若 ABB，则 AB”的逆否命题. 其中是真命题的是_(填上你认为正确的命题的序号). 【解析】 中由 ABB，应该得出 BA，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题. 【答案】 5.判断命题：“若 b1，则关于 x 的方程 x22bxb2b0”有实根 的逆否命题的真 假. 【解】 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可. 方程判别式为 4b24(b2b)4b，因为 b1，所以 40，故此方程有两个 不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真. 7