2018版高中数学第一章立体几何初步1.3.1空间几何体的表面积学业分层测评苏教版必修2201707.wps

1.3.11.3.1 空间几何体的表面积 (建议用时：45分钟) 学业达标 一、填空题 1下列有四个结论，其中正确的是_ (1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； (2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； (3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； (4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥 【解析】 (1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射 影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件，故 正确 【答案】 (4) 2一个正四棱柱的对角线的长是 9 cm，全面积等于 144 cm2，则这个棱柱的侧面积为 _ cm2. 【解析】 设底面边长，侧棱长分别为 a cm，l cm， Error!Error!S 侧4×4×7112 cm2. 【答案】 112 3斜三棱柱的底面是边长为 5 的正三角形，侧棱长为 4，侧棱与底面两边所成角都是 60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是_. 【解析】 由题意可知 S 侧2×5×4×sin 60°5×42020 3. 【答案】 2020 3 4一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是 32，则母线长为_ Rr 【解析】 l ，S 侧(Rr)l2l232，l4. 2 【答案】 4 15 5已知正三棱台的上底面边长为 2，下底面边长为 4，高为 ，则正三棱台的侧面积 S1 3 与底面积之和 S2的大小关系为_ 【解析】 斜高 h 15 3 (3 ) 2 × 42 ， 2 2 6 1 3 3 S1 ×(3×23×4)× 29 2，S2 ×22 ×425 3， 2 4 4 S1S2. 1 【答案】 S1S2 6圆锥侧面展开图的扇形周长为 2m，则全面积的最大值为_ 【解析】 设圆锥底面半径为 r，母线为 l，则有 2l2r2m. S 全r2rlr2r(mr)(2)r2mr. m m m2 当 r 时，S 全有最大值 . 22 21 41 m2 【答案】 41 7正六棱柱的高为 5，最长的对角线为 13，则它的侧面积为_ 【解析】 如图，连结 A1D1，AD1，则易知 AD1为正六边形最长的对角线， 由棱柱的性质，得 AA1A1D1， 1 在 RtAA1D1中，AD113，AA15，A1D1 1325212，由正六棱柱的性质 A1B1 A1D16， 2 S 棱柱侧面积6×6×5180. 【答案】 180 8如图 132，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，三棱锥 D1AB1C 的表面积与正方体的表面 积的比为_ 图 132 【解析】 设正方体棱长为 1，则其表面积为 6，三棱锥 D1AB1C 为四面体，每个面都是 1 6 边长为 2 的正三角形，其表面积为 4× × × 2 ，所以三棱锥 D1AB1C 的表面积与正方 2 3 2 2 体的表面积的比为 1 3. 【答案】 1 3 二、解答题 9.如图 133 所示，正六棱锥被过棱锥高 PO 的中点 O且平行于底面的平面所截，得到 正六棱台 OO和较小的棱锥 PO. 2 图 133 (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； (2)若大棱锥 PO 的侧棱为 12 cm，小棱锥底面边长为 4 cm，求截得棱台的侧面积和全面积. a 【解】 (1)设正六棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 b，则截面的边长为 ， 2 1 1 a2 a2 S 大棱锥侧 c1h1 ×6a× b2 3a b2 ， 2 2 4 4 1 1 1 S 小棱锥侧 c2h2 ×3a× 2 2 2 a2 b2 4 3 a2 a b2 ， 4 4 1 1 1 a2 9 a2 S 棱台侧 (c1c2)(h1h2) (6a3a)× b2 a b2 ，S 大棱锥侧S 小棱锥侧 2 2 2 4 4 4 S 棱台侧413. 1 (2)S 侧 (c1c2)(h1h2)144 (cm2)， 2 2 1 S 上6× ×4×4×sin 60°24 (cm2)， 3 2 1 S 下6× ×8×8×sin 60°96 3(cm2)， 2 S 全S 侧S 上S 下 144 2120 3(cm2) 10圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积为 392 cm2，母线与轴 的夹角为 45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径 【解】 法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为 x cm 和 3x cm.即 AOx cm，AO3x cm(O，O 分别为上、下底面圆心)，过 A作 AB 的垂线， 垂足为点 D. 在 RtAAD 中，AAD45°，ADAOAO2x cm，所以 ADAD2x cm，又 1 1 S 轴截面 (ABAB)·AD ×(2x6x)×2x392(cm2)，所以 x7. 2 2 3 综上，圆台的高 OO14 cm，母线长 AA 2OO14 2 cm，上、下底面的半径分别为 7 cm 和 21 cm. 法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为 x cm 和 3x cm， 延长 AA，BB交 OO的延长线于点 S(O，O 分别为上、下底面圆心) 在 RtSOA 中，ASO45°，所以 SOAO3x cm， 又 SOAOx cm，所以 OO2x cm. 1 又 S 轴截面 ×(2x6x)×2x392(cm2)，所以 x7. 2 综上，圆台的高 OO14 cm，母线长 AA 2OO14 2 cm，上、下底面的半径分别为 7 cm，21 cm. 能力提升 1用长、宽分别是 3 和 的矩形硬纸卷成圆柱的侧 面，则圆柱的表面积是 _ 3 9 1 1 【解析】 S322··(2 )2322 或 S322··(2 )232 2 . 9 1 【答案】 32 或 32 2 2 2如图 134，三棱锥 SABC 中底面ABC 为正三角形，边长为 a，侧面 SAC 也是正三 角形，且侧面 SAC底面 ABC，则三棱锥的侧面积为_. 图 134 【解析】 取 AC 的中点 M，连结 SM，MB. SAC，ABC 为全等正三角形， SMAC，BMAC， 4 3 且 SMBM a，SABSCB. 2 又平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABCAC. SM 平面 SAC，SM平面 ABC. 过 M 作 MEBC 于点 E，连结 SE，则 SEBC. 在 RtBMC 中，ME·BCMB·MC， 3 15 ME a，可求 SE SM2ME2 a. 4 4 1 15 SSBC BC·SE a2， 2 8 3 15 S 侧SSAC2SSBC a2. 4 3 15 【答案】 a2 4 3一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且 底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥， 三棱柱的高分别为 h1，h2，h，则 h1h2h_. 【解析】 由题意可把三棱锥 A1ABC 与四棱锥 A1BCC1B1拼成如图所示的三棱柱 ABC 6 2 A1B1C1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为 .而四棱锥A1BCC1B1的高为 ，则h1 3 2 2 6 6 h2h 22. 3 2 3 3 【答案】 322 4如图 135 所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计 耗用 9.6 m 铁丝，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)当圆柱底面 半径 r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到 0.01 m2) 图 135 5 9.68 × 2r 【解】 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为 1.22r，塑料片面积 S 8 r22r·(1.22r)3r22.4r3(r20.8r)3(r0.4)20.48. 当 r0.4 时，S 有最大值 0.48，约为 1.51 平方米 6