2018版高中数学第三章导数及其应用3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导.wps

3.2.13.2.1 几个常用函数的导数 3.2.23.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则.(重点) 2.掌握几种常见函数的导数公式.(重点) 3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算.(重点) 基础·初探 教材整理 1 基本初等函数的导数公式 阅读教材 P81P83例 1 以上部分，完成下列问题. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)c f(x)0 f(x)x(Q Q*) f(x)·x1 f(x)sin x f(x)cos_x f(x)cos x f(x) sin_x f(x)ax f(x)axln_a(a0 且 a1) f(x)ex f(x)ex 1 f(x)logax f(x) (a0 且 a1) xln a 1 f(x)ln x f(x) x 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) 1 (1)(log3) .( ) ln 3 1 (2)若 f(x) ，则 f(x)ln x.( ) x (3)因为(sin x)cos x，所以(sin )cos 1.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理 2 导数的运算法则 阅读教材 P84例 2 以上部分，完成下列问题. 1 导数的运算法则 设两个函数 f(x)，g(x)可导，则 和的导数 f(x)g(x)f ( x) g ( x) 差的导数 f(x)g(x)f ( x) g ( x) 积的导数 f ( x )· g ( x ) f(x)g(x) f(x)g(x) 商的导数 fx fxgxfxgx gx (g(x)0) gx2 判断(“正确的打”，错误的打“×”) (1)若 f(x)a22axx2，则 f(a)2a2x.( ) 1 fx (2)fx (f(x)0).( ) fx2 (3)运用法则求导时，不用考虑 f(x)，g(x)是否存在.( ) 【答案】 (1)× (2) (3)× 小组合作型 利用导数公式求函数的导数 (1)已知函数 f(x)x2在点(x0，y0)处的导数为 1，则 x0y0_. (2)求下列函数的导数： yx20； 1 y ； x4 ylog6x. ysin . 3 【自主解答】 (1)由题意可知，f(x0)1， 又 f(x)2x，所以 2x01， 1 1 3 所以 x0 ，y0 ，x0y0 . 2 4 4 2 3 【答案】 4 (2)y(x20)20x20120x19. y(x4)4x414x5. 1 y(log6x) . xln 6 y(sin 3)0. 用公式求函数导数的方法 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. 2.对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函 1 数的模式，如 y 可以写成 yx4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求 x4 导过程中出现指数或系数的运算失误. 再练一题 3 1.(1)若 f(x)cos x，则 f( 2 )( ) A.0 B.1 C.1 D. 3 2 【解析】 f(x)cos x，f(x)sin x. 3 3 故 f( 2 )sin( 2 )1. 【答案】 C (2)求下列函数的导数： 1 y5x；y ； x5 yln 3；yx x3. 【导学号：97792040】 【解】 y(5x)5xln 5. 3 利用导数的运算法则求函数的导数 求下列函数的导数： 1 x x (1)y sin cos ； x2 2 2 3 (2)yx(x x6)2； 2 2 (3)ycos xln x； x (4)y . ex 1 x x 【自主解答】 (1)y( 2) sin cos x2 2 1 (x2)(sin x) 2 1 2x3 cos x 2 2 1 cos x. x3 2 3 (2)y(x x26x2) 3 2 3 (x3)(x2 )(6x)(2) 2 3x23x6. (3)y(cos xln x) (cos x)ln xcos x(ln x) cos x sin xln x . x x xexxex (4)y(ex ) ex2 exxex 1x . e2x ex 利用导数运算法则求函数的导数的两个策略 1.解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则. 2.对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错.故 可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利 用积与商的求导公式. 再练一题 4 2.(1)函数 f(x)(x1)2(x1)在 x1 处的导数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 可对函数直接求导，再代入 x1 后求值，f(x)(x1)2(x1)x3x2x 1. f(x)3x22x1，f(1)3214. 【答案】 D (2)求下列函数的导数： 1 1 yx(x ； 2 x3) x sin xcos x y ； 2cos x x21 y . x 1 1 1 【解】 yx(x x31 x3x21， 2 x3) x x2 2 y3x22x33x2 . x3 sin xcos x 1 sin x y 2( 1)， 2cos x cos x 1 sin x cos2xsin2x 1 y . 2cos2x 2cos2x 2(cos x) . 探究共研型 导数的综合应用 探究 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以解决哪些问题？ 【提示】 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面 积相关的几何的最值问题.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何 意义准确计算. x2 已知函数 f(x) 1(a0)的图象在 x1 处的切线为 l，求 l与两坐标轴围成 a 的三角形面积的最小值. 5 【导学号：97792041】 【精彩点拨】 求fx求fx在x1处的切线方程求切线在两轴上的截距 建立面积S关于a的函数关系式求面积的最值 2x 2 【自主解答】 f(x) ，f(1) . a a 1 又 f(1) 1， a 1 2 f(x)在 x1 处的切线 l的方程是：y 1 (x1). a a l与坐标轴围成的三角形的面积为： 1 1 a1 1 1 1 S · ×(22)1. 2| 1| | 2 | 4(a 2) a a 4 1 当且仅当 a ，即 a1 时，直线 l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为 1. a 1.本题属于导数综合题，使用了建模的思想，建立面积函数，并应用基本不等式求函数的 最值. 2.利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一 些与距离、面积有关的最值问题.这种题目往往使用函数与方程的思想，而解题的切入点是确 定切点，求切线方程. 再练一题 3.点 P是曲线 yex上任意一点，求点 P到直线 yx的最小距离. 【解】 根据题意，设平行于直线 yx的直线与曲线 yex相切于点(x0，y0)，该切点即 为与 yx距离最近的点， 则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，即 y|xx 1. 0 y(ex)ex， x0 e 1，得 x00，代入 yex，得 y01，即 P(0,1). 2 利用点到直线的距离公式得最小距离为 . 2 1.下列四组函数中导数相等的是( ) A.f(x)1 与 f(x)x 6 B.f(x)sin x 与 f(x)cos x C.f(x)1cos x 与 f(x)sin x D.f(x)12x2与 f(x)2x23 【解析】 由求导公式及运算法易知，D 中 f(x)(12x2)4x，与 f(x)(2x2 3)4x 相等.故选 D. 【答案】 D 2.曲线 yf(x)xln x 在点 x1 处的切线方程为( ) A.y2x2 B.y2x2 C.yx1 D.yx1 【解析】 yxln x，yln x1，故切线斜率为 ky|x11.又切点坐标为 (1,0)，切线方程为 yx1. 【答案】 C 3.已知 ysin xcos x，则 y_. 【解析】 y(sin xcos x)(sin x)(cos x) cos xsin x. 【答案】 cos xsin x 1 4.直线 y xb 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b_. 2 【导学号：97792042】 【解析】 设切点为(x0，y0)， 1 1 1 y ， ， x 2 x0 1 x02，y0ln 2，ln 2 ×2b，bln 21. 2 【答案】 ln 21 5.求下列函数的导数： (1)f(x)(x31)(2x28x5)； ln x2x (2)f(x) . x2 【解】 (1)f(x)(2x58x45x32x28x5) 10x432x315x24x8. ln x 2x (2)f(x)( x2) x2 ln x 2x ( x2 )(x2 ) 7 1 ·x2ln x·2x x 2x·ln 2·x22x·2x x4 x4 12ln xxx2ln 22x2x x4 12ln xxln 222x . x3 8