2018版高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例学案新人教A版选修1_12017071.wps

3.43.4 生活中的优化问题举例 1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路.(重点) 2.灵活利用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力.(难点) 基础·初探 教材整理 优化问题 阅读教材 P101第一自然段，完成下列问题. 1.优化问题 (1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化 问题. (2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值 . 2.用导数解决优化问题的基本思路 甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图 341 所示： 图 341 现有下列四种说法： 前四年该产品产量增长速度越来越快； 前四年该产品产量增长速度越来越慢； 第四年后该产品停止生产； 第四年后该产品年产量保持不变. 其中说法正确的有( ) A. B. C. D. 1 【解析】 由图象可知，是正确的. 【答案】 B 小组合作型 面积、体积最值问题 用长为 90 cm、宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去 一个小正方形，然后把四边翻转 90°角，再焊接而成(如图 342).问该容器的高为多少时， 容器的容积最大？最大容积是多少？ 【导学号：97792051】 图 342 【精彩点拨】 高 为设自变量高为x根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数 利用导数求出容积的最大值结论 【自主解答】 设容器的高为 x cm，容器的容积为 V(x)cm3，则： V(x)x(902x)(482x) 4x3276x24 320x(0x24). 所以 V(x)12x2552x4 320 12(x246x360) 12(x10)(x36). 令 V(x)0，得 x10或 x36(舍去). 当 0x10时，V(x)0，即 V(x)是增加的； 当 10x24 时，V(x)0，即 V(x)是减少的. 因此，在定义域(0,24)内，函数 V(x)只有当 x10时取得最大值，其最大值为 V(10)19 600(cm3). 因此当容器的高为 10 cm时，容器的容积最大，最大容积为 19 600 cm3. 1.求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的 量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值. 2.实际问题中函数定义域确定的方法 (1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零； (2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量 2 大于零等. 再练一题 1.已知矩形的两个顶点位于 x轴上，另两个顶点位于抛物线 y4x2在 x轴上方的曲线上， 求这个矩形面积最大时的长和宽. 【解】 设矩形边长 AD 2x(00，当 0 还是 y0； 当 x(7， )时，f(x)0)；生产总成本 y2(万 元)也是 x 的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产( ) A.9 千台 B.8 千台 C.6 千台 D.3 千台 【解析】 利润函数 yy1y218x22x3(x0)，求导得 y36x6x2，令 y0，得 x6 或 x0(舍去). 因 06时，y18x22x3递减， x6 时利润最大，故选 C. 【答案】 C 3.把长度为 16 的线段分成两段，各围成一个正方形，则它们的面积和的最小值为 _. 【解析】 设其中一段长为 x，则另一段长为 16x，设两正方形的面积分别为 S1，S2， 面积之和为 S，则 x 16x SS1S2(4 )2( 4 )2 1 1 x2 x22x16 16 16 1 x22x16(0x16). 8 1 令 S x20，得 x8. 4 即 x8 时， S 有最小值，最小值为 8. 【答案】 8 4.某商品一件的成本为 30 元，在某段时间内，若以每件 x 元出售，可卖出(200x)件， 当每件商品的售价为_元时，利润最大. 【解析】 利润为 S(x)(x30)(200x)x2230x6 000，S(x)2x230， 由 S(x)0 得 x115，这时利润达到最大. 【答案】 115 5.某造船公司年最高造船量是 20艘，已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)3 700x45x2 7 10x3(单位：万元)，成本函数为 C(x)460x5 000(单位：万元).求： (1)利润函数 P(x)(提示：利润产值成本)的解析式； (2)年造船量安排多少艘时，可使造船公司的年利润最大？ 【导学号：97792053】 【解】 (1)P(x)R(x)C(x) 10x345x23 240x5 000(xN N 且 x1,20). (2)P(x)30x290x3 240 30(x9)(x12)(xN N 且 x1,20)， 当 1x12 时，P(x)0，P(x)单调递增； 当 12x20 时，P(x)0，P(x)单调递减； x12时，P(x)取最大值，即年造船 12 艘时，造船公司的年利润最大. 8