2018版高中数学第三章概率3.3.2随机数的含义与应用学案新人教B版必修320170718291.wps

3.3.23.3.2 随机数的含义与应用 1.了解随机数的含义. 2.掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法. 3.会利用随机数模拟某一问题的试验来解决具体的有关概率的问题.(重点、难点) 基础·初探 教材整理 随机数的含义与应用 阅读教材 P110P114，完成下列问题. 1.随机数 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样. 2.产生随机数的方法 (1)用函数型计算器产生随机数的方法： 每次按SHIFT Ran# 键都会产生 01 之间的随机数，而且出现 01 内任何一个数的可能 性是相同. (2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是 Scilab中产生随机数的方法)： Scilab 中用 rand()函数来产生 01 的均匀随机数.每调用一次 rand()函数，就产生一 个随机数. 如果要产生 ab 之间的随机数，可以使用变换 rand()*(b a) a 得到. 3.计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法 (1)建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量有关. (2)设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量. 按这样的思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法. 1.判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)随机数只能用计算器或计算机产生.( ) (2)计算机或计算器只能产生0,1的均匀随机数，对于试验结果在2,5上的试验，无法 用均匀随机数进行模拟估计试验.( ) (3)x 是0,1上的均匀随机数，则利用变量代换 y(ba)xa 可得a，b上的均匀随机 1 数.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3) 2.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为 m，其实际概率的大小为 n，则( ) A.mn B.mn C.mn D.m 是 n 的近似值 【解析】 随机模拟法求其概率，只是对概率的估计. 【答案】 D 3.在区间(10,20内的所有实数中，随机取一个实数 a，则这个实数 a13的概率是( ) 1 1 3 7 A. B. C. D. 3 7 10 10 【解析】 a(10,13)， 1310 3 P(a13) . 2010 10 【答案】 C 4.在边长为 2 的正方形当中，有一个封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入 100 粒豆子，恰有 60粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为_. 图 338 S 60 12 【解析】 设阴影区域的面积为 S，则 ，S . 4 100 5 12 【答案】 5 小组合作型 用随机模拟法估计古典概型的概率 同时抛掷两颗骰子，用随机模拟法估计都是 1 点的概率. 【精彩点拨】 可根据抛掷两颗骰子，需要产生两组 16 之间的整数随机数来分别表示 两颗骰子的点数. 【尝试解答】 设事件 A “表示 掷两颗骰子都得到 1”点 . S1 用计数器 n 记录做了多少次试验，用计数器 m 记录其中有多少次随机数 x 和 y 都出现 2 1(即同时出现 1 点)，首先置 n0，m0. S2 用变换 int(rand()*5)1 产生 16 之间的整数随机数 x 表示掷一颗骰子出现的点数； 用变换 int(rand()*5)1 产生 16 之间的整数随机数 y 表示掷另一颗骰子出现的点数，用 1 表示 1 点，用 2 表示 2 点，用 3 表示 3 点，用 6 表示 6 点. S3 判断是否同时出现 1 点，即是否满足 x1 且 y1，如果是，则计数器 m 的值加 1， 即 mm1，如果不是，m 的值保持不变. S4 表示随机试验次数的计数器 n 值加 1，即 nn1，如果还要继续试验，则返回步骤 S2 继续执行，否则，程序结束. m 程序结束后事件 A 发生的频率 作为事件 A 的概率的近似值. n 用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验 结果.我们可以从以下三方面考虑： 1当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代 表一个基本事件； 2研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总 个数； 3当每次试验结果需要 n 个随机数表示时，要把 n 个随机数作为一组来处理，此时一 定要注意每组中的随机数字能否重复. 再练一题 1.种植某种树苗，成活率是 0.9.若种植该种树苗 5 棵，用随机模拟方法估计恰好 4 棵成活 的概率. 【解】 利用计算器或计算机产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，我们用 0 代表不成活， 1 至 9 的数字代表成活，这样可以体现成活率是 0.9.因为种植 5 棵，所以每 5 个随机数作为一 组，可产生 30组随机数，如下所示： 69801 66097 77124 22961 74235 31516 29747 24945 57558 65258 74130 23224 37445 44344 33315 27120 21782 58555 61017 45241 44134 92201 70362 83005 94976 56173 34783 16624 30344 01117 这就相当于做了 30次试验，在这些数组中，如果恰有一个 0，则表示恰有 4 棵成活，共有 9 9 组这样的数，于是我们得到种植 5 棵这样的树苗恰有 4 棵成活的概率近似为 0.3. 30 3 用随机模拟方法估计几何概型的概率 如图 339 在一个边长为 3cm 的正方形内部画一个边长为 2cm 的正 方向形大，正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率. 图 339 【精彩点拨】 把二维型的图形放在一个确定的坐标平面或者平面上，用均匀随机数产生 两组随机数作为点的坐标，或者用实物(如黄豆)计算其频率，从而可估计概率. 【尝试解答】 记事件 A所投点落入小正方形内. S1 利用计算机产生两组1.5,1.5上的均匀随机数 arand()*31.5，brand()*3 1.5. S2 统计落入大正方形内点数 N(即上述所有随机数构成的点(a，b)数)及落入小正方形内 的点数 N1(即满足1a1且1b1 的点(a，b)数). N1 S3 计算频率 fn(A) ，即为概率 P(A)的近似值. N 如本例中的一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量如本例中的 x，y来描述，用这两个变量 的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型. 再练一题 2.如图 3310，在墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同 心圆，半径分别为 2 cm、4 cm、6 cm，某人站在 3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有 投中木板时不算，可重投，问：投中大圆内的概率是多少？投中小圆与中圆形成的圆环内的概 率是多少？投中大圆之外的概率是多少？ 图 3310 【解】 记事件 A投中大圆内，事件 B投中小圆与中圆形成的圆环内，事件 C投 中大圆之外. 4 S1 利用计算机产生两组8,8上的均匀随机数 arand()*168，brand()*168. S2 统计投中大圆内的次数 N1(即满足 a2b236的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形 成的圆环的次数 N2(即满足 4a2b216 的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数 N(即满足8 a8，8b8 的点(a，b)的个数)； N1 N2 NN1 S3 计算频率 fn(A) ，fn(B) ，fn(C) ，即分别为概率 P(A)，P(B)，P(C)的 N N N 近似值. 利用随机模拟试验估计不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图 3311 中阴影部分(曲线 y2x 与 x 轴、x±1 围成的 部分)的面积. 【导学号：00732095】 图 3311 【精彩点拨】 在坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方 形面积之比，从而求得阴影部分的近似值. 【尝试解答】 S1 利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数，a1rand，b1rand. S2 进行平移和伸缩变换，aa1N1，N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值. S3 统计试验总次数 N 和落在阴影内的次数 N1(满足条件 b2a 的点(a，b). N1 S4 计算频率 ，即为点落在阴影部分的概率的近似值. N S S5 用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 P . 4 N1 S . N 4 4N1 S 即为阴影部分面积的近似值. N 1.解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过方程求 得阴影部分面积的近似值. S 不规则图形 N1 2. ，应当作公式记住，当然应理解其来历，其中 N 为总的试验次数，N1为落 S 规则图形 N 在不规则图形内的试验次数. 5 再练一题 3.如图 3312 所示，在一个长为 4，宽为 2 的矩形中有一个半圆，试用随机模拟的方法近 似计算半圆面积，并估计 的值. 图 3312 【解】 事件 A“”： 随机向矩形内投点，所投的点落在半圆内 . S1 经过变换 xrand()*42，yrand()*2. S2 统计出试验总次数 N 和满足条件 x2y24 的点(x，y)的个数 N1. N1 S3 计算频率 fn(A) ，即为概率 P(A)的近似值. N N1 半圆的面积为 S12，矩形的面积为 S8.由几何概率公式得 P(A) ，所以 . 4 N 4 4N1 8N1 所以 即为 的近似值，半圆的面积的近似值即为 . N N 探究共研型 a，b内的均匀随机数 探究 1 如何产生a，b内的均匀随机数？ 【提示】 利用计算机(或计算器)产生0,1上的均匀随机数 x1rand，然后利用伸缩和 平移变换，令 xx1*(b-a)+a,则可以得到a,b上的均匀随机数。 探究 2 产生a，b内的均匀随机数时，a，b上的任何一个实数，都是等可能的吗？ 【提示】 产生a，b内的均匀随机数时，试验的结果是a，b上的任何一个实数，并且 任何一个实数都是等可能的. 将0,1内的均匀随机数 a1 转化为2,6内的均匀随机数 a，需实施的变换为 ( ) Aa1=a1*18 Ba1=a1*8+2 Ca1=a1*8-2 Da1=a1*6 【精彩点拨】 结合两个区间长度及对应的端点值对 a1实施变换. 【尝试解答】 因为随机数 x0,1，而基本事件都在2,6上，其区间长度为 8，所 以首先把a1变为8*a1，又因区间左端值为-2，所以8*a1，再变为8*a1-2，故变换公式为a=8*a1-2. 【答案】 C 再练一题 4.b1是0,1上的均匀随机数，b3(b12)，则 b 是区间_上的均匀随机数. 【解析】 0b11，则函数 b3(b12)的值域是6b3，即 b 是区间6，3 上的均匀随机数. 6 【答案】 6，3 1.用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( ) A.只能求几何概型的概率，不能解决其他问题 B.不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率 【解析】 很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图 形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概 型的概率. 【答案】 C 2.利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a“，则事件 3a10”发生的概率为( ) 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 2 3 6 1 1 【解析】 因为 0a1，所以事件 3a10，即 a 的概率是 ，故选 C. 3 3 【答案】 C 1 3.设 x 是0,1内的一个均匀随机数，经过变换 y2x3，则 x 对应变换成的均匀随机 2 数是( ) A.0 B.2 C.4 D.5 1 1 【解析】 当 x 时，y2× 34. 2 2 【答案】 C 4.如图 3313，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180粒落到阴影部分，据 此估计阴影部分的面积为_. 图 3313 S 阴 180 【解析】 由题意知，这是个几何概型问题， 0.18， S 正 1 000 S 正1，S 阴0.18. 【答案】 0.18 7 5.设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于 6 cm，现用直径等于 2cm 的硬 币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率. 【导学号：00732096】 【解】 记事件 A硬币与格线有公共点， 设硬币中心为 B(x，y). S1 利用计算机或计算器产生两组 0 到 1 之间的均匀随机数，x1rand，y1rand. S2 经过平移和伸缩变换，则 x(x10.5)*6，y(y10.5)*6，得到两组3,3内的均 匀随机数. S3 统计试验总次数 N 及硬币与格线有公共点的次数 N1(满足条件|x|2 或|y|2 的点(x， y)的个数). N1 S4 计算频率 ，即为硬币落下后与格线有公共点的概率. N 8