2018版高中数学第二章平面向量2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等.wps

2.1.12.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.22.1.2 向量的几何表示 2.1.32.1.3 相等向量与共线向量 1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点) 2.理解共线向量、相等向量的概念.(难点) 3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点) 基础·初探 教材整理 1 向量及其几何表示 阅读教材 P74P75例 1 以上内容，完成下列问题. 1.向量与数量 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示 (1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度 . (2)向量可以用有向线段表示.向量AB的大小，也就是向量 AB的长度(或称模)，记作|AB|. 向量也可以用字母 a a，b b，c c，表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如， AB，CD. 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)向量可以比较大小.( ) (2)坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量.( ) (3)某个角是一个向量.( ) (4)体积、面积和时间都不是向量.( ) 【解析】 因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x 轴、y 轴只有方向，没有大小，故 (2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不 是向量，所以(4)正确. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4) 1 教材整理 2 向量的有关概念 阅读教材 P75第十八行以下至 P76例 2 以上内容，完成下列问题. 零向量 长度为 0 的向量，记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 平行向量(共线向量) 向量 a a，b b平行，记作 a ab b 规定：零向量与任一向量平行 长度相等且方向相同的向量 相等向量 向量 a a与 b b相等，记作 a ab b 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)单位向量都平行.( ) (2)零向量与任意向量都平行.( ) (3)若 a ab b，b bc c，则 a ac c.( ) (4)|AB|BA|.( ) 【解析】 (1)错误，长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个 且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向 量与任意向量都平行；(3)错误，若 b b0，则(3)不成立；(4)正确. 【答案】 (1)× (2) (3)× (4) 小组合作型 向量的有关概念 判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量 a a与 b b同向，且|a a|b b|，则 a ab b； (2)若向量|a a|b b|，则 a a与 b b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a a|b b|，若 a a与 b b的方向相同，则 a ab b； (4)由于 0 方向不确定，故 0 不与任意向量平行； 2 (5)向量 a a 与向量 b b 平行，则向量 a a 与 b b 方向相同或相反. 【精彩点拨】 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素. 【自主解答】 (1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不 能比较大小. (2)不正确.由|a a|b b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系. (3)正确.因为|a a|b b|，且 a a 与 b b 同向，由两向量相等的条件，可得 a ab b. (4)不正确.依据规定：0 与任意向量平行. (5)不正确.因为向量 a a 与向量 b b 若有一个是零向量，则其方向不定. 求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行； 所有的零向量相等. 再练一题 1.给出下列命题： 若|a a|b b|，则 a ab b 或 a ab b； 向量的模一定是正数； 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； 向量AB与CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在同一直线上. 其中正确命题的序号是_. 【解析】 错误.由|a a|b b|仅说明 a a 与 b b 模相等，但不能说明它们方向的关系. 错误.0 的模|0| 0. 正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的. 错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求两个向量AB，CD必须 在同一直线上. 【答案】 向量的表示及应用 某人从 A 点出发向东走了 5 米到达 B 点，然后改变方向按东北方向走了 10 2 米到 达 C 点，到达 C 点后又改变方向向西走了 10米到达 D 点. (1)作出向量AB，BC，CD； (2)求AD的模. 【导学号：00680033】 3 【精彩点拨】 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把AD放在直 角三角形中求得|AD|. 【自主解答】 (1)作出向量AB，BC，CD，如图所示： (2)由题意得，BCD 是直角三角形，其中BDC90°，BC10 2 米，CD10米，所以 BD 10 米.ABD 是直角三角形，其中ABD90°，AB5 米，BD10米，所以 AD 52102 5 5(米)，所以|AD|5 5米. 1.向量的两种表示方法： (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量 的终点. (2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a a，b b，c c 表示，为了联系平面几何中的图形性质， 可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB，CD，EF等. 2.两种向量表示方法的作用： (1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下 了基础. (2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算. 再练一题 2.一辆汽车从点 A 出发，向西行驶了 100 公里到达点 B，然后又改变方向，向西偏北 50° 的方向行驶了 200公里到达点 C，最后又改变方向，向东行驶了 100公里达到点 D. (1)作出向量AB，BC，CD； (2)求|AD|. 【解】 (1)如图所示. 4 (2)由题意知AB与CD方向相反，AB与CD共线， 在四边形 ABCD 中，ABCD.又|AB|CD|， 四边形 ABCD 为平行四边形， |AD|BC|200(公里). 探究共研型 相等向量与共线向量 探究 1 向量 a a，b b 共线，向量 b b，c c 共线，向量 a a 与 c c 是否共线？ 【提示】 向量 a a 与 c c 不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若 b b0，则向量 a a 与 c c 不一定共线. 探究 2 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？ 【提示】 不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与 起点和终点位置无关. (1)如图 211，在等腰梯形 ABCD 中. 图 211 AB与CD是共线向量； ABCD；ABCD. 以上结论中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)下列说法中，正确的序号是_. 若AB与CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在一条直线上； 零向量都相等； 任一向量与它的平行向量不相等； 若四边形 ABCD 是平行四边形，则ABDC； 共线的向量，若始点不同，则终点一定不同. 【精彩点拨】 可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断. 5 【自主解答】 (1) 因为AB与CD的方向不相同，也不相反，所以AB与CD不共线，即不 正确；由可知也不正确；因为两个向量不能比较大小，所以不正确. (2)因为向量AB与CD是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以 A，B，C，D 也不一定 在一条直线上，所以错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所 以正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可 能相等，即错误；画出图形，可得ABDC，所以正确；由共线向量的定义可知：共线的向 量，始点不同，终点可能相同，所以不正确. 【答案】 (1)A (2) 相等向量与共线向量需注意的四个问题： (1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. (2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同 基线，但两条直线平行不包含两条直线重合. (3)平行(共线)向量无传递性(因为有 0). (4)三点 A，B，C 共线AB， 共线. AC 再练一题 3.如图 212 所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心. 图 212 (1)分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量； (2)与OA的长度相等、方向相反的向量有哪些？ 【解】 (1)与OA相等的向量有EF，DO，CB；与OB相等的向量有DC，EO，FA；与OC相等的向量 有FO，ED，AB. (2)与OA的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE. 6 1.下列说法中正确的个数是( ) 身高是一个向量； AOB 的两条边都是向量； 温度含零上和零下温度，所以温度是向量； 物理学中的加速度是向量. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 只有中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，错误. 正确. 【答案】 B 2.在下列判断中，正确的是( )【导学号：00680034】 长度为 0 的向量都是零向量； 零向量的方向都是相同的； 单位向量的长度都相等； 单位向量都是同方向； 任意向量与零向量都共线. A. B. C. D. 【解析】 由定义知正确，由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相 同不确定，故不正确.显然正确，不正确，故选 D. 【答案】 D 3.设 e e1 1，e e2 2 是两个单位向量，则下列结论中正确的是( ) A.e e1 1e e2 2 B.e e1 1ee2 2 C.|e e1 1| |e|e2 2| | D.以上都不对 【解析】 单位向量的模都等于 1 个单位，故 C 正确. 【答案】 C 4.在下列命题中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相 等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个非零向量的两个向 量是共线向量.正确的命题是_. 【导学号：70512022】 【解析】 由向量的相关概念可知正确. 【答案】 5.如图 213 所示，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩形，找出与向量AB相等 7 的向量. 图 213 【解】 由四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩形，知DC，ED与AB的长度相等且 方向相同，所以与向量AB相等的向量为DC和ED. 8