2018版高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学业分层测评新人教A版必修4.wps

2.4.22.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (建议用时：45分钟) 学业达标 一、选择题 1已知向量 a a(3,13,1)，b b(x，2)，c c(0,2)，若 aa(b bc c)，则实数 x 的值为( ) 4 3 A B 3 4 3 4 C D 4 3 4 【解析】 b bc c(x，4)，由 aa(b bc c)知 3x40，x .故选 A 3 【答案】 A 2已知向量 a a(1，2)，b b(x,4)，且 abab，则|a|ab|b|( ) A5 3 B3 5 C2 5 D2 2 【解析】 abab，42x0， x2，a ab b(1，2)(2,4)(3，6)， |a|ab|b|3 5.故选 B 【答案】 B 3已知向量 a a(1 1， 3 3)，b b(2,22,2 3 3)，则 a a 与 b b 的夹角是( ) A B 6 4 C D 3 2 【解析】 设 a a 与 b b 的夹角为 ， a·ba·b 1， 3·2，2 3 1 则 cos ， |a|b|a|b| 2 × 4 2 解得 .故选 C 3 【答案】 C 4若 a a(2,3)，b b(4,7)，则 a a 在 b b 方向上的投影为( ) 【导学号：00680059】 65 A B 5 65 13 C D 5 13 a a·b b 2，3·4，7 【解析】 a a 在 b b 方向上的投影为|a a|cosa a，b b |b b| 4272 1 2 × 43 × 7 65 . 65 5 【答案】 A 5已知正方形 OABC两边 AB，BC的中点分别为 D和 E，则DOE的余弦值为( ) 1 A B 2 3 2 3 4 C D 5 5 1 【解析】 以点 O为原点，OA所在直线为 x轴建立直角坐标系，设边长为 1，则 D(1，2 )， 1 1 (1，2 )·(，1 ) 1 4 2 E(，1 )，于是 cosDOE . 2 5 1 1 12(2 )2· (2 ) 212 【答案】 D 二、填空题 6已知 O A(2,1)，O B(0,2)，且 A CO B，B CA B，则点 C的坐标是_ 【解析】 设 C(x，y)，则 A C(x2，y1)， B C(x，y2)，A B(2,1) 由 A CO B，B CA B，得 Error!解得Error! 点 C的坐标为(2,6) 【答案】 (2,6) 7若向量 a a(2,22,2)与 b b(1，y)的夹角为钝角，则 y的取值范围为_ 【解析】 若 a a 与 b b 夹角为 180°，则有 b ba a(0)， 1 即Error!解得 y1 且 ，所以 b ba a(0)时，y1； 2 若 a a 与 b b 夹角 ( ，)时，则只要 a·b0 a·b0 且 b ba a(0) 2 当 a·ba·b0，有22y0，解得 y1. 由得 y1 或1y1. 【答案】 ( ，1)(1,1) 三、解答题 8已知AB(6,1)，BC(4，k)，CD(2,1) 2 (1)若 A，C，D 三点共线，求 k 的值； (2)在(1)的条件下，求向量BC与CD的夹角的余弦值. 【导学号：70512037】 【解】 (1)因为ACABBC(10，k1)，由题意知 A，C，D 三点共线， 所以ACCD，所以 10×12(k1)0，即 k4. BC·CD 12 (2)因为CD(2,1)，设向量BC与CD的夹角为 ，则 cos 4 2 × 5 |BC|CD| 3 10 . 10 9已知 a a(1,1)，b b(0，2)，当 k 为何值时， (1)ka ab b 与 a ab b 共线； (2)ka ab b 与 a ab b 的夹角为 120°. 【解】 a a(1,1)，b b(0，2)， ka ab bk(1,1)(0，2)(k，k2)， a ab b(1,1)(0，2)(1，1) (1)ka ab b 与 a ab b 共线， k2(k)0，k1. 即当 k1 时，ka ab b 与 a ab b 共线 (2)|ka ab b| k2k22， |a ab b| 12 12 2， (ka ab b)·(a ab b)(k，k2)·(1，1) kk22， 而 ka ab b 与 a ab b 的夹角为 120°， ka ab b·a ab b cos 120° ， |ka ab b|a ab b| 1 2 即 ， 2 2· k2k22 化简整理，得 k22k20，解之得 k1± 3. 即当 k1± 3时，ka ab b 与 a ab b 的夹角为 120°. 能力提升 1已知向量 a a(1,21,2)，b b(2 2，3 3)若向量 c c 满足(c ca a)bb，cc(a ab b)，则 c c 等于 ( ) 7 7 7 7 A(，3 ) B( ，9) 9 3 3 7 7 7 7 C( D ， ， 3) 9 ) ( 3 9 【解析】 设 c c(x，y)， 又因为 a a(1,2)，b b(2，3)， 所以 c ca a(x1，y2) 又因为(c ca a)bb， 所以有(x1)·(3)2·(y2)0， 即3x2y70， 又 a ab b(3，1)， 由 cc(a ab b)，得 3xy0， 由解得Error! 7 7 因此有 c c( ， . 3) 9 【答案】 D 2平面内有向量OA(1,7)，OB(5,1)，OP(2,1)，点 Q 为直线 OP 上的一个动点 (1)当QA·QB取最小值时，求OQ的坐标； (2)当点 Q 满足(1)的条件和结论时，求 cosAQB 的值 【解】 (1)设OQ(x，y) 点 Q 在直线 OP 上，向量OQ与OP共线 又OP(2,1)，x2y，OQ(2y，y) 又QAOAOQ(12y,7y)， QBOBOQ(52y,1y)， QA·QB(12y)(52y)(7y)(1y) 5y220y125(y2)28， 故当 y2 时，QA·OB有最小值8， 此时OQ(4,2) (2)由(1)知，QA(3,5)，QB(1，1)， QA·QB8，|QA| 34，|QB| 2， 4 QA·QB 4 17 cosAQB . 17 |QA|QB| 5