第十四章结构动力学.ppt

第十四章 结构动力学,§141 概述,一、结构动力计算的内容与目的 静力荷载施力过程缓慢，忽略惯性力 的影响。 静力荷载作用大小、方向、作用点确定 结构处于平衡状态 内力、变形、位移确定（不随时间变化） 动力荷载的特征： 荷载的大小、方向（作用位置*）随时间而变化 荷载变化较快，使结构产生不容忽视的加速度 动力计算： 考虑惯性力达朗贝尔原理（动力静力平衡） 内力、位移、荷载均为时间的函数 （瞬间(t)的平衡）,按动力荷载变化规律分类： 周期荷载 简谐荷载 例：偏心质量产生的离心力 非简谐荷载 冲击荷载急剧增大， 作用时间很短即行消失：桩锤作用；车轮撞击轨道接头 急剧减少爆炸荷载， 突加荷载加载： 重物落在结构上（突然加载和突然卸载） 快速移动荷载高速通过桥梁的火车、汽车 随机荷载地震的激振、风力脉动作用 荷载变化极不规律，只能用概率方法求其统计规律,周期荷载（简谐）,周期荷载（非简谐）,冲击荷载（急剧增大、急剧减少）,随机荷载,内容：自由振动 无阻尼 单、多自由度 强迫振动 有阻尼 无限多自由度 自由振动结构受外部因素干扰发生振动， 而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。 强迫振动（受迫振动）结构在动荷载作用下的振动 （在振动过程中不断受到外部干扰力作用） 目的： 结构的动力特性（周期T，频率f()、振型、阻尼） 避免共振；地震的主要周期 例：步兵过桥齐步走 美国悬索大桥风振作用，突然垮塌 动力反应 动内力/位移随时间变化的规律 最大值设计依据,振动自由度 为了确定全部质量位置所需的独立几何参数的数目 集中质量法：突出主要质量静力等效 单自由度结构 多自由度结构,§142 结构振动的自由度,确定结构振动的自由度：（图14 2） 注意： 自由度数n随计算简图而异 （a、b、f-无限多自由度） 自由度数与质量数目可能不同 （c、d-e几何构造分析方法确定） 自由度数与静定或超静定及超静定次数无关,实际结构的简化（图14 3） （a）块式基础垂直振动 （b）水塔顶部水池较重，水平振动 （c）楼房楼板较重，水平振动,单自由度实际的问题或简化的模型（图14 4） 多自由度体系动力分析的基础 自由振动结构受外部因素干扰发生振动， 而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。 初始干扰：初始位移强迫偏离，突然放松； 初始速度瞬时冲击,§143 单自由度体系的自由振动,1、不考虑阻尼时的自由振动 （图14 5）质量弹簧模型 静平衡位置为坐标原点，向下为正 弹簧的刚度k11 ：弹簧发生单位位移所需加的力 弹簧的柔度11 ：单位力作用下产生的位移 振动微分方程 位移及各量随时间变化的规律 两个基本方法： 刚度法列动力平衡方程 柔度法列位移方程,（一）建立自由振动微分方程 （1）刚度法动力平衡方程（达朗贝尔原理） 质点m 任一时刻t有位移y(t)， （图16 5b） 弹性恢复力，与位移y方向相反 惯性力，与加速度方向相反 达朗伯尔原理 隔离体平衡方程 微分方程,（2）柔度法列位移方程 弹性体系（非隔离体）（图14 5c） 运动过程，质量只受惯性力按静力荷载考虑， m在时刻 t 的位移等于惯性力作用下的静力位移 即 单自由度体系 即， 与刚度法相同,（二）自由振动微分方程的解 常系数线性齐次微分方程 通解 y = C1 cost + C2 sint 速度（对时间取一阶导数） = -C1 sint + C2cost 初始条件：t = 0，,初位移：y0 正弦规律 初速度：0 余弦规律 叠加,a 振幅：质点最大位移；初相角,则 y(t)= a sin(t+) (t) = acos(t+),令,（三）结构自振同期 周期运动 y( t + T ) = y( t ),自振周期,每隔一段时间就重复原来运动 单位：秒（S）,单位时间内的振动次数 ， 单位： 1秒（1/S）,2秒内完成的 振动次数,频率,园频率（频率）,周期的重要性质： （1）只与结构本身的性质 m、k有关 结构固有的动力特性，与外界干扰无关 外界干扰只能影响振幅和初相角； （2）,（148）,（3）T结构动力性能的一个重要数量标志,（4） 1/st ， 质点放在结构上产生最大位移处， 可以得到最小频率和最大周期,例141三种支承情况的梁，忽略梁本身质量，求自振频率与周期（图14 - 7） 解（1）柔度法,计算,（2）刚度法 a. 加链杆约束约束动力自由度； b. 给单位位移； c. 求约束力刚度k。,例2 刚架，梁质量m，刚度； 柱(忽略质量)刚度EI，高h。 试求自振频率和周期,计算 k * （计算）,例3 例2中，若初始位移，初始速度0 试求振幅值及 t=1s时的位移值 解：上例已计算,作业： 141 （振动自由度） 142a*、b（振动微分方程） 143 a 、b、c 、d ； 4、5、6 （频率） 147 （振幅、位移）,2、考虑阻尼作用时的自由振动 阻尼（力）：振动过程中各种阻力的作用 使自由振动逐渐衰减而不能无限延续 共振时振幅并非无限大 （外部介质）空气和液体的阻力、支承的摩擦 （内部作用）材料分子之间的摩擦和粘着性 阻尼的种类： （1）粘滞阻尼力 R = - （线性阻尼） 两个物体的相对滑动面之间有一层连续油膜存在时 或物体以低速在粘性液体内运动 （2）流体阻尼 R = - cv2 固体以较大速度在流体介质内运动 （例3m/s以上） （3）摩擦力 R kN 两个干燥的平滑接触面之间的摩擦力 （4）结构阻尼 材料之间的内摩擦,粘滞阻尼力计算简单，其余的可化为等效粘滞阻尼力 考虑阻尼的振动方程 I + R + S = 0 其中：R = -,有阻尼的自由振动微分方程,令,（169）*,设解,特征方程,（1）,（小阻尼） 令,（1610）,有阻尼的自振频率,设初始条件: t = 0, y = y0、 = 0,写成,其中,(14-12),式（1412）的位移时间曲线如（图149）所示： 低阻尼体系自由振动y-t曲线逐渐衰减的正弦（波动）曲线,a.阻尼对频率（周期）的影响,T,阻尼比阻尼的基本参数：,b、阻尼对振幅的影响,振幅随时间逐渐衰减,一周期,相隔j个周期：,振幅对数递减量,若,取对数：,（2）,（大阻尼）， 此时特征根r1、r2为一对重根（负实数）， 通解为：,这是非周期函数，故不发生振动， 且受初始干扰偏离平衡位置后 返回中心位置更慢,（3）,（临界阻尼）,微分方程解,特征方程根,y t 曲线仍是有衰减性质 ， 但不具有波动性质 （如图）,试题,临界阻尼系数 使运动不再具有波动性质 所对应的阻尼系数最小值 阻尼比：,反映阻尼情况的基本参数,实测相隔j个周期的振幅计算：,§144 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,强迫振动（受迫振动）结构在动荷载作用下的振动 一、振动方程建立 刚度法：取m隔离体，由动力平衡得：,微分方程的解：y = y0 + y 其中齐次方程通解：,与干扰力P(t)相应的特解,则与干扰力的形式有关,二、简谐荷载 P(t)=Fsint （1417）,（1418）,特解：,代入方程：,对于任意的t上式均成立，一定有相应系数相等：,全解：,自由振动：频率，振幅衰减； B1、B2由初始条件确定 强迫振动：频率，C1、C2与F有关,可解：,设初始条件: t = 0, y = y0、 = 0,（1419）分三部分： 自由振动初始条件确定； 伴生自由振动与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但频率与自振频率相同； 以上二部分有e-t ,随时间衰减 纯强迫振动平稳振动（不衰减）,1、不考虑阻尼的纯强迫振动 0,振幅（最大位移）,动力（位移）系数,（1422）, 0，动力位移与动力荷载同相 ， 0，动力位移与动力荷载反相 单自由度，干扰力与惯性力作用点重合， 内力动力系数位移动力系数,的特性（由图示）,P(t)变化非常慢 （与自振周期T相比）,1,2、考虑阻尼的纯强迫振动 0,振幅 相位差,动力系数 与/有关，与阻尼比有关,的关系曲线： （图1412） 讨论： 当：01时，曲线渐趋平缓，,附近，峰值下降显著,研究共振， 阻尼影响不容忽略,若,（1）,动荷载主要与弹性力平衡,y与P(t)同相位,1，静力荷载 振动慢，惯性力、阻尼力小,（2）,y很小的颤动 ky,c很小,振动快，惯性力大,动荷载主要与惯性力平衡,（3）,增加快 （共振）,荷载值为最大时， 位移、加速度最小,动荷载主要与阻尼力平衡 共振时，阻尼力起重要作用，不容忽略,0.75/1.25范围，阻尼对位移影响很大； 阻尼较小时，共振现象仍很危险； 工程设计， 自振频率应比 大2530% 。,干扰力不直接作用在质点上：,（1428）,§145 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,瞬时冲量的动力反应 动量定理：质点(m)的动量(mv)在某一时间间隔内的 改变量，等于同一时间内的作用力的冲量（P·t）（图）,t=0, y=0, v1=0 t, v2=v0 mv0=Pt 令为 Q（瞬时冲量）,冲量作用时间很短，忽略t ，相当于物体： 在,（坐标平移），则,（1411）,一般动荷载的动力反应 (t)加载过程视为一系列瞬时冲量组成 t=时，P()在微分时段d内冲量ds=P()d 微分冲量对动力反应的贡献： （时刻冲量对t时的动力反应）,动力反应y(t)为0t时刻所有微分反应的叠加,杜哈梅积分 (0，=),若有y0、v0， 则,任意荷载P作用的动力响应,（1）突加荷载,t=(2n-1) ymax=2yst,实例图,（2）短时荷载,动力反应分二段考虑,当0 t t0 时,当 t t0 时,当t0 T/2 时，最大位移发生在后一阶段（表141）,当t0 T/2 时，最大位移发生在前一阶段：2,§146多自由度结构的自由振动,多自由度体系： 多层房屋的侧向振动 不等高排架的振动 块形基础的平面振动 梁上有几个集中质量的振动 求解方法： 刚度法建立力的平衡方程（位移法） 柔度法建立位移协调方程（力法） 两个自由度体系推广到n个自由度体系： 特性（与单自由度区别）： 固有频率：2个n个； 主振型：2个n个； 耦合：各自由度的运动相互影响； 不同坐标写方程式（刚度、柔度法） 矩阵形式及运算,1、振动微分方程建立 （1）刚度法（位移法） a) n个质量n个位移； b) 附加链杆： 反力惯性力； c) 令附加链杆发生实际位移 反力=Ri 刚度系数： d) Yi = 1 引起的反力 kii、kji e) 同理有kij、kjj,叠加(b)、(c)，附加链杆的反力之和0（原结构）,且,即有,n个自由度体系振动方程,(14-43),（2）柔度法（力法） a) n个质量n个位移； 只受惯性力-mÿi （作为静力荷载） 柔度系数： b) Pi = 1 引起的位移 ii、ji c) 同理有ij、jj,思路：考虑弹性体系的某一质量mi ，在自由振动过程中任一时刻t的位移yi ，应当等于体系中各个质量的惯性力-mÿj (j=1,2n)共同作用下所产生的静力位移。，,n个位移方程：,矩阵形式：,（1444）,M质量阵， （集中质点）对角阵 柔度阵，对称，正定，非奇异（结构）,柔度矩阵与刚度矩阵互为逆矩阵,刚度法与柔度法实质相同，形式不同。 根据结构的形式适当采用刚度法或柔度法求系数 2、按柔度法求解,振动微分方程：,设解,对任意,均成立，则,振型方程：,其中：I为单位矩阵，Y=Y1 Y2 YnT为振幅列向量,齐次方程，若Y有非零解则： 频率（特征）方程,即,展开,关于的n次方程,（1447）,频率方程 解为n个正实根i,即1/i2（i=1,2, n）; 得到n个自振频率：1，2，n ， 按从小到大顺序排列， 称为第一、第二第n频率 总称为结构自振频谱 将n个自振频率中的任意一个k代入特解：,（1447）,（i=1,2, n ）,即各质点按同一频率k作同步简谐振动， 则各质点的位移的比值： y1:y2: :yn = Y1:Y2: :Yn为定值（不随时间变化） 即任意时刻，结构振动保持同一形态，像单自由度振动。 将,代入振型方程,由于D=0，n个方程中只有n-1个方程线性无关， 不能求得Y(k)1,Y(k)2,Y(k)n的确定值， 但可以确定相对比值（主）振型。 任取n-1个方程，令Y(k)1 1规准化振型,n个自由度结构n个自振频率： 相应有n个主振动和主振型特解； 一般解主振动的线性组合：,一般情况，各质点的振动 n个主振动分量叠加而成； 各主振动的振幅AkY(k)和初相角k 取决于初始条件： n个质点的n个初始位移和n个初始速度 确定n个Ak和n个k。 自振频率和振型结构固有动力特性； 主要任务 振幅和初相角由初始条件确定,（1）两个自由度 频率方程,振型方程,取第一方程,（k=1、2）,写成列阵形式：,例143 求,解,取较大的为1，对应1为较小的,振型,频率,解II,频率方程,令,频率,正交性,振型,结构的刚度和质量分布 对称 其主振型 对称、反对称 计算自振频率： 分别就正、反对称情况 取半跨结构计算 两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： 1 1T、1 -1T *作业,【例144】,M质量阵， （集中质点）对角阵 K刚度阵，对称，正定，非奇异（结构） 设解,对任意的t（即,）等式均成立则：,2、按刚度法求解,振型方程,齐次方程非零解系数行列式D=0 频率（特征）方程,频率方程关于2的n阶代数方程（n为自由度数） 可解n个根,频率向量w：由小到大排列,其中1基本频率或第一频率,由于,n个方程线性相关，任取n1个方程可解（取Y11）,i 阶振型：,无穷多组解,标准化主振型,（一）两个自由度体系,矩阵形式：,即：,齐次方程有非零解：,频率方程（特征方程）,方程的两个根：21、2 （16-58） 21、2均0，所以两个自由度体系共有二个自振频率 1基本（第一）圆频率最小圆频率 2第二圆频率,振型方程，代入i ， 由于D=0，两个方程线性相关（两组系数成比例）， 只有一个独立方程任取其一，可得：,主振型：,振幅之比 第一振型（基本振型）,第二振型,例145 【解】 1、K M 2、频率方程 i 3、振型方程 Y(i),1、K、M： 刚度矩阵,质量矩阵,式中：,2、频率方程：,频率：,试算法：,3、振型方程 第k阶： kk,K=1 1=0.392,令Y11， 取前2个方程,同理，可求第二、三振型:,图1425,MSSolver,4、主振型的正交性 振型方程,设体系具有n个自由度， 两个不同的自振频率对应二个振型向量。,（1）,（2）,第二式两侧同时取转之置：,（1）（2）,对于质量阵M，不同频率的主振型彼此正交,对于刚度阵K，不同频率的主振型也是彼此正交,（1460）,（1461）,（1）,（2）,主振型的正交性：结构本身固有的特性 简化计算； 检验主振型是否正确 例165中的第一、二振型：,平稳阶段的纯强迫振动 结构承受简谐荷载，且各荷载的频率和相位相同 图1626，n个集中质量， k个简谐周期荷载Pjsint， 位移：,§147多自由度结构在简谐荷载下的强迫振动,图1426， n个集中质量， k个简谐周期荷载 Pjsint， 位移：,I=-Mÿ,I,纯强迫振动的解：,（14-62）,对任意的t成立：,振幅方程，可解振幅Y。 代入振动方程，可得各质点的惯性力：,惯性力幅值I0。位移、惯性力和干扰力同时最大。,（1464）,（1465）,当k（k1，2，n)时, 由 系数行列式0， 振幅、惯性力及内力均为无限大 共振现象 实际由于阻尼的存在，不会无限大，但结构也很危险，应避免。,【例146】 图1427,其中，ij、iP， 与力法中求解相同 P=0，P，0T， 且P作用于质点。,惯性力幅值 最大动力弯矩图,(p90)刚度法： n个自由度结构，各干扰力作用于质点（图1426） 振动方程：,简谐荷载：,平稳振动阶段：质点作简谐振动,振幅方程,设,（与频率方程形式相同） 若D00,即,若,（与任一频率重合）有几种情况,共振,惯性力,（1469） 可解惯性力幅值I0,（1468）,§1410计算频率的近似法,近似法计算结构的较低频率 工程实际问题 1、能量法求第一频率 动能质量和速度 应变能结构变形 能量守恒原理：一个无阻尼弹性体系自由度振动时， 任一时刻的总能量（动能与应变能之和）应当保持不变,结构自由振动： 最大振幅V=0，Umax 静力平衡位置Vmax，U0,梁的自由振动 位移,速度,动能,结构弯曲应变能,能量守恒,同时有集中质量mi 动能增加一项,公式计算自振频率，必须已知振幅曲线Y（x）， 故只能假设Y（x）。 若Y（x）第一振型，第一频率的精确值； 若Y（x）第二振型，第二频率的精确值；。 但假设的曲线往往是近似的，故求得的频率为近似值。 适于计算第一频率。 Y（x）为假设的振幅曲线至少满足位移边界条件。 通常可取某个静分布荷载q（x）作用下的弹性曲线 应变能U相应荷载作的功,若q（x）mg，且有Pimg（作功）,例149 试求两端固定等截面梁的自振第一频率。 【解】取自重q作用下的挠度曲线作为第一振型,因为qmg,【例1410】 1、三个自由度刚度法； 2、相对层间侧移刚度ki ； 3、各层重量Pmg作为水平力，产生各层位移yi; 4、其比值作为第一振型Y； 5、能量法公式：,1.125,2.375,3.375,讨论 位移形状函数Y(x) 未知，需要假设， 首先满足位移边界 Y(x)第一主振型相似1精确值， 第二主振型相似2精确值， 能量法主要计算基频 第一振型为最易实现的形状曲线 一般越接近精度越高 （近似解）1* 1 （精确解） 是真实基频的上限（仅对1而言旧版下册P206） 物理意义：近似形状曲线相当于增加了 人为约束，刚度提高,频率 ,2、集中质量法 集中质量无限自由度有限自由度 集中质量愈多，结果愈精确工作量愈大； 实用较低频率，集中质量无须太多满意结果 静力等效集中质量后，重力与原重力的合力相同 每段分布质量按杠杆原理换成位于两端的集中质量 例1411等截面简支梁，均布质量m，求自振频率。,解 a）【例141】单自由度,b)【例163】两个自由度,c),精确解,集中质量法良好的近似结果，工程上常采用； 适用于较复杂结构刚架等，简便计算最低频率； 选择集中质量位置的原则： 注意结构振动形式， 质量集中在振幅较大的地方， 使所得频率值较为精确。,14-2(b)* 148（阻尼） 149 （位移、内力） 1410（、动力系数） 111（爆炸荷载） 14 12、 13、*14、 15 （频率、振型） 14 16、17、18、*19（强迫振动） *例143利用对称性,