三章线方程组.ppt

第三章 线性方程组,线性方程组的消元法 线性方程组有解判别定理 线性方程组的应用,第一节 线性方程组的消元法,一、线性方程组的基本概念,1. 线性方程组的定义,引例,有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3，其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t,引例,有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3，其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t,不妨假设每吨货物每公里的运费为 1 元 ，问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？,解,设各厂到各用户的产品数量如表 1-2,依题意，3个厂的总产量和用户的总用量相等：,再来看总运费，由表1-1：,1,2,于是，题目要解决的问题是：,使之满足方程组 ,和 ,并使总运费最少 .,几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数为 n ，方程个数为 m ，则线性方程组可以写成如下形式 ：,若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，,否则 ，称为非齐次线性方程组 .,2. 线性方程组的线性组合,线性方程的加法：,将两个线性方程,(1),(2),的左右两边相加得到如下的新线性方程：,称为原来两个线性方程的和。,线性方程乘常数,将线性方程,两边同乘以已知常数 ，,线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。,线性方程的线性组合,将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数,再将所得的两个方程相加，得到新方程：,得到一个新的线性方程：,(3),称为原来两个方程(1)和(2)的一个,称为这个线性方程的组合系数。,将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)，如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称(II)是(I)的线性组合。,线性组合，,若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组,等价，,等价的线性方程组一定同解。,将方程组(I)变成,方程组(II)的过程称为,同解变换。,例1,二、线性方程组的消元法,求解线性方程组,1、线性方程组的初等变换,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,(2),小结：,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（1）交换方程次序；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,定义1,上述三种变换均称为线性方程组的初等变换 ,（ 与 相互替换）,3上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,定理1,线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组 ,2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),定理2,在齐次线性方程组,证明：,显然 ，方程组在化成阶梯型方程组之后 ，,方程个数不会超过原方程组中方程个数 ，即,在第一章用消元法讨论线性方程组,第二节 线性方程组有解判别定理,（1）,的求解问题.,第三章中(1) 式写成以向量 x 为未知元的方程,（2）,定理1,证明,其中,那么，相应的矩阵的,行初等变换将方程组(1)的系数矩阵A 和增广,矩阵B 分别化成,因为,都是阶梯型矩阵，所以可以看出,而,而初等变换不改变矩阵的秩，所以,定理2 n元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 .,推论1 当 时，齐次线性方程组 只有唯一的零解.,推论2 当 时，齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 .,例1 解齐次线性方程组,解 对系数矩阵A作初等变换变为最简形：,原方程的同解方程组为,取 为自由变量，即得,令 ，将之写成为通常的参数形式,其中 为任意实数，写成列向量形式,例 2 设有线性方程组,（1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解,问 为何值时，此线性方程组,解 因为方程的个数与未知量的个数相同， 故可从系数矩阵的行列式入手讨论 因为,故由克拉默法则知，当 ， ， 时,当 时，写出对应方程组的增广矩阵 ，,方程组有唯一解,并把它化成行阶梯形矩阵,所以方程组无解,当 时，,所以方程组无解,当 时，,所以方程组有无穷多个解,取 为自由未知量，得原方程组的同解方程组为,即,令 为任意常数，则得方程组的通解为,例3 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,定理3 矩阵方程 有解的充分必要条件是 .,例4 求解齐次线性方程组,解,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例5 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B进行初等变换，,故方程组无解,例6 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的通解为,例7,解证,对增广矩阵B进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,第三节 线性方程组的应用,剑桥减肥食谱问题,一种在20世纪80年代很流行的食谱，称为剑桥食谱，是经过多年研究编制出来的。这是由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学完成的。这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所希望的数量和比例的营养，Howard博士在食谱中加入了多种食品。每种食品供应了多种所需要的成分，然而没有按正确的比例。例如，,脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙，因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少量的钙。然而大豆粉包含过多的脂肪，因而加上乳清，因乳清含脂肪较少，然而乳清又含有过多的碳水化合物 在这里我们把问题简化，看看这个问题小规模的情形。表1是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量。,如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？,以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位，大豆面粉x2个单位，乳清x3个单位，则由所给条件得,MATLAB代码如下：Untitled2.m,clear; A=36,51,13;52,34,74;0,7,1.1; b=33;45;3; U=rref(A,b),网络流问题 当科学家、工程师或者经济学家研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组。例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售。许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程。 一个网络包含一组称为接合点或节点的点集，并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点。流的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显示或用变量标记。,网络流的基本假设是全部流入网络的总流量等于全部流出网络的总流量，且全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。于是，对于每个节点的流量可以用一个方程来描述。网络分析的问题就是确定当局部信息（如网络的输入）已知时，求每一分支的流量。,电路问题,在工程技术中所遇到的电路，大多数是很复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说，就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫（Kirchhoff）定律来解决。以图3-2所示的电路网络部分为例来加以说明。,于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方程组的求解,相应MATLAB代码为：dianliu.m clear A=1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0; b=0;0;0;0; R,s=rref(A,b); r=length(s); disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：') x=null(A,'r'),解之，得其解为,交通流问题 图3-3给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）。计算该网络的车流量。,由网络流量假设，有 对于节点A： 对于节点B： 对于节点C： 对于节点D： 对于节点E：,于是，所给问题可以归结为如下线性方程组的求解。,求解该问题的相应MATLAB代码：wangluo.m clear A=-1,1,0,0,0,0;0,-1,1,-1,1,0;0,0,0,0,-1,1;0,0,0,1,0,-1; 1,0,-1,0,0,0; b=50;0;-60;50;-40; R,s=rref(A,b); m,n=size(A); x0=zeros(n,1); r=length(s); x0(s,:)=R(1:r,end); disp('非齐次线性方程组的特解为：') x0 disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：') x=null(A,'r'),解这个方程组，得,其中：,马尔科夫链,马尔科夫链在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型。在每种情形中，该模型习惯上用来描述用同一种方法进行多次的实验或测量，实验中每次测试的结果属于几个指定的可能结果之一，每次测试结果依赖于最近的前一次测试。,例如，若每年要统计一个城市及其郊区的人口，像 这样的向量可以显示60%的人口住在这个城市中，40%的人口住在郊区。 中的分量加起来等于1，是说明这个地区的总人口。,下面我们先看一个数值的例子,例 令 考虑系统：它的状态由马尔科夫链 描述，随着时间的流逝，这个系统将有什么结果？,解 后面向量中的数值保留4位或5位有效数字。,继续可得,这些向量似乎是逼近 的。注意到下面,定义2 若P是随机矩阵， 则满足 的概率向量q称为随机矩阵P的稳态向量。若随机矩阵P的幂 仅包含正的数值，称P是一个正则随机矩阵。 在上例中，向量q是随机矩阵P的稳态向量。又,关于马尔科夫链我们有下面的定理 定理 若P是一个 正则随机矩阵，则P具有惟一的稳态向量q。进一步，若x0是任一个起始状态，且 ，则当 时，马尔科夫链 收敛到q。 这个定理的证明在有关马尔科夫链的教科书可找到，这里不做证明。这个定理的奇妙之处在于初始状,由于P2中每个数是严格正的，故P是一个正则随机矩阵。,状态对马尔科夫链的长期行为没有影响。下面举一例说明求解随机矩阵的稳态向量的一种方法。,例 设 ，求P的稳态向量。,对应的MATLAB代码为：weitai.m P=0.6,0.3;0.4,0.7; E=1,0;0,1; R,s=rref(P-E); r=length(s); x=null(P-E,'r'),联合收入问题,已知三家公司X,Y,Z具有图2-1所示的股份关系， 即X公司掌握Z公司50%的股份，Z公司掌握X公司30%的股份，而X公司70%的股份不受另两家公司控制等等。,现设X，Y和Z公司各自的营业净收入分别是12万 元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入 加上在其他公司的股份按比例的提成收入、试确定各 公司的联合收入及实际收入。,现代飞行器外形设计例,把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，小立方体的数目可以多达400,000个，而要解的联立方程可能多达2,000,000个。,向量组的线性相关性的应用,药方配制问题 通过中成药药方配制问题，理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识。 问题：某中药厂用9种中草药A-I，根据不同的 比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）。,试解答： （1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3 号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他 特效药配制出这两种脱销的药品。 （2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分， 请问能否配制？如何配制？,解：（1）把每一种特效药看成一个九维列向量: u1, u2, u3, u4, u5 ,u6, u7 分析7个列向量构成向量 组的线性相关性。 若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性相关，且能将 u3, u6 用其余向 量线性表示，则可以配制3号和6号药品,问题（1）的分析与求解,Matlab代码 u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8; u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2; u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12; u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0; u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0; u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6; u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20; U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7 U0,r=rref(U) 计算结果为,特征值、特征向量的应用,下面的例子说明当 时，(2)会出现什么结果。,项 表示由于猫头鹰的捕食所引起的老鼠的死亡数量（事实上，一个猫头鹰每月平均吃掉1000p只老鼠）。当p=0.325时，预测该系统的发展趋势。,也就是说，对应每6只猫头鹰，大约有13000只老鼠。,二次型的应用,工程师、经济学家、科学家和数学家常常要寻找在一些特定集合内的x值，使得二次型xTAx取最大值或最小值。具有代表性的是，这类问题可化为x是在一组单位向量中的变量的优化问题。下面我们将看到，这类条件优化问题有一个有趣且精彩的解。我们还是从一个简单的例子开始我们的讨论。,例 在下一年度，某县政府计划用一笔资金修x百公里的公路，修整y百平方公里的公园，政府部门必须确定在两个项目上如何分配它的资金，如果可能的话，可以同时开始两个项目，而不是仅开始一个项目。假设x和y必须满足下面限制条件,见图5-12。每个阴影可行集合的点(x,y)表示一个可能的年度工作计划，求在限制曲线 上的点，使资金利用达到最大。,于是，最优的工作计划是修建 百公里的公路，修整 百平方公里的公园。最优工作计划是限制曲线和无差异曲线的切点，具有更大效用的点(x,y)位于和限制曲线不相交的无差异曲线上，见图5-13。,可逆矩阵的应用,密码问题,矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是 基于利用可逆矩阵的方法。先在26个英文字母与数字 间建立起一一对应，例如可以是,若要发出信息“SEND MONEY”，使用上述代码，则此信息的编码是19，5，14，4，13，15，14，5，25，其中5表示字母E。不幸的是，这种编码很容易被别人破译。在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出现频率最高的数值而猜出它代表的是哪个字母，比如上述编码中出现最多次的数值时5，人们自,为了构造“密钥”矩阵A，我们可以从单位阵I开始，有 限次地使用第三类初等行变换，而且只用某行的整数 倍加到另一行，当然，第一类初等行变换也能使用。 这样得到的矩阵A，其元素均为整数，而且由于|A|= ±1可知， A-1的元素必然均为整数。,矩阵对角化的应用,行业就业人数预测,设某中小城市及郊区乡镇共有30万人从事农、工、 商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社 会调查表明： （1）在这30万就业人员中，目前约有15万人从事 农业，9万人从事工业，6万人经商。 （2）在务农人员中，每年约有20%改为务工，10% 改为经商。 （3）在务工人员中，每年约有20%改为务农，10% 改为经商。 （4）在经商人员中，每年约有10%改为务农，10% 改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及 经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。,解 若用3维向量 表示第i年后从事这三种职业 的人员总数，则已知 而欲求 ， 并考察在 时 的发展趋势。 依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为,即,人口迁徙问题,设在一个大城市中的总人口是固定的。 人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变 化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的 郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市 区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居 民人口比例是多少？30年、50年后又如何？,分析与求解,这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区 和郊区两个分量表示，设市区和郊区初始人口数量分 别为：xc0=0.3，xs0=0.7，一年以后， 市区人口为 xc1 (10.06) xc00.02xs0， 郊区人口 xs1 0.06xc0 (10.02)xs0 用矩阵乘法来描述，可写成：,建立模型并用MATLAB求解,从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式 可写为 输入：A0.94,0.02;0.06,0.98, x00.3;0.7 x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0 得到：,人口分布趋势分析,无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。 为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值。先求A的特征值和特征向量，得到,将A对角化,人口分布的趋势 式中的第二项会随着k的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要k27，这第二项就可以忽略不计，从而得到 。,