利用导数研究函数的极值.ppt

利用导数研究函数的极值,赤峰二中：朱明英,1.3.2利用导数研究函数的极值,教学内容,学法分析,教学过程,教法分析,数学选修2-2,新课标人教 版,B,利用导数研究函数的极值是新课标人教B版教材选修2-2第一章第三节的第二小节。第三章的内容主要分为两个部分：一是导数的概念、运算及其应用；二是定积分的概念和微积分基本定理。本节属于导数的应用部分 ，是本章的重点之一，也是高考题中经常考察的部分。前面有了导数的概念、运算做基础，而且还研究过了利用导数研究函数的单调性，后面是导数的实际应用， 所以本节在整个章节中起到了承上启下的作用。,一 教学内容分析,（一） 教材的地位和作用,（二）数学思想方法分析,作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示观察、归纳等数学方法，培养学生严谨的学习态度。注重使学生学会数学思考的一种方式几何直观。通过图形用导数的几何意义去解决问题的过程中（如导函数的正负体现了原函数的增减变化等），学会一种数学思考的数学学习方式。,（三）教学目标,1、基础知识目标： 对于可导函数，明确其定义域内一点是极值点的充分必要条件；能够利用导数求极值、闭区间最值。,2、能力训练目标：培养学生观察、归纳等方法。学会通过几何直观解决问题。,3、情感目标：让学生在学习的过程中体验凡事都要认真对待的态度。,本节的重点是利用导数知识求函数的极值；难点在于建立导 函数正负和原函数增减之间的关系；关键是能够利用图像解决以上问题。,（三）重点、难点,教法 分析,数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行了这样的教法设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学的严谨，使之获得内心感受。,学法 分析,数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳 。,1.创设情境引入概念； 观察归纳形成概念。 2.讨论研究深化概念 。 3.总结知识给出步骤。 4.即时训练巩固新知 。 5.深入探讨提高认识。 6.任务后延自主探究 。,教学过程设计,（1）教材由山峰、山谷的实例，引入极大值、极小值、极值、极值点等概念，非常直观，贴近生活,1.创设情境引入概念； 观察归纳形成概念,（2）我在这里借助一个函数图像，把生活和数学联系起来，培养学生应用数形结合方法的习惯。,函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?,观察图像：,例1,（2）讨论研究深化概念 在这里通过两个函数图象使学生更加明确了极值和极值点的区别、极大值和极小值之间没有必然的大小关系、极值和最值间的区别和联系。,探究 1、图中有哪些极值点和最值点？ 2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？ 3、最值和极值有什么联系和区别? 4、端点可能是极值点吗？,（3）总结知识给出步骤 教材中是先通过一个函数图象的观察给出必要条件，然后讨论求极值的步骤，最后给出充要条件。这样的好处在于：在探讨求极值步骤的时候更加深化了对“变号”的要求。充要条件顺理成章。我在讲课的时候调整了教材顺序，先通过图象探讨，以及 在,处情况给出充要条件，然后再过渡到求极值的步骤问题。这样一个问题在一处得到彻底解决，使学生理解和记忆的更加透彻。,f (x)0,x1,f (x)0,f (x)0,f (x)0,x2,在x=0左右两侧，导函数的正负没有发生变化。X=0不是极值点。,（4）即时训练巩固新知 教材中给出的例题给出了求极值、画函数的大致图象以及闭区间最值问题。一个例题概括了这一节课的所有内容，很全面，而且多项式函数的求导、符号判断问题相对简单，所以教材这里安排这样一个例题是十分恰当的。学生刚刚学过的知识在这里得到了应用，而且操作起来也没有困难，给学生的学习以很大的信心。,例2 1、 求函数 的极值。,解：定义域为R，y=x2-4,由y=0可得x=-2或 x=2,当x变化时，y, y的变化情况如下表：,因此，当x=-2时， y极大值=28/3,当x=2时， y极小值=4/3,(-，-2）,(-2，2）,(2，+）,+,+,极大值28/3,极小值 -4/3,2、思考与讨论：在区间-3，5上，,最小值分别是多少？-3，3上呢？,4、求可导函数y=f(x)在a,b上的最值步骤如何？,的最大值，,1、求y=f(x)在开区间（a,b)内所有使f (x）=0的点； 2、计算函数y=f(x)在区间内使f (x）=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。,(5)深入探讨提高认识 教材中换掉例题的闭区间，探讨最大值问题，使学生更加明确了最值可能是极值，也可能是区间端点值。强调了求最值问题的关键：极值和区间端点值。 这里，我在讲课时新加入一个例题：,这个例题对应了前面探讨极值问题时涉及到的,函数的特殊情况,即在,导函数值为零，但是左右不变号的问题得到强调，而且对应了课后练习A第二题的第二小题。,例3 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。,解：定义域为R， y=6x(x2-1)2。,由y=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1,当x变化时，y , y的变化情况如下表：,因此，当x=0时， y极小值=0,点评：可导函数,在点x0取得极值的充分必要条,件是,且在点x0左侧和右侧， f (x)异号。,（6）任务后延自主探究 最后，我给出了一个简单的参数问题。,学生们在课堂上自己来探讨得出结论，锻炼了他们的逆向思维能力。使学生对本节课所学知识有了更深的理解和更灵活的应用。当然，作为新授课，我注意了例题设计的难易程度，使学生既锻炼了思考能力，又不至于“跳一跳也够不到”,例4 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取极大值7；当x=3时取得极小值， 求这个极小值及a、b、c的值。,另外，我在讲授利用导数判断函数的单调性一课时，充分讨论了导函数正负和原函数增减间的关系，并且注重探讨了导函数图象和原函数图象间的关系：导函数的正负决定了原函数的增减。所以这里我用画导函数的大致图象代替了教材中的表格，形式上更简洁。而且，只要能做出表格就能画出图象，我们只关注导函数的正负，所以用数轴标根法（穿针引线，奇穿偶回）画出大致图象就可以。,谢谢！,