高中数学课时提升作业二十四3.3.3函数的最大小值与导数含解析新人教A版选修.doc

课时提升作业 二十四函数的最大(小)值与导数一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·临沂高二检测)函数y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值和最小值分别是()A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16【解析】选A.y=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),令y=0,得x=2或x=-1(舍).因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,所以ymax=5,ymin=-15.【补偿训练】函数y=在区间上的最小值为()A.2B.e2C.D.e【解析】选D.y=,令y=0,得x=1,故f(x)min=f(1)=e.2.(2016·德州高二检测)已知函数f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且f(x)<g(x),则f(x)-g(x)的最大值为()A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】选A.f(x)-g(x)=f(x)-g(x)<0,所以函数f(x)-g(x)在a,b上单调递减,所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).3.(2016·长春高二检测)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-,+)B.(-2,+)C.(0,+)D.(-1,+)【解析】选D.因为2x(x-a)<1,所以a>x-.令f(x)=x-,所以f(x)=1+2-xln2>0.所以f(x)在(0,+)上单调递增,所以f(x)>f(0)=0-1=-1,所以a的取值范围为(-1,+).4.(2016·安庆高二检测)已知函数f(x)=-x3+2ax2+3x(a>0)的导数f(x)的最大值为5,则在函数f(x)图象上的点(1,f(1)处的切线方程是()A.3x-15y+4=0B.15x-3y-2=0C.15x-3y+2=0D.3x-y+1=0【解题指南】首先由导函数的最大值可以求出a值,再求切线方程.【解析】选B.因为f(x)=-x3+2ax2+3x,所以f(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+2a2+3,因为导数f(x)的最大值为5,所以2a2+3=5,因为a>0,所以a=1,所以f(1)=5,f(1)=,所以在函数f(x)图象上的点(1,f(1)处的切线方程是y-=5(x-1),即15x-3y-2=0.5.(2016·潍坊高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值3,那么此函数在-2,2上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.以上都不对【解题指南】先根据最大值求出m,再求出f(x)在-2,2上的最小值.【解析】选A.因为f(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为f(x)在-2,0上为增函数,在0,2上为减函数,所以当x=0时,f(x)=m最大.所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值为-37.二、填空题(每小题5分,共15分)6.当x-1,1时,函数f(x)=的值域为.【解析】f(x)=,令f(x)=0,得x1=0,x2=2(舍去)当x-1,0)时,f(x)<0;当x(0,1时,f(x)>0,所以当x=0时,f(x)取极小值f(0)=0,也是最小值;而f(-1)=e,f(1)=,所以f(x)的最大值为f(-1)=e.所以f(x)的值域为0,e.答案:0,e7.(2016·洛阳高二检测)函数f(x)=(x-2,2)的最大值是,最小值是.【解析】因为f(x)=,令f(x)=0,得x=1或x=-1.又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,所以f(x)在-2,2上的最大值为2,最小值为-2.答案:2-28.若函数f(x)=(a>0)在1,+)上的最大值为,则a的值为.【解析】f(x)=,当x>时,f(x)<0,f(x)单调递减;当-<x<时,f(x)>0,f(x)单调递增;当x=时,f(x)=,解得=<1,不合题意,所以f(x)max=f(1)=,所以a=-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·宁波高二检测)设函数f(x)=exsinx.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)当x0,时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=ex(sinx+cosx)=exsin.f(x)0,所以sin0,所以2kx+2k+,kZ,即2k-x2k+,kZ.f(x)的单调增区间为,kZ.(2)由(1)知当x0,时,是单调增区间,是单调减区间.f(0)=0,f()=0,f=,所以f(x)max=f=,f(x)min=f(0)=f()=0.10.(2015·全国卷)已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性.(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-a.若a0,则f(x)>0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.若a>0,则当x时,f(x)>0;x时,f(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a0时,f(x)在(0,+)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0,令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·长沙高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为()A.1B.C.D.【解析】选D.|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-lnx的最小值,h(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=.【补偿训练】函数f(x)=ex(sinx+cosx),x0,1的值域为.【解析】当0x1时,f(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=excosx>0,所以f(x)在0,1上单调递增,则f(0)f(x)f(1),即函数f(x)的值域为.答案:2.(2016·武汉高二检测)当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是()A.-5,-3B.C.-6,-2D.-4,-3【解析】选C.当x=0时,30恒成立,aR.当0<x1时,a.设h(x)=,则h(x)=.因为x(0,1,所以h(x)>0,h(x)递增,所以h(x)max=h(1)=-6,所以a-6.当-2x<0时,a.易知h(x)=在-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.所以h(x)min=h(-1)=-2,所以a-2.综上,-6a-2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·沈阳高三模拟)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是.【解题指南】先求f(x),判断f(x)的单调性,根据函数的单调性得到函数的最值.本题只要使f(x)的最小值不大于零即可.【解析】f(x)=ex-2.由f(x)>0得ex-2>0,所以x>ln2.由f(x)<0得x<ln2,所以f(x)在x=ln2处取得最小值.只要f(x)min0即可,所以eln2-2ln2+a0,所以a2ln2-2.答案:(-,2ln2-24.定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf(2)+15,在闭区间0,m上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是.【解析】函数f(x)=x2+2xf(2)+15的导函数为f(x)=2x+2f(2),所以f(2)=4+2f(2),所以f(2)=-4,所以f(x)=x2-8x+15,且对称轴为x=4.又因为在闭区间0,m上有最大值15,最小值-1,且f(0)=15,f(4)=-1,所以0,40,m,且f(m)f(0)=15,所以4m8.答案:4,8三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·江苏高考改编)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a1,b1).设a=2,b=.(1)求方程f(x)=2的根.(2)若对任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值.【解题指南】(1)应用指数的运算性质求方程的根.(2)分离变量m,应用基本不等式求最值.【解析】(1)f(x)=2x+,由f(x)=2可得2x+=2=02x=1x=0.(2)由题意得22x+m-6恒成立,令t=2x+,则由2x>0可得t2=2,此时t2-2mt-6恒成立,即m=t+恒成立,因为t2时t+2=4,当且仅当t=2时等号成立,因此实数m的最大值为4.6.(2016·郑州高二检测)设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若当x0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由a>1知,2a>2,当x<2时,f(x)>0,故f(x)在区间(-,2)上是增函数;当2<x<2a时,f(x)<0,故f(x)在区间(2,2a)上是减函数;当x>2a时,f(x)>0,故f(x)在区间(2a,+)上是增函数.综上,当a>1时,f(x)在区间(-,2)和(2a,+)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.(2)由(1)知,当x0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a=-a3+4a2+24a,f(0)=24a.由假设知即解得1<a<6.故a的取值范围是(1,6).