算法合集之《生成树的计数及其应用》.ppt

生成树的计数及其应用,芜湖一中 周冬,引入,最小（大）生成树 最小（大）度限制生成树 最优比率生成树 ,生成树,生成树的计数,例一高速公路,一个国家需要在n座城市之间建立通信网络。 某些城市之间可以铺设通信线路。 要求任意两座城市之间恰好有一条通讯路线，试求方案个数。 满足：1n 12。,分析,首先将问题抽象成图论模型 点：城市 边：通讯线路 任意两点之间恰好只有一条路径 这是一颗树！ 问题转化为：给定一个n个点的无向图，其中无重边和自环，试求其生成树的个数。,分析,由于原题规模较小，因此我们可以使用一些复杂度较高的算法来解决它，如指数级的动态规划算法。 但是，如果规模更 一些呢？ 预备知识 关联矩阵、Kirchhoff矩阵,大,图的关联矩阵,对于无向图G，我们定义它的关联矩阵B是一个n*m的矩阵，并且满足： 如果ek=(vi，vj)，那么Bik和Bjk一个为1，另一个为-1，而第k列的其他元素均为0。 图G的关联矩阵如右下角所示：,图的关联矩阵,图的关联矩阵有什么特殊的性质呢？我们不妨来考察一下B和它的转置矩阵BT的乘积。,图的关联矩阵,根据矩阵乘法的定义，我们可以得到： 也就是说，BBTij是B第i行和第j行的内积。 因此，当i=j时， BBTij=vi的度数；而当ij时，如果存在边(vi，vj)，那么BBTij=-1，否则BBTij=0。 我们通常将BBT称为图的Kirchhoff矩阵。,图的Kirchhoff矩阵,对于无向图G，它的Kirchhoff矩阵C定义为它的度数矩阵D减去它的邻接矩阵A。显然，这样的定义满足刚才描述的性质。 有了Kirchhoff矩阵这个工具，我们可以引入Matrix-Tree定理： 对于一个无向图G，它的生成树个数等于其Kirchhoff矩阵任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。 所谓n-1阶主子式，就是对于任意一个r，将C的第r行和第r列同时删去后的新矩阵，用Cr表示。,Matrix-Tree定理,让我们通过一个例子来解释一下定理。如图所示，G是一个由5个点组成的无向图。 它的Kirchhoff矩阵C为,Matrix-Tree定理,我们取r=2，根据行列式的定义易知|detC2 | =11，这11颗生成树如下图所示。,这个定理看起来非常“神奇”，让我们尝试着去证明一下吧！,定理的证明,经过分析，我们可以发现图的Kirchhoff矩阵C具有一些有趣的性质： C的行列式总是0。 如果图是不连通的，则C的任一个n-1阶主子式的行列式均为0。 如果图是一颗树，那么C的任一个n-1阶主子式的行列式均为1。 证明略。,定理的证明,我们知道，C=BBT，因此，我们可以把C的问题转化到BBT上来。 设Br为B去掉第r行得到的矩阵，容易知道Cr =Br Br T。这时，根据Binet-Cauchy公式，我们可以将Cr的行列式展开。 其中， 是把Br中属于x的列抽出后形成的新矩阵。,定理的证明,注意观察上面的式子， 实际上是图Gx的Kirchhoff矩阵的一个n-1主子式。其中Gx是由所有的顶点和属于x的边组成的一个G的子图。,若属于x的n-1条边形成了一颗树时，由Kirchhoff矩阵的性质可知 等于1。 若属于x的n-1条边没有形成树，则Gx中将至少含有两个连通块，这时 等于0。 因此，我们认为：每次从边集中选出n-1条边，若它们形成了生成树，则答案加1，否则不变。,定理的理解,当x取遍边集所有大小为n-1的子集后，我们就可以得到原图生成树的个数。这样我们成功证明了定理！ 刚才的证明过程看起来有些“深奥”，下面就让我们从直观上来理解一下这个定理的原理。,定理的理解,试求方程 x1 +x2 + x3 =2 所有非负整数解的个数。 这是大家都很熟悉的一道组合计数问题。 通常的解法是，设有2个1和两个，我们将这4个元素任意排列，那么不同的排列的个数就等于原方程解的个数，即 。 为什么要这样做呢？,定理的理解,我们将所有6种排列列出后发现，一种排列就对应了原方程的一个解： 11对应x1=0，x2=0，x3=2 1 1对应x1=0，x2=1，x3=1 11 对应x1=0，x2=2，x3=0 也就是说，我们通过模型的转化，找出了原问题和新问题之间的对应关系，并利用有关的数学知识解决了转化后的新问题，也就同时解决了原问题。 这种转化的重要意义在于：在不同问题之间的架起了互相联系的桥梁。,定理的理解,回到我们讨论的Matrix-Tree定理上来。 我们同样是经过模型的转化后（将图模型转化为矩阵模型），发现Binet-Cauchy公式展开式中的每一项对应着边集一个大小为n-1的子集。其中，值为1的项对应一颗生成树，而没有对应生成树的项值为0。这样，将问题转化为求展开式中所有项之和。再利用已有的数学知识，就可以成功解决这个问题。,两个问题的对比,方程的解,图的生成树,类似,排列方案,展开式的项,类似,对应,对应,不同之处在于： 相互之间的对应关系更加隐蔽、复杂 需要更加强大的数学理论来支撑,定理的扩展,利用该定理，我们可以容易得到著名的Cayley公式：完全图Kn有nn-2颗生成树。 我们刚才只对图中没有重边的情况进行了分析。实际上，图中有重边时该定理仍然成立，并且证明与没有重边的情况类似。 该定理也可以扩展到有向图上，用来计算有向图的外向树的个数。,例二 UVa p10766 Organising the Organisation 例三 国王的烦恼,信息学竞赛中的应用,例三国王的烦恼,一个王国由n座城市组成。 由于遭到了洪水的袭击，许多道路都被冲毁了。 国王组织了专家进行研究，列举出了所有可以正常通行的道路。其中有的已经被冲毁，需要重新修复；有的则可以继续使用。并且所有可以继续使用的道路没有形成环。,例三国王的烦恼,国王希望修建最少的道路，使得任意两个城市之间都能互达。 请你计算可行方案的总数。 下面我们通过一个例子来看一下。,如右图所示，王国由a、b、c、d，4座城市组成 其中 蓝色边表示可以通行但需要修复的道路 红色边表示可以继续使用的道路 共有2种方案，如右下角所示,方案1,方案2,问题分析,难点在于 由于必选边的存在，我们无法直接应用Matrix-Tree定理 我们知道，如果要求生成树中必须包含某条边e，那么，我们可以将e压缩，将原图的问题转化到新图上来。 因此，我们需要 1、将所有的必选边压缩 2、求压缩后的图的生成树的个数,问题分析,压缩一条边的时间复杂度为O(n)，而最多只要压缩n-1条边。因此，第一步的复杂度为O(n2)。 计算一个图的生成树的个数的时间复杂度依赖于求其Kirchhoff矩阵行列式的时间复杂度，为O(n3)。 因此，整个算法的时间复杂度为O(n3)。,总结,矩阵的行列式,图的生成树,模型转化,数学证明,扎实的数学功底是解决问题的保证,创造性的联想则是解决问题的灵魂,谢谢大家！,Cayley公式的证明,首先计算完全图Kn的Kirchhoff矩阵的一个n-1阶主子式C1Kn： 下面我们对C1Kn进行化简。第2至第n-1列均减掉第一列，得到如下的矩阵：,Cayley公式的证明,我们可以发现，除了第一列以外，其他每列都在第一行上有一个-n，在对角线上有一个n，而其他位置上的元素均为0。 现在，我们把第2至第n行都加到第一行上去，可以得到如下矩阵：,Cayley公式的证明,再次观察这个矩阵，我们可以发现：在第一行上只有一个1，剩下部分中，只有对角线上的数字为n，其他元素都是0。因此，完全图Kn的生成树的个数为nn-2。,SPOJ p967 Parking Bay,A是一个长度为n的数字序列，每个数字都是1至n中的一个，数字可以重复。 设ci表示A中大于等于i的数字的个数，则对于任意一个i，均有cin-i。 求满足条件的序列A的个数。数据规模满足：n1000000。 例如，当n=2时，共有3种合法的序列：11、12、21；而当n=3时，共有16种合法序列。,