【名校精品】数学高考复习第5讲 曲线与方程.doc
名校精品资料数学第5讲曲线与方程基础巩固1.方程x2+xy=x表示的曲线是()来源:www.shulihua.netA.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线答案:C解析:方程变形为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.2.若ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则其顶点C的轨迹方程是()A.=1B.=1C.=1(x>3)D.=1(x>4)来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net答案:C解析:依题意作图如图,易知|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,因此|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线定义可知所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,其方程为=1(x>3).3.已知|=3,A,B分别在y轴和x轴上运动,O为原点,则动点P的轨迹方程是()A.+y2=1B.x2+=1C.+y2=1D.x2+=1答案:A解析:设A(0,y0),B(x0,0),P(x,y),则由|=3得=9,又因为=(x,y),=(0,y0),=(x0,0),由得x=,y=,因此,x0=,y0=3y,将其代入=9得+y2=1.4.已知动圆P与定圆C:(x+2)2+y2=1相外切,又与定直线l:x=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程为()A.y2=-4xB.y2=4xC.y2=-8xD.y2=8x答案:C解析:由于动圆P与定圆C:(x+2)2+y2=1相外切,又与定直线l:x=1相切,所以动圆的圆心P到点(-2,0)的距离比到直线l:x=1的距离大1,从而动圆的圆心P到点(-2,0)的距离与到直线l:x=2的距离相等,由抛物线的定义知动圆的圆心P的轨迹为抛物线,其方程为y2=-8x.5.动点P为椭圆=1(a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,动圆C与线段F1P,F1F2的延长线及线段PF2均相切,则圆心C的轨迹为()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线答案:D来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net解析:如图所示,设三个切点分别为M,N,Q,则|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|+|F2N|=|F1N|+|F2N|=|F1F2|+2|F2N|=2a,从而可知|F2N|=a-c,即N点是椭圆的右顶点.因此CNx轴.故圆心C的轨迹为直线.6.在平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=1+2(O为原点),其中1,2R,且1+2=1,则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线答案:A解析:设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3),来源:数理化网=1+2,又1+2=1,x+2y-5=0,表示一条直线.7.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是. 答案:直线x=1或射线x+y-1=0(x1)解析:由方程(x+y-1)=0可得即x+y-1=0(x1)或x=1,方程表示的曲线是直线x=1和射线x+y-1=0(x1).8.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是. 答案:=1(y0)解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,又由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,因此|FA|+|FB|=4.故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).9.直线=1与x轴、y轴相交于A,B两点,则线段AB的中点的轨迹方程是. 答案:x+y=1(x0,x1)解析:(参数法)直线=1与x轴、y轴的交点坐标分别为A(a,0),B(0,2-a),线段AB的中点为M(x,y),则x=,y=1-,消去a,得x+y=1,a0,a2,x0,x1.10.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上一点,若,求点P的轨迹方程.解:,R,A,P三点共线,且A为RP的中点.设P(x,y),R(x1,y1),则由,得(1-x1,-y1)=(x-1,y),则即x1=2-x,y1=-y,将其代入直线y=2x-4中,得y=2x.故点P的轨迹方程为y=2x.11.设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2.当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.解:设M(a,0),P(0,b),动点N(x,y),则=(x-a,y),=(-a,b),=(1,-b).=2,且-a-b2=0.上述两式消去a,b,得y2=4x.动点N的轨迹方程为y2=4x.12.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么曲线.解:如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R.设已知圆的圆心分别为O1,O2,将圆的方程分别配方,得(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,当动圆与圆O1相外切时,有|O1M|=R+2.当动圆与圆O2相内切时,有|O2M|=10-R.将两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|,即动圆圆心M(x,y)到点O1(-3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12,所以点M的轨迹是焦点为O1(-3,0),O2(3,0),长轴长等于12的椭圆.由2c=6,2a=12,得c=3,a=6,从而b2=36-9=27,故动圆圆心轨迹的方程为=1,轨迹为椭圆.拓展延伸13.在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和,求点P的轨迹C.解:设点P的坐标为(x,y),则d=4+3|x-2|.由题设可知d=x+18,即4+3|x-2|=x+18.当x>2时,由得=6-x,化简得=1.当x2时,由得=3+x,化简得y2=12x.来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net故点P的轨迹C是椭圆C1:=1在直线x=2的右侧部分与抛物线C2:y2=12x在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线.
