第七章 数字控制系统分析基础.ppt

第七章 数字控制系统分析基础,7.1 采样系统的基本概念 7.2 信号的采样和复现的数学描述 7.3 z变换理论 7.4 脉冲传递函数 7.5 采样系统的稳定性与稳态误差 7.6 采样系统的动态性能分析 7.7 采样系统的数字校正,7.1 引言 7.2 信号的采样与保持 7.3 z变换理论 7.4 脉冲传递函数 7.5 采样系统的性能与控制,10:20:30,4,一、系统：连续系统与离散系统,7.1 引言,离散系统：脉冲系统和数字系统,如果控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数,则这样的系统称为连续时间系统（continuous time system),简称连续系统;如果控制系统中有一处或几处信号是脉冲序列或数码,则这样的系统称为离散系统(discrete time system).,通常,把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统,称为采样控制系统;而把数字序列(数码)形式的离散系统,称为数字控制系统(digital control system)或计算机控制系统(computer control system).,既有本质的不同，又有分析研究方面的相识性。 相同点：1、采用反馈控制结构 2、都有被控对象、测量元件和控制器组成 3、控制系统的目的 4、系统分析的内容 不同点：信号的形式（采样器、保持器）,二、 采样控制系统（Sampled-Data Control System),图7-1 炉温采样控制系统原理图,当炉温偏离给定值时，热敏电阻的阻值发生变化，使电桥失去平衡，检流计指针发生偏移，转角为S，同步电机带动凸轮使检流计指针上下周期性地运动，检流计指针每隔T秒与电信号接触一次，每次接触时间为秒。此时电位器输出是一串宽度 ，周期为T的脉冲电压信号，用 表示。 信号仅仅在检流计指针与电位器接触时才能通过，它经过放大器，电动机，减速器控制炉门角度来改变气体的进气量，使炉温趋于给定值。当检流计离开电位器时，有误差信号，但执行电机不动作，相当于开关断开。,图7-1 信号的采样,1、采样系统：是对连续系统的信号在某些规定的时间上取值,成为断续形式的脉冲信号,而相邻两个脉冲之间是没有信号值的,如图7-1所示.,2、采样：又可分为周期采样和非周期采样(随机采样).本章仅讨论周期采样,且如果系统中有几个采样器,则它们应该是同步等周期的.,为了实现两种信号的转换,在连续信号和脉冲序列之间要用采样器(sampler),而在脉冲序列和连续信号之间要用保持器(hold).采样器和保持器,是采样控制系统中两个特殊环节., 信号采样和复现,在采样控制系统中,把连续信号转变为脉冲序列的过程,称为采样过程,简称采样.实现采样的装置称为采样器,或称采样开关,如图7-2所示.,图7-2 采样过程,(7-1),开关闭合 开关打开,3、保持器：在采样控制系统中,把脉冲序列转变为连续信号的过程,称为信号复现过程.实现复现过程的装置称为保持器,如图7-3所示.,保持器的作用有:, 实现两种信号之间的转换;, 对脉冲信号进行复现滤波,避免高频噪声加入到系统的连续部分中去.,e*(t),eh(t),图7-3 复现过程,三、 采样系统的典型结构图,根据采样器在系统中所处的位置不同,可以构成各种采样系统.如果采样器位于系统闭合回路之外,或者系统本身不存在闭合回路,则称为开环采样系统;如果采样器位于系统闭合回路之内,则称为闭环采样系统.在各种采样控制系统中,用得最多的是误差采样控制的闭环采样系统,如图7-4所示.,图7-4 采样系统典型结构图,由图7-4可见,采样开关 S 的输出 的幅值,与其输入 的幅值 之间存在线性关系.当采样开关和系统其余部分的传递函数都具有线性特性时,这样的系统就称为线性采样系统.,四、 数字控制系统(digital control system),图7-5 小口径高炮高精度数字伺服系统,1、数字控制系统介绍,数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环系统.包括：数字计算机（离散）；被控对象（controlled plant）（连续） 采样系统 时间离散，数值连续 数字系统 时间离散，数值离散,计算机作为系统的控制器（controller）,其输入输出只能是二进制编码的数字信号,即在时间上和幅值上都离散的信号,而系统中被控对象和测量元件的输入输出是连续信号,所以在计算机控制系统中,需要A/D和D/A转换器,以实现两种信号的转换.计算机控制系统的典型原理图如图7-6所示.,系统类型：,图7-6 计算机控制系统典型原理图,A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化两过程。,D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。,2、 数字控制系统的典型结构图,通常,假定所选择的 A/D 转换器有足够的字长来表示数码,量化单位 q 足够小,所以由量化引起的幅值断续性可以忽略.此外还假定,采样编码过程是瞬间完成的,可用理想脉冲的幅值等效代替数字信号的大小,则 A/D 转换器可以用周期为 T 的理想开关来代替.同理, D/A转换器可以用保持器来替代,其传递函数为 Gh(s).图7-6中的数字控制器实质上是一个数字校正装置,在结构图中可以等效为一个传递函数为 Gc(s) 的脉冲控制器和一个周期为 T 的理想采样开关 S 相串联.则图7-6的等效采样系统结构图如图7-9所示.实际上,图7-9也是数字控制系统的常见典型结构图.,图7-9 数字控制系统典型结构图,五、离散控制系统的特点, 由数字计算机构成的数字校正装置,效果比连续式校正装置好,且由软件实现的控制规律易于改变,控制灵活., 采样信号,特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声,从而提高了系统的抗干扰能力., 允许采用高灵敏度的控制元件,以提高系统的控制精度., 可用一台计算机分时控制若干个系统,经济性好., 对于具有传输延迟,特别是大滞后的控制系统,可以引人采样的方式使其趋于稳定.,六、 离散系统的研究方法,1）差分方程； 2）状态空间法； 3）z-变换法可引入连续系统的研究方法,一、采样过程分析,图7-17 实际采样过程,t,把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器,又叫采样开关.采样器的采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关 S (Switch) 来表示,如图7-17所示.,7.2 信号的采样和保持的数学描述,当采样开关的闭合时间 时,采样器就可以用一个理想采样开关来代替,采样过程可以看成是一个幅值调制过程.理想采样开关好像是一个载波为 的幅值调制器,如图7-18所示,其中 为理想单位脉冲序列.,图7-18 理想采样过程,采样过程的特点：,1、采样过程相当于一个脉冲调制过程 2、采样的输出信号可表示两个信号的乘积 决定采样时间 决定采样信号的幅值,调制器,采样器,，采样器的输出近似看成一串强度为矩形脉冲面积的理想脉冲。 采样信号的物理意义 连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制。 单位脉冲序列被连续时间信号作了幅值加权。,采样器输出看做是一串脉冲，脉冲的强度，分别等于各采样瞬时上的采样数值。,(7-3),因为单位脉冲序列 可以表示为,其中 是出现在时刻 时、强度为1的单位脉冲,故式 (7-2)可以写为,例 7-1 设 e(t)=1(t) , 试求 的拉氏变换.,解: 由式(7-7),有,这是一个无穷等比级数,公比为 ,求和后得闭合形式,显然, 是 的有理函数,例 7-2 设 为常数,试求 的拉氏变换.,式中, 为 s 的实部,上式也是 的有理函数.,解: 由式(7-7),有,例 7-3 设 试求 的拉氏变换.,解: 对于给定的 e(t) , 显然有,则由式(7-12),可得,以上分析表明,尽管 是 的有理函数,但却是复变量 s 的超越函数,不便于进行分析和设计.为此,通常采用 z 变换法研究离散系统. z 变换可以把离散系统的 s 超越方程变换为变量 z 的代数方程.,二、保持器,保持器是具有外推功能的元件.保持器的外推作用,表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推.通常,采用如下多项式外推公式描述保持器：,(7-18),式中, 是以 nT 时刻为原点的坐标.式(7-18)表示现在时刻的输出 值,取决于 各过去时刻的离散信号 的 个值.,外推公式中(m+1)个待定系数 , 唯一地由过去各采样时刻(m+1)个离散信号值 来确定,故系数 ai 有唯一解.这样的保持器称为 m 阶保持器.若取m=0 , 则称零阶保持器; m=1 称一阶保持器.在工程实践中,普遍采用零阶保持器.,1、 零阶保持器（Zero-order hold),零阶保持器（恒值外推）的外推公式为：,当 时，可求得： ,从而零阶保持器的数学表达式为,(7-19),上式说明,零阶保持器是一种按常值外推的保持器,它把前一采样时刻 nT 的采样值 e(nT) 一直保持到下一采样时刻(n+1)T到来之前（将样点幅值保持至下一时刻 ）,从而使采样信号 变成阶梯信号 ,图7-8 零阶保持器,由于零阶保持器前后的信号可分别表示为：,如图7-8所示.,零阶保持器的数学模型 采样点值的常值外推，其输入输出关系如图,和 的拉氏变换分别为：,零阶保持器的传递函数为：,(7-20),其频率特性为（以 代入）：,(7-21),若以采样角频率 来表示,则上式可写为:,(7-22),根据上式,可画出零阶保持器的幅频特性 和相频特性 如图7-9所示.,由图可见,零阶保持器具有如下特性:, 低通特性.零阶保持器基本上是一个低通滤波器,但与理想滤波器相比,在 时,其幅值只有初值的0.637., 相角滞后特性.相角滞后随 的增大而增加,从而使闭环系统的稳定性变差., 时间滞后特性.零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t),其平均响应为 ,表明其输出比输入在时间上要滞后T/2,对系统的稳定性不利.此外,阶梯输出也同时增加了系统输出的波纹.,图7-9 零阶保持器的频率特性,0,0.637,T,零阶保持器的近似实现,取前三项,取前两项,更高阶的近似，使无源网络变得非常复杂。,零阶保持器,T=0.4,T=0.8,T=0.2,T=3,（3）、一阶保持器（First order hold）(自学）,不仅可以保持采样点的幅值，而且可以保持采样点的斜 率至下一时刻。,实际使用时，,三、 香农（shannon）采样定理,为使采样后的脉冲序列频谱互不搭接，采 样频率必须大于或等于原信号所含的最高频率 的两倍,这样才有可能通过理想滤波器,把原信号毫无畸变地恢复出来,(7-14),7.3 z 变换理论,z 变换：变换域关系 连续时间信号：e(t) 拉氏变换：E(s) 离散时间信号：e(nT) Z 变换： E(z),一、 z 变换定义,对于采样函数:,取拉氏变换:,说明:z变换仅仅是一种取 的变量置换，通过它将s的超越函数变为z的幂级数或z的有理分式。,1、z变换的离散特性 z变换所处理的对象是离散时间序列，而不带有原信号采样点之间的任何信息。,2、z变换的时间特性 采样信号展开式 作z变换 调制脉冲(t-nT)对应于变换算子 z-1 ， z-1又称为一步延迟因子， z变换算子 z 带有明确的时间信息。,3、z变换的收敛和特性 z变换定义为 以z为自变量的罗朗级数。 收敛条件,设 Ze(t)=E(z),则:, 线性定理,(7-27),式中, 为常数或与t,z无关的量。,二、 z 变换性质,z 变换的基本定理,与拉氏变换的基本定理有相似之处.,证明：由z变换定义,令m=n-k, 则有,由于z变换的单边性，当m0时，有e(mT)=0, 所以,令m=n, 立即得证式(7-28)。,取k=1, 得,令m=n+1, 上式可写为,取k=2, 同理，得,取k=k时，必有,例7-9 试用实数位移定理计算延迟一个采样周期的指数函数 的 z 变换.其中 a 为常数.,解: 由式(7-28),代表时域中得滞后环节，它将采样信号滞后k个采样周期；同理， 代表时域中得超前环节，它将采样信号超前k个采样周期。,证明：由z变换的定义,令,则有, 初值定理：如果e(t)的z变换为E(z),并且 是存在的，则e(t)或e(nT)的初始值e(0)为,(7-31),(7-32), 终值定理：如果e(t)的z变换为E(z),序列e(nT)为有限值，且 存在，则,证明：由z变换线性定理,由平移定理,于是,当取n=N为有限项时，上式右端可写为,所以,终值定理亦可表示为,证明：由z变换定义,卷积和定理,一个离散系统,线性定常系统，输入输出关系可用卷积分表示,为系统的脉冲响应函数。对于离散系统，存在卷积和关系。,因为 为一串脉冲，所以对象对输入量 的响应，是各个脉冲响应之和。当 时,输出量c(t)在采样瞬时t=nT, n=0,1,2,卷积和,简记为,当 时，,例7-4 求单位阶跃函数的z变换,三、 z 变换方法, 级数求和法（从定义出发）,例7-5 求理想脉冲序列 的z变换,解: 因为 T 为采样周期,故,由拉氏变换知,因此,把上式写成闭合形式.得 的z变换为,从例7-4和例7-5可见,相同的z变换 E(z) 对应于相同的采样函数 ,但是不一定对应于相同的连续函数 e(t).,例7-6 求指数函数 的 z变换,解:,这是一个首项为1、公比为 的几何级数, 其和为:,例7-7 求 e(t)=t 的z变换,例7-8 求 的z变换, 部分分式法,先求出已知连续函数 e(t) 的拉氏变换 E(s), 然后将其分解为部分分式之和,再利用z变换表求出每一部分分式对应的z变换,最后相加即可.,表7-2 Z 变 换 表,由表看出：,注意：z 反变换给出的不是时间连续函数，而是一组离散采样点上 的函数值，因而 z 反变换不是唯一的。,3）E(z)的分母多项式中 z 的阶次与相应E(s)的分母多项式中 s 的阶次相同。,2）E(z)中，分母多项式 z 的阶次大于等于分子多项式 z 的阶次。,1）常用函数的 z 变换都是 z 的有理分式。,（3） 留数计算法（仅供参考）,设连续函数e(t)的拉普拉斯变换E(S)及全部极点已知,则可用留数计算法求Z变换,当E(S)具有一阶极点s=p1时,其留数为,当E(S)具有q阶重复极点时,其留数为,例： 求,的Z变换,解:,解:,具有两阶重极点,四、z 反变换,Z反变换是已知Z变换表达式E(z)e(nT)的过程,注意： z-变换的非唯一性，即：e*1(t)=e*2(t)，E1(s)=E2(s) 但 e1(t) e2(t) 。只能求出序列的表达式，而不能求出它的连续函数！,求解方法：长除法、部分分式法、留数法。,1、长除法（幂级数法）,要点：用长除法化为降幂排列的展开形式,Z反变换为,即：,例 求,的Z反变换,解：,2.部分分式法（因式分解法，查表法） 步骤：先将变换式写成,，展开成部分分式，,查Z变换表,两端乘以Z,例 求,的Z反变换,解：,3.留数法 （反演积分法）,设 为z平面上包围 全部极点的封闭曲线，且为反时针方向。,由此得到反演几分公式：,根据柯西留数定理，设函数 除有限个极点 外，在研究域上是解析的，且 包围了这些极点，则,函数E(z)zn-1在极点zi处的留数,曲线 可以是包含E(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线,若zi为一重极点,若zi为q重极点,例： 求,的Z反变换,解：,有两个一重极点,例： 求,的Z反变换,解：,有一个两重极点,图中：r(t)-输入信号，采样后 的 z 变换为R(z); c(t)-系统连续部分的输出信号，采样后 的 z 变换为 C(z) ; G(s)-被控对象的传递函数.,图7-10 开环离散系统,设开环离散系统如图7-10所示.,7.4 脉冲传递函数,一、脉冲传递函数基本概念,1、基本概念,所谓零初始条件,是指在 t0 时,输入脉冲序列各采样值 r(-T) , r(-2T) , 以及输出脉冲序列各采样值 c(-T) , c(-2T) , 均为零.,由于 R(z) 是已知的,因此求 c*(t) 的关键在于求出系统的脉冲传递函数 G(z) .,图7-11 实际开环离散系统,G(s),G(z),r(t),R(z),c(t),C(z),虚设开关,由卷积和定理，可得,系统的脉冲传递函数即为系统单位脉冲响应g(t)经采样后离散信号的Z变换，即,系统的响应速度越快，即其单位脉冲响应g(t)衰减越快，则相应的脉冲传递函数的展开式中包含的项数越少。,脉冲响应,脉冲响应,脉冲响应,2、 脉冲传递函数的求法,求G(z)的一般步骤：,求出系统的传递函数G(s);,将G(s)分解成部分分式后用查表法求取G(z), 若不能查表，则继续按下述步骤进行；,从nT代替g(t)中的t，再按Z变换的定义计算：,求出脉冲响应函数,(7-41),例7-13：求图示系统的G(z),解：系统的传递函数G(s)可展开成下列部分分式：,下面分别用两种方法求取G(z):,查表法：,：系统的脉冲响应函数为,所以,二、 开环系统脉冲传递函数,1）采样函数的拉氏变换具有周期性,G*(s)=G*(s+jns),E*(s)G1(s) G2(s)*=E*(s)G1(s) G2(s)*,2）离散信号可从离散符号中提出来,设G1(s)G2(s)=G (s)，,则有：,E*(s)G(s)*=,E*(s)与无关，,=E*(s)G(s)*,所以有：,两个串联元件之间有采样开关时，如图：,由图知，两个元件的输出函数分别为：,1、串联元件的G(z)：,两个串联元件之间没有采样开关时，如图：,由图知，两个元件的输出函数分别为：,经采样开关后变为：,显然：,例：比较下面两个系统的脉冲传递函数有何差别。 解： 系统（a） 系统（b） 在串联环节之间有无同步采样开关隔离时，其总的脉冲传递函数是不同的，但是，不同之处仅表现在其零点不同，极点仍然一样。,有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数,(7-76),由线性定理,由位移定理,例： 试求取图示系统的脉冲传递函数。 解 ：由公式 零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点。,(7-34),三、闭环系统脉冲传递函数,(1),G(s),H(s),R(s),+,-,C(s),E(s),图9-14 闭环系统(1),B(s),误差方程,采样后,z变换,反馈方程,输出方程,代入,作采样,z变换,误差的z变换 即 输出方程采样 z变换 输出对输入的脉冲传递函数,(7-35),(3)对于一般的单闭环系统,(7-36),例7-26：,+,-,R(s),C(s),图7-16 系统,7.5数字控制系统的性能与控制,一、数字控制系统的稳定性,1、 s 域到z域的映射,由 z 变换的定义,S 域中的任意点 , 映射到 z 域则为,等 线映射,等线映射,等线映射,总结映射关系如下： s平面上的多值，映射为z平面上的单值； s平面上的带域，映射为z平面上的圆域； s平面上的虚轴，映射为z平面上的单位圆； s平面上的左半平面，映射为z平面上的单位圆内。,2、 离散系统稳定性的充要条件,离散系统稳定性的定义: 若离散系统在有界输入序列作用下, 其输出序列也是有界的, 则称该离散系统是稳定的.,(1) 时域中离散系统稳定的充要条件,(2) z 域中离散系统稳定的充要条件,当且仅当离散特征方程 的全部特征根均分布在z平面上的单位园内, 或者说所有特征根的模均小于1, 即 , 相应的线性定常离散系统是稳定的.,解:由已知可求出开环脉冲传递函数,解出特征方程的根,此例说明, 当系统中无采样器时, 二阶连续系统总是稳定的; 但是引入采样器后, 二阶离散系统却有可能变得不稳定. 这说明采样器的引入会降低系统的稳定性. 如果提高采样频率（减小采样周期），或降低开环增益，离散系统的稳定性将得到改善。,因为 所以该离散系统不稳定.,3、 离散系统的稳定性判据,w变换,特征方程,w平面的虚轴 即 z 平面的单位圆 z平面的单位圆外 则有 z平面的单位圆内 则有,s平面、z平面、w平面的映射关系 由双线性变换，可以直接应用劳斯判据判别系统的稳定性。,例7-28 如图闭环离散系统,图7-47 闭环离散系统,试求使系统稳定的k值范围.,其中已知,解: 先求出 的 z 变换,闭环特征方程,令 得,化简后得w域特征方程,列出劳斯阵列表,系统稳定的值范围是：,对于图示的单位反馈离散系统,可见线性定常离散系统的稳态误差, 不但与系统本身的结构和参数有关, 还与输入序列的形式和幅值有关, 此外还与采样周期T 有关.,其误差脉冲传递函数为,二、数字控制系统的稳态误差,假定外作用为单位阶跃函数 1(t). 如果可以求出离散系统的闭环,脉冲传递函数 , 其中,则系统输出量的z变换为,对上式进行 z 反变换, 即可求出输出信号的脉冲序列,代表线性定常离散系统在单位阶跃函数作用下的响应过程.,三、数字控制系统的动态性能,解：包括零阶保持器在内的广义被控对象的传递函数为：,例7-33 求图示系统在单位阶跃输入的作用下的过渡过程 , 已知T=1s.,例7-33的系统,系统的闭环传递函数为：,对于单位阶跃输入：,用长除法得:,例7-33 的响应曲线,四、数字控制系统的控制,1、连续化设计技术 2、离散化设计技术,