第三节_幂级数.ppt

第三节 幂级数,一、函数项级数及其收敛域 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算,常数项级数,数,数,常数项级数,函数,函数,设,为定义在区间 I 上的函数,为定义在区间 I 上的,函数项级数., 称,对,若,收敛,为其收,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,发散 ,为其发散点,所有,发散点的全体称为其发散域 .,一、 函数项级数及其收敛域,在收敛域上,x,S,(x),函数项级数的和是,的函数 S(x),称它为函数,项级数的和函数，并写成,=,若用,表示函数项级数前 n 项的和, 即,令余项,则在收敛域上有,：,例如, 等比级数,它的收敛域是,有和函数,它的发散域是,注：,函数项级数在某点x的收敛问题，实质上是 数项级数的收敛问题；,问题:和函数的定义域?,和函数的定义域就是函数项级数的收敛域。,即:函数项级数的收敛性可以借助于常数项级数的收敛性得到,解,由比值判别法,原级数绝对收敛.,例1,分析:,考虑级数,原级数发散.,收敛,1、定义,(1),特点：,1、幂级数(1)的每一项都是非负整数幂的幂函数,2、幂级数(1)完全由系数构成的数列 来决定,标准幂级数,二、幂级数及其收敛性,例2. 求下列幂级数的收敛域 :,解: (1),级数的收敛域为,(2),级数仅在 x = 0 处收敛 .,规定: 0 ! = 1,收敛,发散,若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该幂级数发散 ,则对满足不等式,定理 1. ( Abel定理 ),收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,称为幂级数的收敛区间.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,收敛域为,关于原点的对称区间,定理2,证,由比值审敛法,证毕,定理2,注：,收敛半径的计算公式,2、公式的应用要求x的幂不能有间隔，否则失效.,3、幂级数在收敛区间（-R，R）的端点的收敛性，没有一般的结论，具体问题要具体分析。 即求收敛域：先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性,即形如:,可以借助于常数项级数的比值或根值审敛法求收敛半径.,1、幂级数,勿忘！,对端点 x =1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x = 1,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例3.求幂级数,级数为,交错级数,例2. 求下列幂级数的收敛域 :,解: (1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x = 0 处收敛 .,规定: 0 ! = 1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,的收敛半径 .,解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,由比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接,法I,法II,令,则级数变为,即,故原级数收敛半径为,例5.,的收敛域.,解: 令,级数变为,当 t = 2 时, 级数为,此级数发散;,当 t = 2 时, 级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,课堂练习： 用代换t=(x-1)/2，求幂级数的收敛域？,1.代数运算性质:,(1) 加减法,三、幂级数的运算,(2) 乘法,柯西乘积,(3) 除法,相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多.,2.和函数的分析运算性质:,性质1,性质2,逐项积分后所得到幂级数和原级数有相同的收敛半径.,性质3,逐项求导后所得到幂级数和原级数有相同的收敛半径.,例6.从已知的幂级数,出发，利用幂级数逐项微分的运算性质，证明：,证明：,解,两边积分得,例7,级数的收敛域为,例8,解,例9,解,先求收敛域,利用性质3，逐项求导，并由,常用已知和函数的幂级数,练习1、,解,练习2.,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x±1 时级数发,散,