正弦定理、余弦定理基础练习.pdf

. . 正弦定理、余弦定理 基础练习 1在 ABC 中： （1）已知 45A 、 30B 、35a，求 b； （2）已知75B、45C、6a，求c 2在 ABC 中（角度精确到1°） ： （1）已知15b、c7、B60°，求 C； （2）已知 6a 、b7、A50°，求 B 3在 ABC 中（结果保留两个有效数字）： （1）已知 a5、b7、C120°，求 c； （2）已知33b、 c7、A30°，求 a 4在 ABC 中（角度精确到1°） ： （1）已知6a、b7、9c，求 A； （2）已知33a、 4b 、79c，求 C 5根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到0.1） ： （1） 56037aBA， ； （2）74540cBA，； （3）3549baB，； （4）C20 ，a5，c3； （5）8074Cba，； （6） 141310cba， 6选择题： （1）在 ABC 中，下面等式成立的是（） A AbcCabcoscos B AbcCabsinsin CAcCacoscosDBbAacoscos （2）三角形三边之比为3 57，则这个三角形的最大角是（） A60°B120°C135°D150° （3）在 ABC 中，12cb，45C， B30°，则（） A1b，2cB2b，1c C 2 2 b， 2 2 1cD 2 2 1b， 2 2 c （4）在 ABC 中45B、25c、5b，则a（） A25B35C5D10 7填空题： . . （1） ABC 中 1AB 、 2 26 AC、面积 4 31 S，则A_； （2）在 ABC 中，若BbAacoscos，则 ABC 的形状是 _ 8在 ABC 中，BCBAA 222 sinsinsinsinsin，求角 C 综合练习 1设方程0sinsin2sin 2 CBxAx有重根，且A、B、C 为 ABC 的三内角，则 ABC 的三边a、 b、c 的关系是（） AbacBabcC cabDacb 2 2在 ABC 中90C、75A，ABCD，垂足为D，则 AB CD 的值等于（） A 2 1 B 3 1 C 4 1 D 2 3 3等腰三角形的底角正弦和余弦的和为 2 6 ，则它的顶角是（） A30°或 150° B 150 或 75°C30°D15° 4在 ABC 中)sinsin(sin3)sinsin(sin 2222 CBACBA，则这个三角形是 （）三角形 A锐角B钝角C直角D等边 5在 ABC 中 1tantan0BA ，则 ABC 是（） A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D无法确定其形状 6在 ABC 中，BA是BA 22 coscos的（）条件 A充分非必要B必要非充分 C充要D既不充分也不必要 7在锐角 ABC 中，若BC2，则 b c 的范围为（） A)3,2(B)2,3(C （0，2）D)2,2( 8已知 A 为三角形的一个内角，函数6)sin4()(cos 2 xAxAy，对于任意实数x 都有0y，则（） A 2 1 cos0AB1cos 2 1 A . . C0cosAD0cos1A 9已知锐角三角形的边长为2、3、 x，则 x 的取值范围是（） A51xB135x C513xD51x 10在 ABC 中，若面积 22 )(cbaS ABC ，则 cos A 等于（） A 2 1 B 2 3 C 13 12 D 17 15 11在 ABC 中7a、10b、15c，则Atan_ 12在 ABC 中，若 CBAcoscossin ，则 CBtantan _ 13在 ABC 中，若ACBcos1coscos2，则 ABC 的形状是 _ 14 ABC 的面积和外接圆半径都是1，则 CBAsinsinsin _ 15在 ABC 中， BA BA C coscos sinsin sin，则 ABC 的形状是 _ 16如图 5-8， A60°， A 内的点 C 到角的两边的距离分别是5 和 2，则 AC 的长 为_ 图 5-8 17已知 A 为锐角三角形一个内角，且mA)sin1lg(，n Asin1 1 lg，则Aco slg 的值为 _ 18在 ABC 中，若60A，1b，3 ABC S，则 CBA cba sinsinsin 的值为 _ 19在 ABC 中，已知ACBsincossin2，120A，1a，求 B 和ABC的 面积 20在 ABC 中，已知BACBACBAsinsin3)sinsin)(sinsinsin(sin， 求角 C 21在 ABC 中，内角A 最大， C 最小，且CA2，若bca2，求此三角形三边 之比 22已知三角形的三边长分别为1 2 xx、1 2 x、12x，求这个三角形中最大角 的度数 拓展练习 1三角形三边长是连续整数，最大角是最小角的2 倍，则最小角的余弦等于（） . . A 4 3 B 10 7 C 3 2 D 14 9 2在 ABC中， P 表示半周长， R 表示外接圆半径，下列各式中： bc cPbPA)( 2 sin 2 tan 2 tan BA BA ba ba AbBaccoscos R C c B b A a sinsinsin 正确的序号为（） A、B、C、D、 3在 ABC 中，若)( 2 cbba，则有（） ABABBA2CBA3DAB2 4在 ABC 中， ba baBA 2 tan，则此三角形为（） A等腰三角形B直角三角形 C等腰直角三角形D等腰或直角三角形 5在 ABC 中，若2lgsinlglglgBca，且 B 为锐角，则 ABC 的形状是 _ 6设 A 是 ABC 中的最小角，且 1 1 cos a a A，则a的取值范围是_ 7 如 图5-9 ， 在 平 面 上 有 两 定 点A和B ，3AB， 动 点M 、 N 满 足 1NBMNAM记 AMB 和 MNB 的面积分别为S、T，问在什么条件下， 22 TS 取得最大值？ 图 5-9 8在 ABC 中，已知C2B，求证：abbc 22 . . 图 5-10 9圆O 的半径为R，其内接 ABC 的三边a、b、c 所对的角分别为A、B、 C，若 )2(sin)sin(sin2 22 baBCAR，求 ABC 面积的最大值 10 若 ABC 是半径为r 的圆的弓形， 弦 AB 长为r2，C 为劣弧上一点， ABCD 于 D，当 C 点在什么位置时ACD 的面积最大，并求此最大面积（如图5-10） 参考答案 基础练习 1 （1） 6 2 5 b（2）62c 2 （1）24C，（2）11763 或B 3 （1）10C，（2）6.3a 4 （1） 42A，（2）150C 5 （1）83C，2.7b，2.8c； （2）95C，5 .4a，0 .5b； （3） 20A ， 111C ， 9.10c ； （4）35A，125B°，2. 7b或145A，15B，3 .2b； （5）4.7c，32A，68B； （6） 43A ， 63B ， 74C 6 （1） BBcaAbcCabSsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 ； （2）B三角形中大边对大角，由余弦定理，求出最长的边所对角的120 （ 3）A由正弦定理， 得2 30sin 45sin sin sin B C b c ，将bc2代入12cb解 得 b、c 的值； （4）C由余弦定理，Baccabcos2 222 ，即aa105025 2 ，解关于a的 方程02510 2 aa，得5a 7 （1） 4 或 4 3，由面积公式： AbcSsin 2 1 ，即Asin 2 26 2 1 4 31 ， 解得 2 2 sin A，从而求出A； （2）等腰三角形或直角三角形，由余弦定理得 ac bca b bc acb a 22 222222 ，整 理 得0)( 22222 bacba， 则0 22 ba或0 222 bac， 所 以 ，ba或 . . 222 bac 8 3 2 由正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin ，可将已知的三个角的正弦关系转 化 为 三 边 关 系 ： 222 bcaba， 即a bcba 222 ， 再 利 用 余 弦 定 理 ： 2 1 22 cos 222 ab ab ab cba C，所以， 3 2 C 综合练习 1 D 方 程 有 重 根 ， 0sinsin4)sin2( 2 CAB， 即 CABs i ns i ns i n 2 由正弦定理，得acb 2 2 C 设AB a， 则 75cosaAC ， 75sinaBC 由 面 积 关 系 式 ： BCACABCD 2 1 2 1 ，得aaaCD 4 1 150sin 2 1 75sin75cos 3A设等腰三角形顶角为、底角为，则 2 6 cossin，两边平方，解得 4 6 cossin21，即 2 1 2sin 2 1 2sin)2sin(sin又 为顶角， 30 或150 4 D 由正弦定理得)(3)( 2222 cbacba， 即bcacab222 22 22ba 2 2c，0)()()( 222 accbbacba 5 C A、 B、 C 为三角形的内角， 又 1tantan0BA ， 0tan A ， 0tanB ， 0 tantan1 tantan )tan()tan(tan BA BA BABAC，C 为钝角 6CBABABA 222222 sinsinsin1sin1coscos， A、B 为三角形的内角，0sin0sinBA， BRARBABAsin2sin2sinsinsinsin 22 （R 为ABC外接圆半 径） 由正弦定理，BRbARasin2sin2， baBAsinsin BAba BABA 22 coscos . . 7AB B B B C b c cos2 sin 2sin sin sin ， 又 ， ， ， 2 )(A0 2 20 2 0 CB BC B 4 6 B， 2 3 cos 2 2 B即 )32(3cos22.， b c B 8B由条件知 ， ， 0cos24sin16 0cos 2 AA A 即 ， ， 0cos3)cos1(2 0cos 2 AA A 2 1 cos2cos 0cos AA A 或 2 1 cosA又. 2 1 cosA又A 为三角形的一 个内角，1cosA，1cos 2 1 A 9B设三边2、3、 x 所对的三个角分别为A、B、C，根据三角形任意两边之和大于 第三边和余弦定理，有： ， ， 0 322 32 cos 0 22 32 cos 2323 222 222 x C x x B x 即 ， ， 013 0 5 51 2 2 x x x x ， ， 13 5 51 xx x x 135x 10 D由三角形面积公式：AbcSsin 2 1 Abccbasin 2 1 )( 22 )sin 4 1 1(2 222 Abcacb A bc acb sin 4 1 1 2 222 由 余 弦 定 理 ， )cos1(4sinsin 4 1 1 2 cos. 222 AAA bc acb A 22 )cos1(16sinAA AAA 22 cos16cos3216cos1， 即015cos32cos17 2 AA 解 得 17 15 cosA或AA1cos为三角形的内角， 17 15 cos1cosAA， . . 11 23 64 由余弦定理， 25 23 15102 71510 cos 222 A 23 64 cos sin tan 25 64 ) 25 23 1)( 25 23 1(cos1sin. 2 A A AAA 12 1 CBAcoscossin， CBCBcoscos)sin( CBCBCBcoscossincoscossin 1 coscos sincoscossin CB CBCB 即 1tantanCB 13等腰三角形，ACBcos1coscos2，cos1coscos2CB )(CB 1)cos(coscos2CBCB 1sinsincoscosCBCB， 1)cos(CB即0CB，即 BC 14 2 1 设ABC外接圆半径为R，则 R1 由正弦定理 8222 sinsinsin abc R c R b R a CBA 设ABC的面积为S，则 S1由面积公式 BcaAbcCabSsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 ， 2 )( 8222 sinsinsin abcab S ca S bc S CBA 2 )( 8 8abc abc 4abc 2 1 8 sinsinsin abc CBA 15直角三角形由正弦定理、余弦定理， ， C BA BA sin sinsin coscos c ba ac bca bc acb 22 222222 aabbcabacba(2)()( 222222 )b 整 理 ， 得0)( 222 cbaba a0， b0 ， 0 222 cba 222 bac 16132，由于 A、E、C、F 四点共圆，120ECF，连结 EF，在CEF中， . . 由余弦定理：3939120cos25225 222 EFEF， 又由正弦定理可 得 AECF 的外接圆直径 132 2 3 39 120sin EF AC 图答 5-7 17 n A mAnm sin1 1 lg)sin1lg()( 2 1 .，两式相减， nmAA)sin1)(sin1lg(nmA)sin1lg( 2 ，即nmA 2 coslg nmAcoslg2)( 2 1 coslgnmA 18 3 392 由 三 角 形 面积 公 式 ，AbcSsin 2 1 ，60sin1 2 1 3c， 4c 由 余 弦 定 理 ，13 2 1 41241cos2 22222 Abccba， 13a 由正弦定理， 3 392 60sin 13 sinsinsinC c B b A a 由等比定理可得： 3 392 sinsinsinCBA cba 19 12 13 30 ABC SB，ACBsincossin2，由正弦定理、余弦定理， 2222 222 2 2acbaa ab cba b，cb，120A， 30CB由正弦定理， B b A a sinsin . 3 1 30sin 120sin 1 b 12 3 30sin 3 1 1 2 1 sin 2 1 CabS ABC 2060设 RABC外接圆半径，由正弦定理： RR ab R c R b R a R c R b R a 22 3 ) 222 )( 222 (， . . 化简得：abcbaabcbacba3)( ,3)( 22 ，abcba 222 再由余弦定理，得： 2 1 22 cos 222 ab ab ab cba C60C 21456:cbaCA2，由正弦定理： CC a C a A a C c c o ss i n22s i ns i ns i n ， c a C 2 cos bca2， 2 ca b由余弦定理： a ca caa C ca a ab cba C 4 35 )( ) 2 ( 2 cos 222 222 a ca c a 4 35 2 06104 22 caca，0)(32(caca ca，ca 2 3 c ca b 4 5 2 456 4 5 2 3 :ccccba 221201211 22 xxxx，为三角形的三边， ， ， 012 01 01 2 2 x x xx 解得，1x ， ， 0)1()12()1( 02)1()1( 22 22 xxxxxxx xxxx 1 2 xx是最大的边长令其所对的角为，由余弦定理： 2 1 )122(2 122 ) 12)(1(2 ) 1() 12() 1( cos 23 23 2 22222 xxx xxx xx xxxx 120，即这个三角形中最大角的度数为120 拓展练习 1A设三角形三边为1n、n、)(1Nnn，它们所对的角分别为C、B、 A，则 AC2则正弦定理， AA n A n C n A n cossin2 1 2sin 1 sin 1 sin 1 ， )1(2 1 cos n n A由 余弦定理， )1(2 4 )1(2 )1()1( cos 2222 nn nn nn nnn A )1(2 4 ) 1(2 1 2 nn nn n n 去分母 得：nnnnnnn442 22323 nn5 2 ，Nn，5n . . )15(52 545 c o s 2 A 4 3 60 45 即最小角的余弦值为 4 3 （法二） 如图，ABC中，AC2， 设A， A、 B、 C 三内角所对的三边分别为1n、 n、 )( 1Nnn 在 AB 上取一点 D， 使B C DA C D 2BCACDB CABDCB 设 CD 为 x， 则 DA 为 x， 1 1 1 1 n n n xn n x 1 ) 1( n nn x 1 1 1 1 )1( 1 n n n n nn n 即 1 1 )1(1 )1( 22 n n nn nnn 1213 23 nnnn Nn， 5n ABC的 三 边 长 为4 、 5 、 6 由 余 弦 定 理 ， 4 3 60 163625 652 465 cos 222 A最小角的余弦值为 4 3 图答 5-8 2C正确)( 2 1 cbaP，由半角公式、余弦定理： b c cba b c acbb c b c acb AA 4 )( 4 2 2 2 1 2 c o s1 2 s i n 22222 222 bc bPcP bc bPcP bc cbacba)( 4 )22)(22( 4 )( 正确由积化和差公式、正弦定理： 2 s i n 2 c o s 2 c o s 2 s i n 2 t a n 2 t a n BABA BABA BA BA ba ba BA BA )s i n( s i n 2 1 )s i n( s i n 2 1 正 确 如 图 ： 作AB边 上 的 高CD ， 则BaBDAbADcos,cos BaAbccoscos或A、 B 中有一为钝角，同理可证得（法二）由余弦定理， . . BaAbcoscos ac bca a bc acb b 22 222222 c c c c bcaacb 2 2 2 2222222 错误由正弦定理：RR C c B b A a 2 sinsinsin 3B由正弦定理，得：CBBAsinsinsinsin 22 CBBABAsinsin)sin)(sinsin(sin CB BABABABA sinsin 2 sin 2 cos2 2 cos 2 sin2 BinCBABAsin)sin()sin( BBAsin)sin(即0sin)sin(BBA0 2 2 sin 2 cos2 BAA 0 2 c o s A ，0 2 2 sin BA ， BA2 4D由正弦定理， BA BA ba ba sinsin sinsin 2 cos 2 sin2 2 sin 2 cos2 sinsin sinsin 2 cos 2 sin 2 tan BABA BABA BA BA BA BA BA 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin BABABABA 0 2 sin BA 或 2 cos 2 sin BABA 当0 2 sin BA 时， AB； 当1 2 tan BA 时， 4 2 BA ， 2 BA BA 或 2 BA 5 等腰直角三角形2lgsinlglglgBca， 2 2 lgsinlglgB c a 2 2 sin B，又 B 为锐角，45B又 2 2 c a ，由 . . 正弦定理，有 2 2 sin sin C A 135180BCA ， CA135)135sin(2sin2CC )sin135coscos135(sin2sinCCC， 即CCCc o ss ins in 0cosC90C，45BAABC是等腰直角三角形 6), 3A 是ABC中的最小角， 600A1cos 2 1 A即 1 1 1 2 1 a a 0 )1(2 122 0 1 2 2 1 1 1 1 1 1 a aa a a a a a ， ， 31 1 0 1 3 1 aa a a a a 或 ， 3a 7当BAM为等腰三角形时， 22 TS取得最大值由余弦定理， 图答 5-10 AAABAMABAMMBcos324cos2 222 ， NNNBMNNBMNMBcos22cos2 222 NAcos22cos3241cos3cosAN 2222 )sin11 2 1 ()sin31 2 1 (NATS NA 22 sin 4 1 sin 4 3 22 ) 1cos3(1 4 1 sin 4 3 AA AAAcos 2 3 cos 4 3 sin 4 322 AAcos 2 3 cos 2 3 4 32 . . 222 ) 32 1 ( 2 3 ) 32 1 (cos 3 3 cos 2 3 4 3 AA 2 ) 32 1 (cos 2 3 8 7 A 211NBMNMB， 2 0A 1cos0A当 32 1 cos A时 ， 22 TS取 得 最 大 值 此 时3 32 1 324 2 MB， 即 ABMB3，当BAM为等腰三角形时， 22 TS取得最大值 8BC2，BBC又CBA，ACBsin)sin( 设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理： ) 2 2c o s1 2 2c o s1 (4)s i n( s i n4)s i n2()s i n2( 22222222 BC RBCRBRCRbc )sin()sin(4)2cos2(cos2 22 CBCBRCBR )sin()sin(4 2 BCCBR abBRARBAR)sin2()sin2(sinsin4 2 abbc 22 9 2 2 21 R )2(sin)sin(sin2 22 baBCAR， 由 正 弦 定 理 ： )2( 2 ) 44 (2 2 2 2 2 ba R b R c R a R 222 2babcaabcba2 222 由余弦定理， 2 2 2 2 2 cos 222 ab ab ab cba C又0C ， 4 C CabS ABC sin 2 1 4 sinsin2sin2 2 1 BRAR BARsinsin2 2 )cos()cos() 2 1 (2 2 BABAR . . )cos()cos( 2 2 2 CBAR 2 2 )cos( 2 2 2 BAR 当1)cos(BA，即 8 3 2 4 2 C BA时， 2 2 21 RS ABC最大值 10 2 8 1 r设)450(CAB，连结BC 5-11 rOBOA ，rAB2， 90AOB 135 2 90 180ACB 45135180CBAABC内接于圆O，由正弦定理， )45sin(2rAC 在ACDRt中，cos)45sin(2cosrACAD sin 2 1 ADACS ACD sincos)45(sin2 22 r 2sin 2 )290cos(1 2 r 2sin)2sin1 ( 2 2 r ) 4 1 4 1 2sin2sin( 2 2 2 r 8 ) 2 1 2(sin 2 2 2 2 rr . . 当 2 1 2sin时， 2 8 1 rS ACD最大值 由 2 1 2sin，又450，302，15 当15CAB时，ACD面积最大，最大面积为 2 8 1 r