微积分二(同济)期末考试B答案.pdf
对外经济贸易大学 20042005学年第二学期 微积分（二）期末考试试卷（ B卷） 课程代码及课序号： CMP101-1-14 学号：姓名：成绩： 班级：课序号：任课教师： 题号一二三四五六七合计 分值 一、选择题 ： （每题 2 分，共 10 分）得分 1设级数 1 n n a 绝对收敛，则 1 1 (1) n n n a n （）. A发散B条件收敛C敛散性不能判定D绝对收敛 答案： D 0 22 2 11 2.( )( ),(0)1,( )(). 22 11 22 x x xxx f t dtf xff x AeBeCeDe 设则 答案： C 111 2 3 1000 3._. 11 dxdxdxdx ABCD xxxx 下列广义积分中发散的是 答案： B 1 4.( )(0)( )_. 12 .4.2 2 x d f t dtxxfx dx AxBxCD xx 若，则 答案： B 5设)( 1 xy是方程)()(xQyxPy的一个特解，c 是任意常数，则该方程的通解是 （） A. ( ) 1 P x dt yyeB. ( ) 1 P x dx yyce C. () 1 P x dx yyecD. () 1 P x dx yyce 答案： B 二、填空题 ： （每空 2 分，共 10 分）得分 1部分和数列 n s有界是正项级数 1n n u收敛的条件。 答案：充要 2._)2sin1 ( 1 lim 0 1 0 x t x dtt x 答案： 2 e 3函数zxy的定义域是 . 答案： 2 ( , )|0,0x yxyxy， 4),(yxfZ的偏导数 x z 及 y z 在点),(yx存在且连续是),(yxf在该点 可微分的条件。 答案：充分 5微分方程20yy的通解为。 答案： 2 12 x cce 三、判断题： （每题 2 分，共 10 分 , 正确的划，错误的划）得分 aa a dxxfxfdxxfaaxf 0 ).()()()(,)(.1上连续，则在设 00 2.( )( )(,)( )( ),( )( ).(). xx f xg xf xg xf t dtg t dt函数与在上连续，且则 ).(., 1lim.3 1 1 发散则若 n n n n n u u u ).(.)1(.4 1 条件收敛收敛，则必为级数若 n n n a 0000 5.( , )(,)( ,)(,).().zf x yxyzf x yxy若在点偏导数存在，则在点一定连续 答案： 1 . 2. × 3. 4. × 5. × 四、计算题 （每题 6 分，共 48 分）得分 1设(,),wf xyz xyz 2 ,. ww f xx z 具有二阶连续导数，求续 F 偏导数 ,解： ,( , )uxyz vxyzwf u v令则 121 1(,) w ffyzfxyz x yz x 2( ,)yz fxyz xyz -2分 2 w x z 11 1f 12 fxy 2 y f 2122 1 yzffxy 2 1112222 ()fy xz fxy z fy f- -4分 2. 方程 (,)0( ,), zz F xyzf x yF yx 确定了函数其中为可微函数，求 zz xy ， 解： 122 Fz FF xx ， - 1 分 12 2 Fz FF yy ， - 1分 12 11F FF zyx - 2 分 所以 22 1212 1212 , ()() x yFyzFxzFxy Fzz xx xFyFyy xFyF ， - 2 分 3计算二重积分d, D xy 其中 D为抛物线 2 yx及直线2yx所围成的闭区域。 解：为计算简便先对x 后对 y 积分，则 2 2 : 12 yxy D y -1分 d D xy 2 1 d y 2 2y y xydx 2 22 2 1 2 1 d y y x yy 2 25 1 1 (2) d 2 y yyy -3 分 4 326 2 141 2 12436 y yyy 45 8 -2分 4计算二重积分 22 ln(1)d, D xy 其中 D 为圆周 22 1xy所围成的在第一象限的 闭区域。 解：利用极坐标 2 01 : 0 r D -1分 原式 = 2 0 d 1 2 0 ln(1)drrr -2分 2 1 22 00 1 ln(1)d(1) 2 drr 11 (2ln 2 1)(2ln 21) 2 24 -3分 1 5.( )- 2)f xx x 将展开成 (的幂级数 . 解： 1111 ( ) 2 2(2)2 1 2 f x x xx -2分 0 122 ( 1) ( 11) 222 nn n xx ）-3分 即 0 112 ( )( 1) (04) 22 nn n x f xx x ）-1分 6判别级数 2 ( 1) 1 n n n n 的收敛性 . 解：(1)limlim 1 n nn n u n 0. -2分 (2 ) 2 (1) () 1 2(1) xx x x x 0(2)x，, 1 x x 故函数单调递减 1 , nn uu-3分 所以原级数收敛。-1分 7解方程 5 2 d2 (1). d1 yy x xx 解：先解 d2 0 , d1 yy xx 即 d2d 1 yx yx ，积分得 ln2ln1ln,yxC即 2 (1)yC x，-2分 用常数变易法求特解，令 2 ( ) (1) ,yu xx则 2 (1)2(1)yuxux，代入非齐次方程得 12 (1)ux，-3分 解得 32 2 (1) 3 uxC，故原方程的通解为 3 2 2 2 (1)(1) 3 yxxC -1分 8解方程212 x yyyx e 解：特征方程为： 22 21(1)0= -1分 特征根为： 1,2 1,r -1分 齐次方程通解为： 12 () x YCC x e -1分 令非齐次方程特解为： 2 *() x yxABx e -1分 代入方程可得：0 ,2AB 非齐次方程特解为： 2 *2 x yx e -1分 原方程通解为： 2 12 ()2 xx yCC x ex e -1分 五、应用题 （共 8 分）得分 设某工厂生产A 和 B 两种产品，产量分别为x 和 y（单位：千件） ，利润函数为 22 ( ,)61642L x yxxyy（单位：万元） 已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000 公斤，现有该原料12000 公斤， 问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大总利润为多少？ 解： 目标函数： 22 ( , )61642L x yxxyy 约束条件：2000200012000xy即6xy 拉格朗日函数： 22 ( , ,)61642(6)L x yxxyyxy-4分 联立： 620 1680 60 x y Lx Ly Lxy -3分 解得唯一驻点： 3.8,2.2xy（千件）（千件） 最大利润为36.72（万元）。-1分 六、证明题： （共 6 分）得分 0 ( )0,)( )0( )(2 ) ( ). ( )0,) x f xfxF xxt f t dt F x 设在内可导，且， 证明：在内单调增加。 0)(0)0(0)()( )()()( )(2)()(2)()( 0 0000 xFFx f x xF xxfdttfxF dtttfdttfxdtttfdttxfxF x xxxx 证明： 七、 （共 8 分） 2 2 1 (1)2 n nn 求数项级数的和 得分 2 2 ( ), 1 n n x S x n ( 1,1),x 2 111 ( ) 211 n n S xx nn 11 22 1 2121 nn nn xxx nxn (0)x 13 1 22 nn nn xxx nxn 1 1 ( ) 22 n n xx S x xn 2 1 () 22 x x x (0)x 11 111 000 d ddln(1) 1 xxxn nn nnn xx xxxxx nx 2 12 ( )ln(1)(0) 24 xx S xxx x 2 2 1153 ln 2 (1)2284 n n S n -2分 -2分 -2分 -1分 -2分 -2分 -2分 -2分 -2分
