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微积分复习及解题技巧 第一章函数 一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：综合练习第二大题之2 二、求函数的定义域： （答案只要求写成不等式的形式，可不用区间 表示） 对于用数学式子来表示的函数， 它的定义域就是使这个式子有意 义的自变量 x 的取值范围（集合） 主要根据： 分式函数：分母 0 偶次根式函数：被开方式0 对数函数式：真数式0 反正（余）弦函数式：自变量1 在上述的函数解析式中， 上述情况有几种就列出几个不等式组成 不等式组解之。 典型例题：综合练习第二大题之1 补充：求 y= x x 21 2 的定义域。（答案： 2 1 2x） 三、判断函数的奇偶性： 典型例题：综合练习第一大题之3、4 第二章极限与连续 求极限主要根据： 1、常见的极限： 2、利用连续函数： 初等函数在其定义域上都连续。 例： 3、求极限 的思路： 可考虑以下 9 种可能： 0 0 型不定式（用罗彼塔法则） 2 0 C =0 0 =0 0 1 C = 2 1 C C 1 C =0 0 = 2 C =型不定 式（用罗彼塔法则） 1 sin lim 0x x x e x x x 1 1 lim )0(0 1 lim xx )()( 0 lim 0 xfxf xx 1 1 lim 1xx 1 )( )( lim xg xf x )0( 0 )( 11 lim 常数CCxf x )0( 0 )( 22 lim 常数CCxg x 特别注意：对于f（x） 、g（x）都是多项式的分式求极限时，解法见 教材 P70下总结的“规律”。 以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！ 典型例题：综合练习第二大题之3、4；第三大题之 1、3、5、7、8 补充 1：若1 )1(sin 2 2 1 lim baxx x x ，则 a= 2，b= 1. 补充 2： 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 limlim e xx x x xx x x x 补充 3： 2 1 12 1 1 2 1 12 1 12 1 . 5 1 3 1 3 1 1 2 1 ) 12)(12( 1 . 75 1 53 1 31 1 lim limlim n nnnn n nn 补充 4： 1 ln lim 1x x x 1 1 1 lim1 x x （此题用了“罗彼塔法则” ） 型 0 0 第三章导数和微分 一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：综合练习第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习： 1、求导的基本公式：教材P123 2、求导的四则运算法则：教材P110111 3、复合函数求导法则（ 最重要的求导依据 ） 4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分： dy=y/ dx 即可 典型例题：综合练习第四大题之1、2、7、9 补充：设 y= 22 )(1arctgxx，求 dy. 解： 2 2 2 2 1 2 1 1 1 22 1 1 2 1 x arctgx x x x arctgxx x y dy= ) 1 2 1 ( 2 2 x arctgx x x dxy dx 第四章中值定理，导数的应用 一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题： 典型例题：综合练习第一大题之16、19 二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程： 典型例题：综合练习第二大题之5 二、函数的单调性（增减性）及极值问题： 典型例题：综合练习第一大题之18，第二大题之 6，第六大题之 2 第五章不定积分 第六章定积分 理论内容复习： 1、原函数：)()(xfxF 则称 F（x）为 f（x）的一个原函数。 2、不定积分： 概念： f（x）的所有的原函数称f（x）的不定积分。 CxFdxxf)()( 注意以下几个基本事实： )()(xfdxxfCxfdxxf)()( dxxfdxxfd)()(Cxfxdf)()( 性质：)0()()(adxxfadxxfa注意 dxxgdxxfdxxgxf)()()()( 基本的积分公式：教材P206 3、定积分： 定义 几何意义 性质：教材 P234235性质 13 求定积分方法：牛顿莱布尼兹公式 习题复习： 一、关于积分的概念题： 典型例题：综合练习第一大题之22、24、25、第二大题之 11、14 二、求不定积分或定积分： 可供选用的方法有 直接积分法：直接使用积分基本公式 换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法 分部积分法 典型例题：综合练习第五大题之2、3、5、6 关于“换元积分法”的补充题一： Cxxd xx dx 12ln 2 1 ) 12( 12 1 2 1 12 关于“换元积分法”的补充题二： 3x xdx 解：设 x3=t2，即3x=t， 则 dx=2tdt. 3x xdx =dt t tt2)3( 2 =Ctt6 12 1 2 12 =Ctt6 3 2 3 =Cxx36)3( 3 2 3 关于“换元积分法”的补充题三： 8 0 3 1x dx 解：设 x=t3，即 t 3 x ，则 dx=3t2dt. 当 x=0 时，t=0； 当 x=8 时，t=2. 所以 8 0 3 1x dx = 0 2 1ln)1( 2 1 3 1 3 )1(3 1 3 2 0 2 2 0 2 ttdt t t t dtt =3ln3 （此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限”，即变量 x 换成变量 t 后，其上、下限也从0、8 变为 0、2） 关于“分部积分法”的补充题一： Cexdxexexdedxxe xxxxx ) 1( 关于“分部积分法”的补充题二： Cxarctgxdx x xxarctgxarctgxdx 2 2 1ln 2 1 1 1 关于“分部积分法”的补充题三： e xdxx 1 ln = 1 2 1 2 1 1 ln 2 1 ln 1 ln 2 1 ln 2 1 22 1 2 1 22 1 2 e xexdx e xxxdx e xxxdx eee = )1( 4 1 ) 2 1 2 1 ( 2 1 1 2 1 2 1 22222 eee e xe （此题为定积分的分部积分法） 三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）： 典型例题：综合练习第六大题之4 注意：此题若加多一条直线y=3x，即求三线所围平面图形的面积， 则解法为（草图略） S= 3 1 2 1 0 )3()3(dxxxdxxx= 3 1 2 1 0 )3(2dxxxdxx = 1 3 3 1 2 3 0 1 2 1 2 322 xxx = 3 1 2 3 27 3 1 9 2 3 1 = 3 13 （平方单位） 使用指南本复习参考资料应当与人手一册的 综合练习题配套使用并服从于综合练习题 。另外， 请注意如下几点： 本复习参考资料中的蓝色字体的“补 充”题是以往年级的部分应试复习题，对今年 9 月份考试的同志来说，仅仅作为参考补充。 综合练习题是我们复习重点中的重点，请 对照答案将所有 题目 完整地做一遍（使题目与 答案相结合而不要相分离，以便需要时加快查 找的速度和准确度） 。 请将上述做好的 综合练习题 随身携带，经 常复习、记忆，为应试作好准备； 考试时请 注意审题 ，碰到实在不会做的大题， 如果你发现只是综合练习题上的题目改变 了数字，那么请将你能够知道的、原来那个题 目的解法步骤完整地写出来，也能获得该题一 部分的分数。对于填空、选择这样的小题，尽 你所能去做，不要留下空白！