微积分计算公式.pdf
§3-6 常用积分公式表·例题和点评 dk xkxc(为常数 ) 11 d (1) 1 xxxc 特别， 2 11 dxc xx , 3 2 2 d 3 xxxc, 1 d2xxc x 1 dln |xxc x d ln x x a axc a , 特别，e de xx xc sin dcosx xxc cos dsinx xxc 2 2 1 dcscdcot sin xx xxc x 2 2 1 dsecdtan cos xx xxc x 22 1 darcsin(0) x xc a a ax ,特别， 2 1 darcsin 1 xxc x 22 11 darctan(0) x xc a aaax ,特别， 2 1 darctan 1 xxc x 22 11 dln(0) 2 ax xc a aaxax 或 22 11 dln(0) 2 xa xc a axaxa tandln cosx xxc cotdl n sinxxxc ln csccot 1 csc dd ln tansin 2 xxc x xx x cx ln sectan 1 sec dd ln tancos 24 xxc x xx x cx (0) 22 1 d a x xa 22 ln xxac 2 (0) 2222 darcsin 22 a axx axxaxc a 22d xax 2 (0) 2222 ln 22 a xa xaxxac 22 22 sincos esinde sincos ecosde axax axax abxbbx bx xc ab bbxabx bx xc ab 1 2222212 123 d ()2(1)()2(1) nn nn xn xc axnaaxna （递推公式） 跟我做练习 (一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例 24 含根式 2 axbxc的积分 22 45d(2)1d(2)xxxxx 套用公式 22 21 (2)1ln (2)(2)1 22 x xxx 22 1 45d(24)445d 2 xxxxxxxx 2221 45d(45)245d 2 xxxxxxx ( 请你写出答案 ) 22 11 dd(2) 45(2)1 xx xxx 2 ln (2)(2)1xx 套用公式 22 1(24)4 dd 2 4545 xx xx xxxx 2 22 1d(45)1 2d 2 4545 xx x xxxx ( 请你写出答案 ) 222 54d3(2) d(2)xxxxx 2 22322 arcsin3(2) 232 xx x 套用公式 22 1 54d(42 )454d 2 xxxxxxxx 222 1 54d(54)254d 2 xxxxxxx ( 请你写出答案 ) 222 dd(2) 543(2) xx xxx 套用公式 2 arcsin 3 x 22 (42 )4 d d1 2 5454 xx x x xxxx 2 22 1d(54)d 2 2 5454 xxx xxxx ( 请你写出答案 ) 例 25 求原函数 4 1 d 1 x x . 解因为 )21)(21()2()1(2)21(1 222222424 xxxxxxxxxx 所以令 4 22 1 12121 AxBCxD xxxxx 为待定常数）DCBA,( 22 22 ()(21)()(21) 2121 AxB xxCxDxx xxxx 从恒等式1) 12)()12)( 22 xxDxCxxBAx( 两端分子相等 ) ，可得方程组 （三次项系数） （二次项系数） （一次项系数） 常数项 0 022 022 )(1 CA DCBA DCBA DB 解这个方程组 ( 在草纸上做 ) ，得 2 1 , 22 1 , 2 1 , 22 1 DCBA.因此， 4 1 d 1 x x 22 1111 22 2 22 2 dd 2121 xx xx xxxx 右端的第一个积分为 2222 11 1(22)21(22)d11 2 22 ddd 4 214 2214 22121 x xxx xxx xxxxxxxx 2 2 2 2 1d(21)11 d 4 4 221 21 22 xx x xx x ( 套用积分公式 ) 2 11 ln(21)arctan( 21) 4 22 2 xxx 类似地，右端的第二个积分为 2 2 11 11 22 2 dln(21)arctan( 21) 214 222 x xxxx xx 所以 4 1 d 1 x x 2 2 12111 lnarctan( 21)arctan( 21) 4 221222 2 xx xx xx 2 22 12112 lnarctan1 4 2212 2 xxx xxx （见下注） 【注】 根据 tantan tan() 1tantan , 则 22 ( 21)(21)2 22 tan arctan( 21)arctan( 21) 2(1)1 1(21)( 21) xxxx xx xx xx 因此 , 2 2 arctan( 21)arctan( 21)arctan 1 x xx x 例 26 求 d (01) 1cos x x . 关于 d (01) 1cos x x ，见例 17 解令tan 2 x t( 半角替换 ) ，则 222 22 22 coscossin2cos111 222 sec1tan 22 xxx x xx 2 2 1 1 t t 2 2 dd(2arctan )d 1 xtt t 于是， 222 2 d12d d2 11cos1(1)(1) 1 1 xt t txtt t 2 2d 1 1 1 t t 2 21 arctan 1 1 tc 22 21 arctantan 2 11 x c 【点评】 求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数 那样规范化 . 这是因为从根本上说，函数( )yy x的导数或微分可以用一个“构造性”的公 式 0 ()( ) ( )lim h y xhy x y x h 或d( )dyyxx 确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法. 积分法作为微分法的逆运算， 其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类. 譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函 数，初等函数的原函数可能是非初等函数( 这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是 分数一样 ). 有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如 2 1esin ed ,d ,d ,d ln x x x xxxx xxx 等 都不能表示成初等函数. 因此， 一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得 多. 我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分. 尽管如此， 我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能 够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.
