模糊与概率.ppt

模糊与概率,本章的主要问题：,模糊和概率的基本知识 模糊集合的几何图示 模糊集合的大小的表征 模糊集合的模糊程度的度量 模糊集合间的包含关系 模糊集合间的包含关系与模糊集合的模糊程度之间的关系,一、模糊和概率的基本知识,1.是否不确定性就是随机性？概率的概念是否包含了所有的不确定性的概念？ Bayesian camp：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率 和客观测量值 Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其 他方法都是不充分的(直接指向模糊理论) 随机和模糊在概念和理论上都是有区别的 相似：通过单位间隔0,1间的数来表述不确定性，都兼有集 合和命题的结合律、交换律、分配律 区别：对待 。经典集合论， 代表概率上不可能的事件。而模糊建立在,考虑两个问题： （1） 总是真的吗？（模糊存在吗） 考虑是否逻辑上或实际中有违背“无矛盾定理”的现象（Aristotle的三个思考定理之一，另外两个是排中定理 ，同一性定理 ， 这些都是非黑即白的经典定理。） 模糊（矛盾）的产生，就是西方逻辑的结束 （2）是否可以推导条件概率算子 ？ 经典集合论中 （公理） 模糊理论：利用超集 是其子集 的子集程 度来衡量模糊集合A的模糊性，这是模糊集合的特有问题。,2. 随机与模糊：是否与多少 模糊是事件发生的程度。随机是事件是否发生的不确定性。 例子：明天有20%的几率下小雨（包含复合的不确定性） 冰箱里有一个苹果的概率为50%（Probability） 冰箱里有半个苹果（Fuzzy） 停车位问题 模糊是一种确定的不定性（deterministic uncertainty），是物理 现象的特性。用模糊代表不确定性的结果将是震撼的，人们需 要重新审视现实模型。,不精确的椭圆,概率上的椭圆还是模糊的椭圆？没有随机性的问题，所以属于模糊问题。可否 ？概率并不能包括所有的问题。概率论是一种有限测量理论。,二、模糊集合的几何图示：sets as points,将论域X的所有模糊子集的集合模糊幂集合 看成一个超立方体 ，将一个模糊集合看成是立方体内的一个点。非模糊集对应立方体的顶点。中点离各顶点等距，最大模糊。 也是唯一满足以下特性的点： （多值连续集合理论）,模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点，其坐标(匹配值)是（1/3，3/4）。表明第一个元素x1属于A的程度是1/3，第二个元素x2的程度是3/4。立方体包含了两个元素x1， x2所有可能的模糊子集。四个顶点代表x1， x2的幂集2X。对角线连接了非模糊集合的补集。,越靠近模糊立方体的中点， A就越模糊。当A到达中点时，所有四个点 汇聚到中点处(模糊黑洞)。越靠近最近的顶点， A就越确定。当A到达顶点时，全部四个点发散到四个顶点，得到二值幂集合2X。模糊立方体将Aristotelian集合“流放”到顶点处。,Proposition: A is properly fuzzy iff iff,完善模糊正方形,三、模糊集合的大小基数,A=(1/3,3/4)的基数等于M(A)=1/3+3/4=13/12。（X, In, M）定义了模糊理论的基本测量空间。M(A)等于从原点到A的矢量的模糊汉明范数(l1范数)。,两个模糊集合A和B的 距离： 距离就是如上图所示的欧几里德距离。最简单的距离就是 模糊汉明距离 ，它是坐标差值的绝对值之和。利用模糊汉 明距离，基数 M可以重写成 距离的形式：,四、模糊集合的模糊程度模糊熵,A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式：,模糊熵定理：,模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。（ ）,五、模糊集合间的包含关系包含度定理,主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship)：,如果A=(.3 0 .7)和B=(.4 .7 .9)，那么A就是B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。显然，这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的。,1.模糊子集的几何表示 B的所有模糊子集构成集合模糊幂集F(2B)，它构成了在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形，其边宽等于各隶属度值mB(xi) 。可以度量F(2B)的大小或体积V(B)，为隶属度值的乘积：,2.包含度定理： 在图7.7中，点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长方形F(2B)外不同的点A是B的不同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属于F(2B)的不同程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度： S(.,.)在0,1之间取值，其代表了多值的包含度的测量，是模糊理论中的基本的、标准的结构。如何度量S(.,.)？两种方法： (1).代数方法: 即失配法(fit-violation strategy)，假定X包含有100个元素：X=x1,x100。而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系，使得mA(x1)mB(x1)。直观上，我们认为A很大程度上是B的子集。可以估算，子集性为S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆个元素，A几乎完全是B的子集了。可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1)越大，失配的数目相对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者说，A就越象是B的超集。直观上有：,失配数的计算： max(0,mA(x)-mB(x) 归一化之后得到超集的最小度量：,包含度为：,这种包含度度量满足主导隶属度函数关系，当 时，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，则分子被加数应都为0，因此主导隶属度函数关系都满足。反之，当且仅当B是空集时， S(A,B)=0。而空集本来就无法包含集合，无论是模糊集还是非模糊集。在这两种极端情况之间，包含度的程度为： 0 S ( A, B ) 1 考虑匹配矢量A = (.2 0 .4 .5)和B = (.7 .6 .3 .7)。A几乎是B的子集，但不完全是，因为 所以， 类似可得： (2)几何方法：在图7.7中， 集合A或是位于F(2B)内, 或是在外头。直觉上，当A接近F(2B)时, S(A,B)应接近于1，当A远离F(2B)时, S(A,B)应该减小。 那么A与F(2B)之间的距离如何计算？,寻找B*(A位于F(2B)的外头): 通过F(2B)边线的直线延伸，将超立方体In分割成2n个超长方形。他们分为混合的或是纯的主值隶属度。非子集A1, A2 , A3, 分别位于不同的象限。西北和东南象限是混合主导隶属度函数的长方形，而西南和东北象限则是“纯”的长方形。通过F(2B)与A1, A3的范数距离，分别找到与西北和东南象的点A1, A3距离最近的点B1*和B3*。而离东北象限中的点A2距离最近的点B*就是B自身。由此可证得一般性勾股定理。且这种“正交”优化情况表明d(A,B)就是lp直角三角形的斜边。,基数M(A)为恒定值的点A的轨迹为一条平行于负斜率对角线的直线。以B为中心的l1范数区域呈钻石形。A1和A2到F(2B)等距，但A1比A2离B更近。而同时，M(A1)M(A2)。可见，包含度依赖于基数M(A)。考虑归一化，进一步猜测：,可以定义超集： d(A,F(2B)=d(A,B*) 为了保证其值在(0,1)之间变化,要进行归一化处理，该常数等于最大 的单位立方体距离，l1情况下值为n: S(A,B)=1-d(A,B*)/n 这种度量存在的问题（图7.9）,假定p=1，令 正交性表明： 设 其充要条件是没有失配现象发生，恒有 。所以,设 其充要条件是有失配现象 发生，这时 ，,综上：,这种证明方法同样给出了优化子集B*的一个更重要的性质： 因为如果有一个失配关系，那么 ， 所以 ，其余的 ，所以 故 。,B*是具有双重优化特性的点，它既是离A最近的B 的子集，也是离B最近的A的子集A*:,包含度定理：,推导相对频率：,结论: fuzzy theory extends probability theory 六、如何用模糊集合间的关系表征某个模糊集合的模糊程度 包含度是模糊中最基本的有代表性的一个数值 熵-包含度定理：,将包含度定理中的A、B分别用 和 代替，并注意到交集 是并集 的子集，即可证得。,该定理表明了整体是其部分的一部分的程度。 另外，利用式7-36也可得到该公式。,图示二维的熵-包含度定理。交集 是并集 的子集。可见长对角线的长度相等，所以并集 到交集 的模糊幂集所构成的超长方形的最优距离d*满足：,Thank You,