数学人教版九年级上册垂径定理习题.pdf

2014年 4 月KK的初中数学组卷 2014年 4 月 kk 的初中数学组卷 一填空题（共6 小题） 1 （2012?衢州） 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面 的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为_mm 2（2009?鸡西）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的） ， 点 O 是这段弧的圆心， C 是上一点， OCAB ， 垂足为 D，AB=300m ，CD=50m ，则这段弯路的半径是_m 3 （ 2006?衡阳）如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB 为 24cm，则截面上有油 部分油面高CD 为_cm 4 （ 2004?宜昌）如图， CD 所在的直线垂直平分线段AB ，利用这样的工具，最少使用_次就可以找到 圆形工件的圆心 5 （2007?金东区模拟） 如图，有一圆弧形门拱的拱高AB 为 1m，跨度 CD 为 4m，则这个门拱的半径为_ m 6 （ 2006?深圳模拟）在直径为10m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB=8m ，那么油的 最大深度是_m 二解答题（共24 小题） 7 （2007?增城市模拟）如图，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点E，已知 AE=1cm ，EB=5cm， DEB=30 ° （1）求圆心O 到 CD 的距离 OF； （2）求 CD 的长 8如图，两个圆都以点O 为圆心，且CD=3cm ， （1）线段 AB 的长； （2）若 BC=2，且小圆半径为，求大圆的半径 9如图， ABC 中， BAC=60 ° ，ABC=45 ° ，AB=2，D 是线段 BC 上的一个动点，以AD 为直径画 O 分别 交 AB， AC 于 E，F，连接 EF （1）探究线段EF 长度为最小值时，点D 的位置，请画出图形； （2）求出该最小值 10已知：如图，AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦，且ABCD，垂足为E （1）求证： BC=BD ； （2）若 BC=15，AD=20 ，求 AB 和 CD 的长 11已知： 如图， AB 为半圆的直径， O 为圆心， C 为半圆上一点， OE弦 AC 于点 D，交 O 于点 E若 AC=8cm ， DE=2cm 求 OD 的长 12如图， AB 为 O 的直径， CD 为弦，过A、B 分别作 AECD、BFCD，分别交直线CD 于 E、F （1）求证： CE=DF； （2）若 AB=20cm ， CD=10cm，求 AE+BF 的值 13如图所示，O 的直径 AB 和弦 CD 交于 E，已知 AE=6cm ，EB=2cm， CEA=30 ° ，求圆心O 到 CD 的距离 14如图， O 的两条弦 AB 、CD 互相垂直，垂足为E，且 AB=CD ，已知 CE=1，ED=3 ，求 O 的半径 15如图， O 直径 CDAB 于 E，AFBD 于 F，交 CD 的延长线于H，连 AC （1）求证： AC=AH ； （2）若 AB=， OH=5，求 O 的半径 16如图，在 O 中， CD 是直径， AB 是弦， ABCD 于 M，CD=10cm ，DM ：CM=1 ：4，求弦 AB 的长 17如图， O 的半径为 13cm，弦 AB CD，两弦位于圆心O 的两侧， AB=24cm ， CD=10cm，求 AB 和 CD 的距 离 18如图，在RtABC 中， C=90° ，AC=，BC=1 ，以 C 为圆心， CB 为半径画圆，交AB 于点 D，求 AD 的 长 19如图， O 中，直径 CD弦 AB 于 E 点 （1）若 AB=8， OE=3，求 O 的半径； （2）若 CD=10，DE=2 ，求 AB 的长； （3）若 O 的半径为6，AB=8 ，求 DE 的长 20若弓形的弦长为4，弓形的高为1，那么弓形所在圆的半径 21如图， O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点E，若 AE=5，BE=1， AED=30 ° （1）求 OE 和 OA 的长； （2）求 CD 的长 22如图，点A、B、C 是 O 上的三点， ABOC （1）求证： AC 平分 OAB ； （2）过点 O 作 OEAB 于点 E，交 AC 于点 P 若 AB=2 ， AOE=30 ° ，求 PE 的长； 若 AB=10 ，OA=13 ，请直接写出OP 的长 23如图，已知以点O 为两个同心圆的公共圆心，大圆的弦AB 交小圆于C、D 两点 （1）求证： AC=BD ； （2）若 AB=8， CD=4，求圆环的面积 24已知，如图，CD 为 O 的直径， A=22° ，AE 交 O 于点 B、 E，且 AB=OC ，求： EOD 的度数 25如图， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E已知 AB=2DE ，AEC=25 ° ，求 AOC 的度数 26已知：如图，AB 是 O 的直径，点C、D 在 O 上， CEAB 于 E，DFAB 于 F，且 AE=BF ，AC 与 BD 相 等吗？为什么？ 27如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径 AB 是河底线，弦CD 是水位线， CDAB，且 AB=26m ， OECD 于点 E水位正常时测得OE：CD=5 ：24 （1）求 CD 的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 28 （2010?淮北模拟）有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8m，拱顶高出水面2m现有一货船载一货箱欲从桥下 经过，已知货箱宽6m，高 1.5m（货箱底与水面持平） ，问该货船能否顺利通过该桥？ 29如图所示，已知B、C 两个乡镇相距25 千米，有一个自然保护区A 与 B 相距 15 千米，与 C 相距 20 千米，以 点 A 为圆心， 10 千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C 两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公 路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明 30 如图是无为中学某景点内的一个拱门，它是 O 的一部分已知拱门的地面宽度CD=2m， 它的最大高度EM=3m ， 求构成该拱门的O 的半径 2014年 4 月 kk 的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一填空题（共6 小题） 1 （2012?衢州） 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面 的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为8mm 考点 ： 垂径定理的应用；勾股定理 专题 ： 探究型 分析：先求出钢珠的半径及OD 的长，连接OA，过点 O 作 ODAB 于点 D，则 AB=2AD ，在 RtAOD 中利用 勾股定理即可求出AD 的长，进而得出AB 的长 解答：解：连接OA，过点 O 作 ODAB 于点 D，则 AB=2AD ， 钢珠的直径是10mm， 钢珠的半径是5mm， 钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， OD=3mm ， 在 RtAOD 中， AD=4mm， AB=2AD=2 × 4=8mm 故答案为： 8 点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 2（2009?鸡西）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的） ， 点 O 是这段弧的圆心， C 是上一点， OCAB ， 垂足为 D，AB=300m ，CD=50m ，则这段弯路的半径是250m 考点 ： 垂径定理的应用；勾股定理 分析：根据垂径定理和勾股定理可得 解答：解：设半径为r， 则 OD=r CD=r 50， OCAB， AD=BD=AB ， 在直角三角形AOD 中， AO 2=AD2+OD2， 即 r2=（ × 300） 2 +（r50） 2=22500+r2+2500 100r， r=250m 这段弯路的半径是250m 点评：相关链接： 垂径定理：垂直于弦的直径平分并且平分弦所在的弧 勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方 3 （ 2006?衡阳）如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB 为 24cm，则截面上有油 部分油面高CD 为8cm 考点 ： 垂径定理的应用；勾股定理 专题 ： 应用题 分析：先求出 AC 的长再利用勾股定理求出油面到圆心的距离，油深便可以求出 解答： 解：连接OA，在直角 OAC 中， OA=13cm ，AC=AB=12cm ， 根据勾股定理得到OC=5cm， CD=135=8cm， 因此油面高CD 为 8cm 点评：本题主要考查半径、弦心距、弦的一半所构成直角三角形，利用勾股定理求解是考查的重点 4 （ 2004?宜昌）如图， CD 所在的直线垂直平分线段AB ，利用这样的工具，最少使用2次就可以找到圆形工件 的圆心 考点 ： 垂径定理的应用 分析：根据垂径定理的推论可得，CD 所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2 次就可 以找到圆形工件的圆心 解答：解：如图所示， 根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心 点评：此题主要考查垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧 5 （2007?金东区模拟）如图，有一圆弧形门拱的拱高AB 为 1m，跨度 CD 为 4m，则这个门拱的半径为 m 考点 ： 垂径定理的应用；勾股定理 专题 ： 应用题；压轴题 分析： 连接 OC，设这个门拱的半径为r，则 OB=r1，根据垂径定理得到BC=BD=× CD，在 RtOBC 中，由勾 股定理得OC2=BC 2+OB2，然后即可得到关于 r 的方程，解方程即可求出r 解答：解：如图，连接OC， 设这个门拱的半径为r，则 OB=r 1， BC=BD=× CD=× 4=2m 在 RtOBC 中， BC=2m，OB=r 1 由勾股定理得：OC2=BC 2+OB2 即 r2=4+（r 1）2 r=m 这个门拱的半径为m 点评：此题很简单，解答此题关键是连接OC，构造出直角三角形利用勾股定理解答 6 （ 2006?深圳模拟）在直径为10m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB=8m ，那么油的 最大深度是2m 考点 ： 垂径定理的应用；勾股定理 专题 ： 压轴题 分析：本题是已知圆的直径，弦长求油的最大深度其实就是弧AB 的中点到弦AB 的距离， 可以转化为求弦心距的 问题，利用垂径定理来解决 解答：解：过点O 作 OM AB 交 AB 与 M，交弧 AB 于点 E连接 OA 在 RtOAM 中： OA=5m ，AM=AB=4m 根据勾股定理可得OM=3m ，则油的最大深度ME 为 53=2m 故答案为2 点评：圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题 二解答题（共24 小题） 7 （2007?增城市模拟）如图，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点E，已知 AE=1cm ，EB=5cm， DEB=30 ° （1）求圆心O 到 CD 的距离 OF； （2）求 CD 的长 考点 ： 垂径定理；勾股定理 专题 ： 计算题 分析：（1）先由 AE=1cm ， EB=5cm，得到半径OB=3，则 OE=2，在 Rt EFO 中，利用含30 度的直角三角形三 边的关系得到OF 的长； （2）连接 OD，在 RtDFO 中，先利用勾股定理计算出DF，由 OFCD，根据垂径定理得到DF=CF ，即 可得到弦CD 的长 解答： 解： （1） BO=（AE+BE ） =（1+5）=3， OE=31=2， 在 RtEFO 中， OEF=30° OF=1， 即点 O 到 CD 的距离为1； （2）连接 OD，如图， 在 RtDFO 中， OD=3 ， DF=2， OF CD， CD=2DF=4 CD 的长为 4 点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧也考查了勾股定理以及含30 度的直 角三角形三边的关系 8如图，两个圆都以点O 为圆心，且CD=3cm ， （1）线段 AB 的长； （2）若 BC=2，且小圆半径为，求大圆的半径 考点 ： 垂径定理；勾股定理 分析：（1）过点 O 作 OEBC 于点 E，由于 BC、AD 分别为两个圆的弦，故可知AE=DE ，BE=CE ，即可求出 AB 的长， （2）连接 OC，OD，OEBC，BC=2，则可以求出CE=1，利用勾股定理求出EO，再次利用勾股定理求出 OD 的长 解答：解： （1）过点 O 作 OEBC 于点 E， BC、 AD 分别为两个圆的弦， AE=DE ，BE=CE， AB=CD=3cm ， （2）连接 OC，OD，则 OE BC，BC=2 EC=1 由勾股定理得：EO=1 ED=4 ， 由勾股定理得：，即大圆半径为cm 点评：本题主要考查垂径定理和勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理和垂径定理的应用，本 题难度一般 9如图， ABC 中， BAC=60 ° ，ABC=45 ° ，AB=2，D 是线段 BC 上的一个动点，以AD 为直径画 O 分别 交 AB， AC 于 E，F，连接 EF （1）探究线段EF 长度为最小值时，点D 的位置，请画出图形； （2）求出该最小值 考点 ： 垂径定理；含30 度角的直角三角形；勾股定理 分析：（1）由垂线段的性质可知：当AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 的长度有最 小值， （2）连接 OE，OF，过 O 作 OHEF 于 H，由勾股定理求出AD=BD=2 ，由圆周角定理求出 EOH=EOF=BAC=60 ° ，求出 OEH=30 ° ，OE=1， OH=，EH=，由垂径定理EF=2EH ，代入求 出即可 解答：解： （ 1）如图由垂线段的性质可知：当AD 为 ABC 的边 BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 的长 度有最小值， （2）连接 OE，OF，过 O 作 OHEF 于 H， 在 RtADB 中， ABC=45 ° ，AB=2， 由勾股定理得：AD=BD=2 ，即此时圆的直径是2， 由圆周角定理得：EOH=EOF=BAC=60 ° ， OEH=30 ° ，OE=1， 在 Rt EOH 中， OH=，EH=， 由垂径定理得：EF=2EH= 点评：本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，含30 度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主 要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，但是有一定的难度 10已知：如图，AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦，且ABCD，垂足为E （1）求证： BC=BD ； （2）若 BC=15，AD=20 ，求 AB 和 CD 的长 考点 ： 垂径定理；勾股定理 专题 ： 探究型 分析：（1）直接根据垂径定理即可得出结论； （2）先根据垂径定理判断出ABD 是直角三角形，再根据勾股定理求出AB 的长，由AB?DE=AD ?BD 即可求出DE 的长，再由CD=2DE 即可得出结论 解答：（1）证明： AB 为 O 的直径， AB CD， ， BC=BD ； （2）解： AB 为 O 的直径， ADB=90 ° ， AB=25， AB?DE=AD ?BD ， × 25× DE=× 20× 15 DE=12 AB 为 O 的直径， AB CD， CD=2DE=2 × 12=24 点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解答此题的关键 11已知： 如图， AB 为半圆的直径， O 为圆心， C 为半圆上一点， OE弦 AC 于点 D，交 O 于点 E若 AC=8cm ， DE=2cm 求 OD 的长 考点 ： 垂径定理；勾股定理 专题 ： 方程思想 分析：先根据垂径定理求出AD 的长，再设OA=r ，则 OD=OA DE=r2，在 RtAOD 中利用勾股定理即可求出 OA 的长，进而可得出OD 的长 解答：解： OEAC， AC=8cm ， AD=AC=4 设 OA=r ，则 OD=OA DE=r2，在 RtAOD 中， OA 2=OD2 +AD 2， r2=（ r2） 2+16 解得， r=5 OD=3 点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键 12如图， AB 为 O 的直径， CD 为弦，过A、B 分别作 AECD、BFCD，分别交直线CD 于 E、F （1）求证： CE=DF； （2）若 AB=20cm ， CD=10cm，求 AE+BF 的值 考点 ： 垂径定理；梯形 专题 ： 几何综合题 分析：（1）过点 O 作 OG CD 于 G，则 AEOGBF，根据平行线分线段成比例定理与垂径定理即可证明； （2）OG 是直角梯形ABFE 的中位线，则AE+BF=2OG ，连接 OC，根据勾股定理和垂径定理即可求得OG 的长，进而求解 解答：（1）证明：过点O 作 OGCD 于 G， AE EF，OGEF，BFEF， AE OGBF， （ 1 分） = 又 OA=OB ， =， GE=GF， （2 分） OG 过圆心 O， OGCD， CG=GD ， （3 分） EG CG=GFGD， 即 CE=DF ； （ 4 分） （2）解：连接OC，则 OC=AB=10 ， （5 分） OG 过圆心 O， OGCD， CG=CD=5 ， （ 6分） OG=， （7 分） 梯形 ABFE 中， EG=GF，AO=OB ， OG=（AE+BF ） ， AE+EF=2OG= （8 分） 点评：本题主要考查了垂径定理的应用，利用垂径定理可以把求弦长或圆心角的问题转化为解直角三角形的问题 13如图所示，O 的直径 AB 和弦 CD 交于 E，已知 AE=6cm ，EB=2cm， CEA=30 ° ，求圆心O 到 CD 的距离 考点 ： 垂径定理；含30 度角的直角三角形；勾股定理 分析：过 O 作 OFCD 于 F，则 OF 的长是圆心O 到 CD 的距离，求出OB，求出 OE 长，在 RtOFE 中，根据 含 30 度角的直角三角形性质得出OF=OE，代入求出即可 解答： 解： 过 O 作 OFCD 于 F，则 OF 的长是圆心O 到 CD 的距离， AE=6cm ，EB=2cm， OB=4cm ， OE=4cm2cm=2cm， OFE=90° ， CEA=30 ° ， OF=OE=1cm， 即圆心 O 到 CD 的距离是1cm 点评：本题考查了直角三角形性质，点到直线的距离，含30 度角的直角三角形的性质等知识点，关键是求出OE 长和得出OF=OE 14如图， O 的两条弦 AB 、CD 互相垂直，垂足为E，且 AB=CD ，已知 CE=1，ED=3 ，求 O 的半径 考点 ： 垂径定理；勾股定理 分析：过点 O 分别作 AB 、CD 的垂线 OM、 ON，则四边形OMEN 是正方形，利用垂径定理即可求得OM ，AM 的长度，然后在直角AOM 中利用勾股定理即可求得OA 的长度 解答：解：过点O 分别作 AB、CD 的垂线 OM、ON，则四边形OMEN 是矩形，连接OA AB=CD ，AB CD， OM=ON ， 矩形 OMEN 是正方形 CE=1，ED=3 ， CD=1+3=4 ， ONCD CN=CD=2 ， EN=OM=1 ， 同理： AM=2 在直角 AMO 中， OA= 点评：本题考查了垂径定理，利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算 15如图， O 直径 CDAB 于 E，AFBD 于 F，交 CD 的延长线于H，连 AC （1）求证： AC=AH ； （2）若 AB=， OH=5，求 O 的半径 考点 ： 垂径定理；勾股定理 分析：（1）根据垂直的定义，以及圆周角定理即可证明C=H，然后根据等角对等边即可证得； （2）连接 AO ，在直角 AOE 中，根据勾股定理即可得到关于ED 与 OE 的方程，即可求解 解答：解： （1） AFBD ，CDAB， H=B， 又 C=B， C= H， AC=AH ； （2）连接 AO ， AC=AH ，CDAB ， AE=， CE=EH， 设 ED=x ，OE=y， OA=OC=OD=x+y ， EH=CE=x+2y ， OH=x+3y ， x+3y=5 ， 又 OA 2=AE2+OE2， ， x=2，y=1， O 的半径 x+y=3 点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角， 圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解 16如图，在 O 中， CD 是直径， AB 是弦， ABCD 于 M，CD=10cm ，DM ：CM=1 ：4，求弦 AB 的长 考点 ： 垂径定理；勾股定理 专题 ： 探究型 分析：连接 OA ，先由 CD=10cm，DM ：CM=1 ：4 求出 CM、DM 及 OA 的长，再由垂径定理得出AB=2AM ，由 勾股定理求出AM 的长，进而可得出结论 解答：解：如图，连接OA CD=10cm ，DM ：CM=1 ：4， CM=8 ，DM=2 ， OM=5 2=3cm， OA=5cm ， 又 CD 是直径， AB 是弦， AB CD 于 M， AB=2AM （3 分） 在 RtAOM 中， AM=4cm， AB=8cm 点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 17如图， O 的半径为 13cm，弦 AB CD，两弦位于圆心O 的两侧， AB=24cm ， CD=10cm，求 AB 和 CD 的距 离 考点 ： 垂径定理；勾股定理 分析：分别作弦AB、CD 的弦心距，设垂足为E、 F；由于 AB CD，则 E、O、F 三点共线， EF 即为 AB 、CD 间 的距离；由垂径定理，易求得BE、 DF 的长，可连接OB、OD，在构建的直角三角形中，根据勾股定理即 可求出 OE、OF 的长，也就求出了EF 的长，即弦AB 、CD 间的距离 解答：解：过 O 作 OEAB 于点 E，OFCD 于点 F，连接 OB，OD AB CD， E，O，F 三点共线， EF 即为所求的AB，CD 的距离 ， 在 RtOBE 中， OB=13，BE=12， OE=5（ cm） 在 RtODF 中， OD=13 ，=5， OF=12（cm） EF=OE+OF=17 （ cm） 答： AB 和 CD 的距离为17 厘米 点评：此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用 18如图，在RtABC 中， C=90° ，AC=，BC=1 ，以 C 为圆心， CB 为半径画圆，交AB 于点 D，求 AD 的 长 考点 ： 垂径定理；勾股定理 分析：如图，延长AC 交 C 与 E，设与圆的另一个交点为Q，首先在RtABC 中， C=90° ，AC=，BC=1 ， 利用勾股定理即可求出AB 的长度，根据题意可以知道CQ=CB=CE=1 ，然后根据割线定理即可求出AD 的 长度 解答：解：如图，延长AC 交 C 于 E，设与圆的另一个交点为Q， 在 RtABC 中， C=90° ， AC=，BC=1 ， AB=CQ、CB、CE 都是圆的半径， CQ=CB=CE=1 ， 根据割线定理得AQ?AE=AD ?AB， AD= 点评：此题首先利用了勾股定理，也考查的了相交弦定理：圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线 段的长的乘积相等 19如图， O 中，直径 CD弦 AB 于 E 点 （1）若 AB=8， OE=3，求 O 的半径； （2）若 CD=10，DE=2 ，求 AB 的长； （3）若 O 的半径为6，AB=8 ，求 DE 的长 考点 ： 垂径定理；勾股定理 分析：（1）连接半径OA，构造直角三角形AOE ，运用勾股定理求解； （2）根据条件半径和OE 的长度可以求出利用勾股定理，另一直角边AE 也就可求了； （3）先求出 OE，DE=半径 OE 解答：解： （1） 连接 OA ， CD 是 O 的直径， CD AB， AE=AB=4 ， 在 RtAOE 中， OE=3， OA=5， O 的半径是5； （3 分） （2） CD 是 O 的直径， CD=10， OA=CD=5 ， （4 分） DE=2 ， OE=52=3， （5 分） 在 RtAOE 中， AE=4， （6 分） CD 是 O 的直径， CD AB， AB=2AE=2 × 4=8； （ 7 分） （3） CD 是 O 的直径， CDAB ， AE=AB=4 ， （ 8 分） 在 RtAOE 中， OA=6 ， OE=2， （9 分） DE=OA OE=62（10 分） 点评：根据垂径定理构造直角三角形，运用勾股定理求解是本题的主要考查点 20若弓形的弦长为4，弓形的高为1，那么弓形所在圆的半径 考点 ： 垂径定理；勾股定理 分析：先根据题意画出图形，再根据垂径定理求出AC ， ACO=90 ° ，再根据勾股定理求半径 解答：解：设弓形所在圆O 的半径为r，过点 O 作 AB 的垂线 OD，垂足为C，交 O 于 D，则 ACO=90 ° AB=4 ， AC=AB=2 在 RtAOC 中， OA=r ，OC=r1，AC=2 ， 由勾股定理，得OC2+AC 2=OA2， 即（ r 1）2+22=r 2， 解得： r=2.5 故弓形所在圆的半径为2.5 点评：本题考查垂径定理的应用解此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用 勾股定理求解 21如图， O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点E，若 AE=5，BE=1， AED=30 ° （1）求 OE 和 OA 的长； （2）求 CD 的长 考点 ： 勾股定理；含30 度角的直角三角形；垂径定理 分析：（1）因为 AED=30 ° ，可过点 O 作 OF CD 于 F，构成直角三角形，先求得O 的半径为3cm，进而求得 OE=31=2； （2）首先根据30° 角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF=OE=1，再根据勾股定理求得DF 的长，然 后由垂径定理求出CD 的长 解答：解： （1）过点 O 作 OFCD 于 F，连接 DO， AE=5 ，BE=1， AB=6 ， O 的半径为3， OE=31=2 故 OE 的长为 2， OA 的长为 3； （2） AED=30 ° ， OF=1， DF=2， 由垂径定理得：CD=2DF=4 故 CD 的长为 4 点评：考查了勾股定理，垂径定理和含30 度角的直角三角形有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的 直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法 22如图，点A、B、C 是 O 上的三点， ABOC （1）求证： AC 平分 OAB ； （2）过点 O 作 OEAB 于点 E，交 AC 于点 P 若 AB=2 ， AOE=30 ° ，求 PE 的长； 若 AB=10 ，OA=13 ，请直接写出OP 的长 考点 ： 垂径定理；平行线的性质；勾股定理 专题 ： 计算题 分析：（1）由 AB OC，得 C=BAC ，而 C=OAC，得到 BAC= OAC ； （2） 由 OEAB ，AB=2 ，得 AE=AB=1 ，再由 AOE=30 ° ， OEA=90 ° ，得到 OE=AE=，然后 根据 AB OC，得到=，即=，利用比例的性质即可得到PE 和 的方法一样， 先根据垂径定理得到AE=5 ，根据勾股定理得OE=12，再利用 AB OC， 得到=，利用比例的性质即可得到OP 解答：（1）证明： AB OC， C= BAC ； OA=OC ， C= OAC， BAC= OAC ， 即 AC 平分 OAB ； （2）解： OEAB ，AB=2 ， ， 又 AOE=30 ° ， OEA=90 ° ， OE=AE=， AB OC =，即=， =， PE=OE=； AB=10 ， AE=5 ， 在 RtOAE 中， OA=13 ，OE=12， AB OC =， =， OP=× 12= 点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧也考查了勾股定理、平行线的性质、 三角形相似的性质以及比例的性质 23如图，已知以点O 为两个同心圆的公共圆心，大圆的弦AB 交小圆于C、D 两点 （1）求证： AC=BD ； （2）若 AB=8， CD=4，求圆环的面积 考点 ： 垂径定理；勾股定理 分析：（1）首先过点O 作 OEAB 于 E，由垂径定理可证得AE=BE ，CE=DE ，继而可得AC=BD ； （2）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE 2=OA2AE2，OE2=OC2CE2，继而可得 OA 2OC2=12， 则可求得圆环的面积 解答：解： （1）过点 O 作 OEAB 于 E， AE=BE ，CE=DE， AE CE=BEDE， AC=BD ； （2）连接 OA ，OC， 在 RtAOE 与 RtOCE 中： OE2=OA 2 AE2，OE2=OC2CE2， OA 2AE2=OC2CE2， OA 2OC2=AE2CE2， AB=8 ，CD=4， AE=4 ，CE=2， OA 2OC2=12， 圆环的面积为： OA 2 OC2= （OA2OC2）=12 点评：此题考查了垂径定理与勾股定理的知识此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅 助线的作法 24已知，如图，CD 为 O 的直径， A=22° ，AE 交 O 于点 B、 E，且 AB=OC ，求： EOD 的度数 考点 ： 圆的认识；等腰三角形的性质 专题 ： 计算题 分析：连接 OB，由圆的半径相等，得到AB=OB ， OBE=2A=44 ° =E，而 EOD 是AOE 的一个外角，由三 角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，可以求出EOA 的度数 解答：解：连接OB AB=OC=OB ， BOC=A=22 ° ， EBO=2 A=44° ， OE=OC ， E= EBO=44° ， EOD=A+ E=22° +44° =66° 点评：本题考查的是对圆的认识，根据同圆的半径相等，可以得到OC=OB=OE ，然后由三角形中等边对等角以及 三角形一外角等于不相邻的两内角之和，求出EOD 的度数 25如图， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E已知 AB=2DE ，AEC=25 ° ，求 AOC 的度数 考点 ： 圆的认识 分析：求 AOC 的度数，可以转化为求C 与 E 的问题 解答：解：连接OD， AB=2DE=2OD ， OD=DE ， 又 E=25° ， DOE=E=25° ， ODC=50 ° ， 同理 C=ODC=50 ° AOC= E+OCE=75° 点评：本题主要考查了三角形的外角和定理，外角等于不相邻的两个内角的和 26已知：如图，AB 是 O 的直径，点C、D 在 O 上， CEAB 于 E，DFAB 于 F，且 AE=BF ，AC 与 BD 相 等吗？为什么？ 考点 ： 圆的认识；全等三角形的判定与性质 专题 ： 计算题 分析：连结 OC、OD，由 OA=OB ，AE=BF ，得到 OE=OF，由 CEAB ，DFAB 得到 OEC=OFD=90 ° ，再根 据“ HL ” 可判断 RtOECRtOFD，则 COE=DOF，所以 AC 弧=BD 弧， AC=BD 解答：解： AC 与 BD 相等理由如下： 连结 OC、OD，如图， OA=OB ，AE=BF ， OE=OF， CE AB，DFAB， OEC=OFD=90° ， 在 RtOEC 和 RtOFD 中， ， RtOEC RtOFD（HL ） ， COE=DOF， AC 弧=BD 弧， AC=BD 点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）也 考查了直角三角形全等的判定与性质 27如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径 AB 是河底线，弦CD 是水位线， CDAB，且 AB=26m ， OECD 于点 E水位正常时测得OE：CD=5 ：24 （1）求 CD 的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 考点 ： 垂径定理的应用；勾股定理 分析：（1）在直角三角形EOD 中利用勾股定理求得ED 的长， 2ED 等于弦 CD 的长； （2）延长 OE 交圆 O 于点 F 求得 EF=OFOE=135=8m，然后利用，所以经过2 小时桥洞 会刚刚被灌满 解答：解： （1）直径AB=26m ， OD=， OE CD， ， OE： CD=5：24， OE： ED=5： 12， 设 OE=5x ，ED=12x ， 在 RtODE 中（ 5x） 2+（12x）2=132， 解得 x=1， CD=2DE=2 × 12× 1=24m； （2）由（ 1）得 OE=1× 5=5m， 延长 OE 交圆 O 于点 F， EF=OF OE=135=8m， ，即经过 2 小时桥洞会刚刚被灌满 点评：此题主要考查了垂径定理的应用以及扇形面积公式等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决 28 （2010?淮北模拟）有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8m，拱顶高出水面2m现有一货船载一货箱欲从桥下 经过，已知货箱宽6m，高 1.5m（货箱底与水面持平） ，问该货船能否顺利通过该桥？ 考点 ： 垂径定理的应用 专题 ： 探究型 分析：作出弧 AB 所在圆的圆心O，连接 OA、ON，设 OA=r ，先由垂径定理得出MH=NH ，再用勾股定理求出r 的值，在RtONH 中利用勾股定理求出FN 的长即可作出判断 解答：解：作出弧A