人教A版数学必修二教案：§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系.pdf

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、教材分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点. 异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理 4 是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准 确把握两异面直线所成角的概念. 二、教学目标 1知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角公理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识. 3情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣. 三、重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线 与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公 路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置 关系 . 思路 2.（事例导入） 观察长方体（图1） ，你能发现长方体ABCD A B C D中，线段 AB所在的直线与线段CC所在直线 的位置关系如何？ 图 1 （二）推进新课、新知探究、提出问题 什么叫做异面直线？ 总结空间中直线与直线的位置关系. 两异面直线的画法. 在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立 吗？ 什么是空间等角定理？ 什么叫做两异面直线所成的角？ 什么叫做两条直线互相垂直？ 活动： 先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确 的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果： 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式 给出的问题一般用反证法证明. 空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图 1)，引导学生得出空间的两条直线的三 种位置关系： .,: ;,: ;,: 没有公共点不同在任何一个平面内异面直线 没有公共点同一平面内平行直线 有且只有一个公共点同一平面内相交直线 共面直线 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2. 图 2 组织学生思考： 长方体 ABCD ABCD中，如图1, BB AA ，DD AA ,BB与 DD 平行吗？ 通过观察得出结论：BB 与 DD 平行 . 再联系其他相应实例归纳出公理4. 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：ab,bcac. 强调：公理4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理 4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？ 可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图 3，异面直线a、b，在空间中任取一点 O，过点 O 分别引 aa，bb，则 a，b所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角. 图 3 针对这个定义，我们来思考两个问题. 问题 1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O 有无限制条件？ 答：在这个定义中， 空间中的一点是任意取的.若在空间中， 再取一点O （图 4） ， 过点 O 作 a a， b b， 根据等角定理，a 与 b 所成的锐角（或直角）和a与 b 所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引 两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与 所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O 取 在 a 或 b 上（如图3）. 图 4 问题 2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？ 答：没有矛盾.当 a、b 相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛 盾，是相交直线所成角概念的推广. 在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0° ，90° ，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说 这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和 这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）. 图 5 （三）应用示例 思路 1 例 1 如图 6，空间四边形ABCD 中， E、F、 G、 H 分别是 AB 、BC、CD、DA 的中点 . 图 6 求证：四边形EFGH 是平行四边形. 证明： 连接 EH，因为 EH 是ABD 的中位线，所以EHBD，且 EH=BD 2 1 . 同理， FGBD，且 FG=BD 2 1 . 所以 EH FG，且 EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练 1.如图 6，空间四边形ABCD 中， E、F、G、H 分别是 AB 、BC、CD、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形 . 证明： 连接 EH，因为 EH 是ABD 的中位线，所以EHBD，且 EH=BD 2 1 . 同理， FGBD，EFAC，且 FG=BD 2 1 ,EF=AC 2 1 . 所以 EH FG，且 EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为 AC=BD, 所以 EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形 . 2.如图 6，空间四边形ABCD 中， E、F、G、H 分别是 AB 、BC、CD、DA 的中点且AC=BD ，AC BD. 求证：四边形EFGH 是正方形 . 证明： 连接 EH，因为 EH 是ABD 的中位线， 所以 EH BD ，且 EH=BD 2 1 . 同理， FGBD，EFAC，且 FG=BD 2 1 ，EF=AC 2 1 . 所以 EH FG，且 EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为 AC=BD ，所以 EF=EH. 因为 FGBD，EFAC，所以FEH 为两异面直线AC 与 BD 所成的角 .又因为 ACBD ，所以 EFEH. 所以四边形EFGH 为正方形 . 点评： “ 见中点找中点 ” 构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例 2 如图 7，已知正方体ABCD ABCD. 图 7 (1)哪些棱所在直线与直线BA 是异面直线？ (2)直线 BA 和 CC 的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA 垂直？ 解： (1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC、CC 、DD 、DC、BC所在直线分别与BA 是异面直线 . (2)由 BB CC 可知， B BA是异面直线BA 和 CC 的夹角， B BA =45°，所以直线BA 和 CC 的夹角 为 45° . （3）直线 AB 、BC 、CD、 DA 、AB、 BC、CD、DA分别与直线AA 垂直 . 变式训练 如图 8，已知正方体ABCD A B C D. 图 8 （1）求异面直线BC 与 AB所成的角的度数； （2）求异面直线CD 和 BC 所成的角的度数. 解： （1）由 ABCD可知， BC D是异面直线BC 与 AB所成的角， BC CD，异面直线BC 与 AB所成的角的度数为90° . （2）连接 AD ,AC,由 AD BC 可知， AD C 是异面直线CD 和 BC 所成的角， AD C 是等边三角形. AD C=60 ° ，即异面直线CD 和 BC 所成的角的度数为60° . 点评： “ 平移法 ” 是求两异面直线所成角的基本方法. 思路 2 例 1 在长方体ABCD A1B1C1D1中， E、F 分别是棱AA 1和棱 CC1的中点 . 求证： EB1DF，ED B1F. 活动： 学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生. 证明： 如图 9，设 G 是 DD1的中点，分别连接EG，GC1. 图 9 EGA1D1，B1C1 A1D1, EGB1C1.四边形 EB1C1G 是平行四边形 , EB1 GC1. 同理可证DFGC1，EB1 DF. 四边形 EB1FD 是平行四边形 . EDB1F. 变式训练 如图 10，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E、F 分别是 AA1、AB 的中点，试判断下列各对线段所在 直线的位置关系： 图 10 （1）AB 与 CC1； （2）A1B1与 DC； （3）A1C 与 D1B； （4）DC 与 BD1； （5）D1E 与 CF. 解： （1）C平面 ABCD ，AB平面 ABCD ，又 CAB ，C1 平面 ABCD, AB 与 CC1异面 . （2）A1B1AB ，ABDC，A1B1DC. （3）A1D1B1C1， B1C1BC，A1D1BC，则 A1、B、C、D1在同一平面内. A1C 与 D1B 相交 . （4）B平面 ABCD ， DC平面 ABCD ，又 BDC，D1 平面 ABCD, DC 与 BD1异面 . （5）如图 10，CF 与 DA 的延长线交于G，连接 D1G， AFDC ，F 为 AB 中点， A 为 DG 的中点 . 又 AEDD1， GD1过 AA1的中点 E.直线 D1E 与 CF 相交 . 点评： 两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可 以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与 A1C） ，有时看 上去像相交（如图中的DC 与 D1B）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定 的方法 . 例 2 如图 11，点 A 是 BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E、F 分别是 AB 、CD 的中点，且EF= 2 2 AD ， 求异面直线AD 和 BC 所成的角 . 图 11 解： 设 G 是 AC 中点，连接EG、FG. 因 E、F 分别是 AB 、CD 中点，故EGBC 且 EG=BC 2 1 ，FGAD ，且 FG=AD 2 1 .由异面直线所成 角定义可知EG 与 FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即 EGF 为所求 . 由 BC=AD 知 EG=GF=AD 2 1 ，又 EF= 2 2 AD, 由勾股定理可得 EGF=90° . 点评： 本题的平移点是AC 中点 G，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG 中 求角 .通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关 系. 变式训练 设空间四边形ABCD ，E、F、G、H 分别是 AC、 BC、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24， 且 HG ·HE · sinEHG=312，求 AB 和 CD 所成的角 . 解： 如图 12，由三角形中位线的性质知，HG AB ，HE CD， 图 12 EHG 就是异面直线AB 和 CD 所成的角 . 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=26 2 1 AB， HE=32 2 1 CD， HG ·HE · sinEHG=612sinEHG. 612sinEHG=312. sinEHG= 2 2 .故EHG=45 °. AB 和 CD 所成的角为45° . （四）知能训练 如图 13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF 和 GH 在原正方体中相 互异面的有对_. 图 13 答案： 三 （五）拓展提升 图 14 是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题： 图 14 AB 与 CD 所在直线垂直；CD 与 EF 所在直线平行；AB 与 MN 所在直线成60° 角；MN 与 EF 所在 直线异面 .其中正确命题的序号是（） A.B.C.D. 答案： D （六）课堂小结 本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点. 为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4 和等角定理 . （七）作业 课本习题2.1 A 组 3、4.