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理论力学,第八章 点的合成运动,第八章点的合成运动,复习点的速度合成,M点的绝对速度为：,即：,其中牵连速度为：,三、点的加速度合成定理,点的加速度合成定理,（设e为动系C-ijk绕轴 z 的瞬时角速度）,正确的推导方法（1）相对速度的导数：,?,点的加速度合成定理,正确的推导方法（2）牵连速度的导数：,牵连速度：,点的牵连加速度,其中牵连加速度：,即：,（设z 为瞬时转动轴）,点的加速度合成定理,根据（1）和（2）的结果：,得到加速度合成定理的表达式：,即：,绝对加速度牵连加速度、相对加速度、科氏加速度的矢量和,点的加速度合成定理,绝对加速度牵连加速度、相对加速度、科氏加速度的矢量和,科氏（Coriolis）加速度:,科氏加速度的大小：,科氏加速度的方向：,按右手法则确定,点的加速度合成定理,在求解加速度问题时，由于涉及的矢量较多（最多可以有七个）：,所以通常采用在（选定的）轴上投影的办法解决。,思考：在什么情况下科氏加速度0 ？,1 动系作平移运动，这时e0，,2相对速度矢量vr与角速度矢量e平行。,3相对速度矢量vr0。,根据公式,点的加速度合成例子,已知：直管绕定轴O转动，管中质点M沿管线运动，（相对）速度vr。 求：质点M的绝对加速度。,解：1、运动分析: 动点M 动系固连于直管 牵连运动定轴转动 相对运动直线运动 绝对运动平面曲线,在t +t 瞬时：,由速度合成定理，在t 瞬时：,点的加速度合成例子,经t 的速度改变量：,两边除以t 并取极限， 下列关系成立否？,?,由加速度的定义，有：,下面我们进一步考察加速度的定义。,点的加速度合成例子,点的加速度合成例子,绝对加速度：,点的加速度合成讨论,相对运动使得牵连速度的大小发生了附加改变,牵连运动使得相对速度的方向发生了附加改变,科氏加速度的意义：,河岸冲刷在北半球沿经线流动的河流，其右岸受到的冲刷更严重！,科氏加速度实例,铁轨磨损由于科氏加速度，在北半球运行的列车使右边的铁轨磨损更严重！,离心式压气机旋转叶片中的气流有科氏加速度的作用。,科氏加速度实例,台风在北半球，台风总是逆时针旋转的。,炮弹、弹道导弹的轨迹,傅科（Foucault）摆,科氏加速度实例,圆盘角速度为常量，点M在圆盘上半径为r 的槽中以不变的速度vr 运动，求点M的速度和加速度。,例题 4圆盘与动点,解 1、运动分析（动点、动系、三种运动）,2、速度：,3、加速度,比较：,仿形机床中半径为R的半圆形靠模凸轮沿水平轨道向右运动，速度v0，加速度a，带动顶杆AB沿铅垂方向运动，试求 =60时，顶杆AB的加速度。,例题 5半圆靠模凸轮（加速度）,例题 5半圆靠模凸轮,例题 5半圆靠模凸轮,2、速度分析（画速度矢图）,1、运动分析：,动点 AB的端点A 动系固连于凸轮 绝对运动直线运动 相对运动圆周运动 牵连运动水平平动,例题 5半圆靠模凸轮,3、加速度分析（动系平移）,杆AB的加速度,切线,a,法线,vr2/R,上式投影到法线 n 上，得,例题 5半圆靠模凸轮,?,?,例题 6曲柄摇杆机构（加速度）,已知： 0，OA=r，OO1= l,求：当曲柄在水平位置时摇杆的角加速度1,例题 6曲柄摇杆机构（加速度）,解 1、运动分析：,（方向如图）,例题 6曲柄摇杆机构,动点滑块 A 动系固连于摇杆O1B 绝对运动圆周运动 相对运动直线运动 牵连运动定轴转动,2、速度分析（画速度矢图）,例题 6曲柄摇杆机构,3、加速度分析（动系定轴转动）,投影到：,解得,故摇杆的角加速度：,（逆时针）,点的复合运动例题,四、点的复合运动 例 题,点的复合运动概念及公式,一、概念及公式 1. 一个动点、二个参考系、三种运动,2. 速度合成定理,3. 加速度合成定理,牵连运动为平动时,牵连运动为转动时,点的绝对运动 = 点的相对运动与牵连运动的合成。,二、解题步骤 1. 选择动点、动系、静系。 2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。 3. 作速度分析，画出速度平行四边形，求出有关的速度、角速度的未知量。 4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、角加速度未知量。,点的复合运动概念及公式,三、注意问题,1. 牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。,2. 牵连运动为转动时，作加速度分析不要丢掉 ac，要正确地分析和计算 ac 。,3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影式并不相同。,4. 圆周运动时,点的复合运动概念及公式,例题 7曲柄滑杆机构,已知曲柄的角速度w、角加速度 ，曲柄OAl；求 = 45o 时小车的速度与加速度。,例题 7曲柄滑杆机构,解：运动分析,动点 OA杆上 A点 动系固连于滑杆 绝对运动圆周运动 相对运动直线运动 牵连运动水平平动,根据速度合成定理,做出速度平行四边形如图。,小车的速度：,投影至 x 轴：,小车的加速度：,根据加速度合成定理 （牵连运动为平移）,做出加速度矢量图如图。,例题 7曲柄滑杆机构,例题 7曲柄滑杆机构,（用坐标法求解）建立坐标系,写出点的坐标：,例题 8摇杆滑道机构,已知： BC杆的速度v、加速度a以及h，求OA杆的角速度和角加速度,例题 8摇杆滑道机构,动点销钉D 动系固结于OA杆 绝对运动直线运动（已知） 相对运动直线运动 牵连运动定轴转动,解：运动分析,根据速度合成定理,做出速度平行四边形如图。,例题 8摇杆滑道机构,（ 方向如图所示）,投影至 轴：,根据牵连转动的加速度合成定理,例题 8摇杆滑道机构,例题 8摇杆滑道机构,（用坐标法求解）建立坐标系,写出点的坐标：,运动方程对 t 求导：,注意：当 t x ， ，有,速度方程对 t 求导：,例题 9曲柄滑块机构,机构尺寸为：h、O1A=r。已知、 1，在图示瞬时O1A / O2E。 求该瞬时杆O2E 的角速度2 。,例题 9曲柄滑块机构,解（1）运动分析（曲柄O1A）,动点曲柄O1A上点A 动系固结于BCD杆 绝对运动圆周运动（已知） 相对运动直线运动 牵连运动平移运动,例题 9曲柄滑块机构,（2）运动分析（BCD杆）,再选动点BCD上F点 动系固结于O2E杆 绝对运动直线运动 相对运动直线运动 牵连运动定轴转动,例题 9曲柄滑块机构,（用坐标法求解）建立坐标系,点A 的坐标：,点F 的坐标：,例题 10套筒滑杆机构,已知：滑杆CD的速度v、加速度a以及h，求套筒O的角速度和角加速度。,动点CD杆上A点 动系套筒O,解：运动分析,绝对运动直线运动 相对运动直线运动 牵连运动定轴转动,其中,例题 10套筒滑杆机构,由,做速度平行四边形：,例题 10套筒滑杆机构,由,其中,投影至aC方向：,例题 10套筒滑杆机构,（用坐标法求解）建立坐标系,点A 的坐标：,例题 11凸轮摆杆机构,凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上；已知凸轮的速度和加速度v、a以及角，求该瞬时OA杆的角速度和角加速度。,分析：由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。,例题 11凸轮摆杆机构,动点凸轮中心C点 动系固结于OA杆 绝对运动直线运动 相对运动直线运动 牵连运动定轴转动,解：运动分析,由,做出加速度矢量图,投影至 轴：,例题 11凸轮摆杆机构,已知圆盘和杆OA均以匀角速度转动， 1=9rad/s，2=3rad/s，b =0.1m。 销钉M 可在圆盘和杆OA的导槽中滑动。 求：图示位置销钉M的加速度。,例题 12两个动系的问题,解：选销钉M为动点，本题必须同时选择圆盘和杆OA为动系，然后分别用两个矢量公式联立求解。,以杆OA为动系：,先求销钉M的速度，以圆盘为动系：,由,例题 12两个动系的问题,即,将上式向 x 轴投影，有：,得,再求销钉M的加速度，以圆盘为动系：,例题 12两个动系的问题,其中：,以杆OA为动系：,其中：,例题 12两个动系的问题,投影 ：,投影 x：,得到：,验证：,谢谢大家,