分式方程竞赛题.docx

第一讲分式方程 (组 )的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形变形时可能会扩大(或缩小 )未知数的取值范围，故必须验根例 1 解方程1+ 211x211x 8+x2=0x2x 813x 8解 令 y x2 2x 8，那么原方程为111+=0y 9 yyy 15x去分母得y(y 15x) (y9x)( y 15x) y(y 9x) 0，y24xy 45x2 0，(y 5x)( y 9x) 0，所以y 9x 或 y 5x由 y 9x 得 x2 2x 8 9x，即 x2 7x 80，所以 x1 1， x2 8；由 y 5x，得 x2 2x 8 5x，即 x27x 8 0，所以 x3 8， x4 1经检验，它们都是原方程的根例 2 解方程x24 x 72x72 0 72x72 18 0x1x218x24x4 x解 设 y x24 x ，则原方程可化为y72x 1801yy2 18y 72 0，.所以 y1 6 或 y2 12当 y6 时，x24 x24x2 2x 60，此方程无实数根x=6，x 6x 6，故 x1当 y12时，x24x22 8x 122x=12 ， x 4x 12x12，故 x 0,故 x 8x 12 0，1所以x12 或 x2 6经检验， x1 2， x2 6 是原方程的实数根例 3 解方程x63x210 x42 x1x1x23x2x02分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式原方程可变为1+ 5(3x2) 230 ，x1x23x2x2整理得53x2x 1x 2x20 ，3x 2去分母、整理得x 9 0， x 9经检验知， x 9 是原方程的根例 4 解方程x 1 + x6 = x2 x5 x 2 x7 x3 x6分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是 1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简原方程化为.11111111，x 2x 7x 3x61111x6x7x2x3即11，=(x 2)( x 3)( x 6)( x 7)所以(x 6)(x 7) (x 2)(x 3)解得 x 9 2经检验 x 9 是原方程的根2例 5 解方程1+11=11 x( x1)x( x1)(x 9)( x10)12分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简原方程变形为11111111 ，x 1 xxx 1x 9 x 10 12整理得1111x 1x 1012去分母得x2 9x 220，解得x1 2， x2 11.经检验知， x12， x2 11 是原方程的根例 6 解方程2 x23x2 = 2x25x32 x23x2 2x25 x3分析与解分式方程如比利式a c ，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用bd合比定理化简原方程变形为(2 x23 x 2)(2 x23x 2) = (2 x25x 3)(2 x25x 3) ，2 x23x 22 x25x 34x24 x22 x2=，3 x 2 2 x25x 3所以x 0 或 2x2 3x 2 2x2 5x 3解得 x 0 或 x 1 8经检验， x0 或 x 1 都是原方程的根8例 7 解方程3x24 x1x24 x13x24 x=x24 x11分析与解 形式与上例相似本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简原方程变形为(3x24x1)(3x24 x1) = ( x24x1)(x24 x1)(3x24x1)(3 x24 x1) ( x24x1)(x24 x1)即6 x22 2x228x=8x当 x0时，解得x 1.经检验， x1 是原方程的根，且x 0 也是原方程的根说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验像 x1a1因而至多有两个根显然 a1 时， x1 ax这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程，a与 x2 1就是所求的根例如，方程 x131，即 x131，所以 x1 3， x2 1ax3x33例 8 解方程x2x 1 + 2 x2x 2 = 19x21x2x 1 6解 将原方程变形为x2x 1+x2123x212x 1= +2，x3x2x 1 ，则原方程变为3123设 yx2y312y2解得 y12， y2332当 x2x 1 = 2 时，x3 5 ；x2132当 x2x 1 = 3 时， x 1；x212经检验 x 1 及 x35 均是原方程的根2例 9 解关于 x 的方程ax + bx =2 1 bx ax 2解 设 y ax ，则原方程变为y121 bxy2.所以 y12 或 y2 1 2由 ax =2 ，得 x1 a 2b；由 a x = 1 ，得 x2 b 2abxbx2将 x1 a2b 或 x2 b2a 代入分母b x，得 ab 或 2(ba) ，所以，当ab 时， x1 a2b 及 x2 b 2a 都是原方程的根当a b 时，原方程无解例 10 如果方程x+ x2 + 2 xa =0x2xx( xa)只有一个实数根，求a 的值及对应的原方程的根分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2 2x (a 4) 0 原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是：(1)方程有两个相等的实数根，即 4 42(a 4) 0解得 a 7 此时方程的两个相等的根是x1 x2 1 22（ 2）方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为0 或 2（ i ）当 x 0 时，代入式得a 4 0，即 a 4这时方程的另一个根是x 1(因为 2x22x 0，x(x 1) 0， x1 0 或 x2 1而 x1 0 是增根 )它不使分母为零，确是原方程的唯一根（ ii ）当 x 2 时，代入式，得24 22 (a 4)0，即 a 8这时方程的另一个根是 x 1( 因为 2x2 2x 4 0( x2)( x 1) 0，所以 x1 2(增根 )，x2 1)它不使分母为零，确是原方程的唯一根因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a 的值分别是. 7 ， 4， 8，其对应的原方程的根一次为1 ， 1， 122练习一1填空：（ 1）方程 x1101 的一个跟是10，则另一个跟是 _x822bx = m1 有等值异号的根，那么（ 2）如果方程 xm_ axcm1（ 3）如果关于 x 的方程1k5 k1 有增根 x1，则 k _x2x + x2x = x21（ 4）方程 x1+x1=10 的根是 _x1x132解方程4xx + x35x30x32x22x25x 23解方程x32+x32x2x 1x2=2 x x 14解方程x2 + x 3 =3+232x2x35解方程5( x2)220( x2)248( x242) x1x1x16解方程x+ x9 = x1+ x8 x 2x7 x1 x6.7m 是什么数值时，方程36xm+=xx1x( x1)有根？.