最新新课标人教b版高中数学必修1函数习题精选精讲名师优秀教案.doc
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1、新课标人教b版高中数学必修1函数习题精选精讲八个函数问题 函数是高中数学中重要内容,学习函数时如果概念不清,性质理解不深刻,就会造成许多后遗症,影响后续知识的掌握。下面提出有关的若干疑难问题进行剖析。 一、表达式相同的两个函数是否相同? 很多学生容易把具有相同表达式的两个函数看作同一个函数。其实,由函数的表达式相,只能知道它们的对应法则相同,但还有定义域是否相同的问题,例如,f(x)=3x+1与g(x)=3x+1(x?Z),尽管f(x)和g(x)的表达式相同,但由于它们的定义域分别为R和Z,故它们是不同的两个函数( 二、定义域和值域分别相同的两个函数是否是同一函数, 2有些同学认为,两个函数定
2、义域和值域分别相同,那么这两个函数必相等(其实不然,例如f(x)=x, x?0,1,g(x)=(x-1), x?0,1,这两个函数定义域和值域分别相同,但由于f(0)?g(0), f(1)?g(1),即当自变量x取相同值x时,f(x)?g(x),故f(x)?g(x)( 000事实上,两个函数相等的意义也可叙述成:如果两个函数f(x)和g(x)的定义域为D,且对于任一x?D,都有f(x)=g(x),那么000f(x)=g(x)( 三、两个表达式不同的函数某些同变量函数值是否一定不相等, 2两个表达式不同的函数某些同变量函数值不相等,这是一种比较常见的错误看法(例如,f(x)=x, x?0,1,g
3、(x)=x, x?0,1,尽管两个函数的表达式不同,但f(0)= g(0)=0, f(1)=g(1)=1( 四、复合函数y =f g(x)的定义域与y =f(x)的定义域一致吗, 复合函数的定义域受原函数的定义域制约( 已知函数y=f(x)的定义域为a,b,求函数y=f g(x)的定义域,是指求满足a?g(x)?b的x的取值域范围;而已知y=f g(x)的定义域是a,b,指的是x?a,b( 五、函数的定义域可以是空集吗, 教材中指出:“设A、B是非空的数集,”(由此,不存在定义域为空集的函数(当函数存在(给定)时,则其定义域一定不是空集;反之,当定义域为空集时,这样的函数不存在( 六(用解析法
4、表示函数时,一个函数可以有两个或多个解析式吗,如果有,各解析式对自变量有何限制,函数定义域如何得到, 可以有两个或两个以上的解析式,这样的函数称为分段函数,但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分,否则可能出现一个自变量的值求出两个函数值与函数定义矛盾(这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集( 七(为什么说,函数的解析式和定义域给出之后,它的值域相应被确定, 因为函数的定义域是自变量x的取值范围的集合,而函数解析式就是确定函数关系即定义域到值域的对应法则,在这个法则下,每一个x都有唯一的y与之对应,因此可由定义域确定值域( 八(表示函数的常用方法有几种,各有什么优
5、点, (1)表示函数的记号是y=f(x),常用方法是解析法、列表法、图象法( (2)把函数的两个变量之间的函数关系,用一个等式来表示,这个等式就叫做这个函数的解析表达式,简称解析式,用解析法表示函数的优点是?函数关系清楚,?给自变量一个值,可求它的函数值,?便于研究函数的性质( (3)列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系(其优点是不必计算,查表可得到自变量与函数的对应值( (4)图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系,其优点是直观形象地表示出函数值随自变量的变化规律( 函数解析式 在高中数学学习中,会遇到求函数解析式的一类题,这里是指已知或,求或,或已知或,fg(x)gf(x)
6、f(x)g(x)f(x)g(x)求fg(x)或gf(x)等复合函数的解析式,这些问题是学生在学习中感到棘手的问题。解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢,回答是肯定的。这类题在现行的高中数学教科书中几乎没有,但在一些二类教材如目标测试等书中有很多类似题,它与课本上的函数这一内容关系密切,并且具有一定的规律性,故就有一些有效的解题方法,根据本人的教学心得整理如下: 一、定义法: 2f(x)例1:设,求. f(x,1),x,3x,2用心 爱心 专心 222解: = ?f(x,1),x,3x,2,(x,1),1,3(x,1),1,2(x,1),5(x,1),62 ?f(x),x,5x,6x,1ff(
7、x),例2:设,求. f(x)x,2x,1x,111?ff(x),解:设 ?f(x),1x,2x,1,11,x1,1,x111123例3:设,求. f(x,),x,,g(x,),x,fg(x)23xxxx111222解: ?f(x,),x,,(x,),2?f(x),x,22xxx1111333又?g(x,),x,,(x,),3(x,)?g(x),x,3x 3xxxx32642故 fg(x),(x,3x),2,x,6x,9x,2例4:设. f(cosx),cos17x,求f(sinx),f(sinx),fcos(,x),cos17(,x)解: 22,cos(8,,17x),cos(,17x),s
8、in17x. ,22二、待定系数法: 2例5:已知,求. f(x)f(x,2),2x,9x,132解:显然,是一个一元二次函数。设 f(x)f(x),ax,bx,c(a,0)22则 f(x,2),a(x,2),b(x,2),c,ax,(b,4a)x,(4a,2b,c)2又 f(x,2),2x,9x,13a,2a,2,2b,4a,9b,1比较系数得: 解得: ?f(x),2x,x,3,4a,2b,c,13c,3,三、换元(或代换)法: 2,xx,111f,,(),例6:已知求f(x). 2xxx21xx1111,1,x1f(t)f()1,t,,,,x,解:设则则 22xt,1xxxxx用心 爱心
9、 专心 11222,1,,1,(t,1),(t,1),t,t,1 ?f(x),x,x,1112()t,1t,12例7:设,求. f(x)f(cosx,1),cosx解:令又 ,1,cosx,1,?,2,cosx,1,0即,2,t,0t,cosx,1,?cosx,t,122 ?f(t),(t,1),(,2,t,0)即f(x),(x,1),x,2,0x,1例8:若 (1) f(x),f(),1,xxx,1,1x,1x,1x,1xf(),f(),1,在(1)式中以代替得 xx,1xxxxx,112x,1f(),f(,),即 (2) xx,1x1x,21f(,),f(x),又以,代替(1)式中的得:
10、(3) xx,1x,1x,13232x,22x,1x,x,1x,x,1 (1),(3),(2)得:2f(x),1,x,,?f(x),x,1xx(x,1)2x(x,1)1f(x)满足af(x),bf(),cx(其中a,b,c均不为0,且a,b)例9:设,求。 f(x)x1111af(),bf(x),c,af(x),bf(),cx解: (1)用来代替,得 (2) xxxxx22acx,bcacx,bc22a,,b,a,bfx,(1)(2)得:()()?a,b?f(x),由 22x(a,b)x四、反函数法: x,12例10:已知,求. f(x)f(a),x,2x,1t,a,0x,1,logtx,lo
11、gt,1解:设,则 即 aa22代入已知等式中,得: f(t),(logt,1),2,logt,2logt,3aaa2 ?f(x),logx,2logx,3aa五、特殊值法: x,y例11:设f(x)是定义在N上的函数,满足f(1),1,对于任意正整数,均有f(x),f(y),f(x,y),xy,求f(x). 解:由f(1),1f(x),f(y),f(x,y),xy, y,1f(x),1,f(x,1),x设得: 用心 爱心 专心 即: f(x,1),f(x),x,1在上式中,分别用代替,然后各式相加 x1,2,3,?,t,11112可得: f(t),(t,2)(t,1),1,t,t222112
12、, ?f(x),x,x(x,N)22六、累差法: 1x,1f(1),lg例12:若,且当,求. f(x)x,2时,满足f(x,1),f(x),lga,(a,0,x,N,)ax,1,解: ?f(x),f(x,1),lga(a,0,x,N)x,2递推得: f(x,1),f(x,2),lgax,3 f(x,2),f(x,3),lga 2 f(3),f(2),lgaf(2),f(1),lga以上个等式两边分别相加,得: (x,1)2x,2x,1 f(x),f(1),lga,lga,?,lga,lga1,2,?,(x,2),(x,1) ,f(1),lga(,1)(,1)xxxx,1122,lg,lga,
13、lga ax(x,1),1lga 2七、归纳法: 1f(x,1),2,f(x),(x,N,)且f(1),a例13:已知,求. f(x)2111?f(1),a,f(2),2,f(1),2,a,4,2,a解: 22211110(3),2,(2),2,(2,),4,2,ffaa 2222211111,(4),2,(3),2,(3,),4,2,ffaa 32242111112,(5),2,(4),2,(3,),4,2,ffaa 422282,依此类推,得 用心 爱心 专心 13,x()42 fx,,ax,12再用数学归纳法证明之。 八、微积分法: 22,例14:设,求. f(x)f(sinx),cos
14、x,f(1),2222,解: ?f(x),1,x(|x|,1)?f(sinx),cosx,1,sinx1132,()()(1)?f(1),2?1,,c,2?c,因此 fx,fxd,xdx,x,x,c,222132 ?f(x),x,x,(|x|,1)22函数对称性、周期性 函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点,现在全部解析如下: 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性:对于函数,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有都y,f(x)f(x,T),f(x)成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周
15、期中存在着一个最小的正数,y,f(x)就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义(略),请用图形来理解。 3、 对称性: 我们知道:偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式 f(,x),f(x)奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 f(x),f(,x),0上述关系式是否可以进行拓展,答案是肯定的 探讨:(1)函数关于对称 x,ay,f(x)f(a,x),f(a,x),也可以写成 或 f(a,x),f(a,x)f(x),f(2a,x)f(,x),f(2a,x)简证:设点在上,通过可知,即点(x,y)y,f(x),f(2a,x)y,f(x)f(x),f(2a,x)11111上,
16、而点与点关于x=a对称。得证。 (2a,x,y)也在y,f(x)(x,y)(2a,x,y)111111(a,x),(b,x)a,bx, 若写成:,函数关于直线 对称 f(a,x),f(b,x)y,f(x)22(2)函数关于点对称 y,f(x)(a,b)f(a,x),f(a,x),2b,或 上述关系也可以写成f(2a,x),f(,x),2bf(2a,x),f(x),2b简证:设点在上,即,通过可知,(x,y)y,f(x)y,f(x)f(2a,x),f(x),2b1111,所以,所以点也在f(2a,x),f(x),2bf(2a,x),2b,f(x),2b,y(2a,x,2b,y)1111111上,
17、而点与关于对称。得证。 (2a,x,2b,y)(x,y)y,f(x)(a,b)1111a,bc(,) 若写成:,函数关于点 对称 f(a,x),f(b,x),cy,f(x)22(3)函数关于点对称:假设函数关于对称,即关于任一个x值,都有两个y值与其对应,显然这不y,f(x)y,by,b符合函数的定义,故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于对称,比如圆y,by,b22它会关于y=0对称。 c(x,y),x,y,4,04、 周期性: f(x)的周期为2T (1)函数y,f(x)满足如下关系系,则 11f(x,T),或f(x,T), A、f(x,T),f(x) B、
18、 f(x)f(x)T1,f(x)T1,f(x)f(x,),f(x,), C、或(等式右边加负号亦成立) 21,f(x)21,f(x)D、其他情形 用心 爱心 专心 (2)函数满足且,则可推出y,f(x)f(a,x),f(a,x)f(b,x),f(b,x)即可以得到的周f(x),f(2a,x),fb,(2a,x,b),fb,(2a,x,b),fx,2(b,a)y,f(x)期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称,则函数一定是周期函数” T (3)如果奇函数满足则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为,根据x,,2kTf(x,T),f(x)(k,z)2T,0可以
19、找出其对称中心为(以上) f(x),f(x,2T)(kT,0)(k,z)T 如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为,根据(,2kT,0)f(x,T),f(x)(k,z)2x,T,2kTT,0可以推出对称轴为 (以上) f(x),f(x,2T)(k,z)y,f(x)f(T,x),f(T,x)y,f(x)T,0 (4)如果奇函数满足(),则函数是以4T为周期的周期性函数。如y,f(x)f(T,x),f(T,x)y,f(x)T,0果偶函数满足(),则函数是以2T为周期的周期性函数。 二、 两个函数的图象对称性 y,f(x)y,f(x)1、 与关于X轴对称。 换种说法:与若满足,即
20、它们关于对称。 y,f(x)y,g(x)f(x),g(x)y,0y,f(x)y,f(,x)2、 与关于Y轴对称。 x,0换种说法:与若满足,即它们关于对称。 y,f(x)y,g(x)f(x),g(,x)y,f(x)y,f(2a,x)x,a3、 与关于直线对称。 换种说法:与若满足,即它们关于对称。 x,ay,f(x)y,g(x)f(x),g(2a,x)4、 与关于直线对称。 y,ay,f(x)y,2a,f(x)换种说法:与若满足,即它们关于对称。 y,ay,f(x)y,g(x)f(x),g(x),2a5、 关于点(a,b)对称。 y,f(x)与y,2b,f(2a,x)与若满足,即它们关于点(a
21、,b)对称。 换种说法:y,f(x)y,g(x)f(x),g(2a,x),2ba,bx,6、 与关于直线对称。 y,f(a,x)y,(x,b)2函数奇偶性 判断函数奇偶性,是近年来高考和高中数学竞赛命题的一个重要内容.本文介绍几种判断函数奇偶性的常用方法. 一、 定义域法 一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数. 1,sinx,cosxf(x),例1 判断函数的奇偶性. 1,cosx,sinx,?x,但x可取,?解:函数的定义域关于原点不对称,?函数为非奇非偶函数. 22二、 奇偶函数定义法 在给定函
22、数的定义域关于原点对称的前提下,计算,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. f(,x)45f(x),sin(x,,)(x,R)和g(x),sin(arccosx)(,1,x,1)例2 若函数,则 32A(f(x)是偶函数,而g(x)是奇函数; B(f(x)是奇函数,而g(x)是偶函数; C(f(x)和g(x)都是奇函数; D(f(x)和g(x)都是偶函数. 454x?f(x),sin(x,,),cos,解: 323用心 爱心 专心 4x4xf(,x),cos(,),cos,f(x),33?f(x)为偶函数.又g(,x),sinarccos(,x)?,sin,arccosx,sin(arcc
23、osx),g(x),?g(x)为偶函数,故选D三、 利用 f(x),f(,x),0和f(x),f(,x),0在函数f(x)的定义域关于原点对称的前提下,若f(x)+ f(-x)=0,则f(x) 为奇函数;若f(x)- f(-x)=0,则f(x)为偶函数. 2例3 判断函数的奇偶性. y,lg(x,x,1)(x,R)222?f(x),f(,x),lg(x,x,1),lg(,x,x,1),0,?y,lg(x,x,1)解:为奇函数. f(x)四、 利用 ,1f(,x)f(x)f(x)在函数f(x)的定义域关于原点对称的前提下,若,则f(x)为偶函数;若,则f(x)为奇函数. ,1,1f(,x)f(,
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