最新新课标人教b版高中数学必修1函数习题精选精讲名师优秀教案.doc

新课标人教b版高中数学必修1函数习题精选精讲八个函数问题 函数是高中数学中重要内容，学习函数时如果概念不清，性质理解不深刻，就会造成许多后遗症，影响后续知识的掌握。下面提出有关的若干疑难问题进行剖析。 一、表达式相同的两个函数是否相同? 很多学生容易把具有相同表达式的两个函数看作同一个函数。其实，由函数的表达式相，只能知道它们的对应法则相同，但还有定义域是否相同的问题，例如，f(x)=3x+1与g(x)=3x+1(x?Z),尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数( 二、定义域和值域分别相同的两个函数是否是同一函数, 2有些同学认为，两个函数定义域和值域分别相同，那么这两个函数必相等(其实不然，例如f(x)=x, x?0,1,g(x)=(x-1), x?0,1,这两个函数定义域和值域分别相同，但由于f(0)?g(0), f(1)?g(1),即当自变量x取相同值x时，f(x)?g(x),故f(x)?g(x)( 000事实上，两个函数相等的意义也可叙述成:如果两个函数f(x)和g(x)的定义域为D，且对于任一x?D,都有f(x)=g(x),那么000f(x)=g(x)( 三、两个表达式不同的函数某些同变量函数值是否一定不相等, 2两个表达式不同的函数某些同变量函数值不相等，这是一种比较常见的错误看法(例如，f(x)=x, x?0,1,g(x)=x, x?0,1,尽管两个函数的表达式不同，但f(0)= g(0)=0, f(1)=g(1)=1( 四、复合函数y =f g(x)的定义域与y =f(x)的定义域一致吗, 复合函数的定义域受原函数的定义域制约( 已知函数y=f(x)的定义域为a,b，求函数y=f g(x)的定义域，是指求满足a?g(x)?b的x的取值域范围;而已知y=f g(x)的定义域是a,b，指的是x?a,b( 五、函数的定义域可以是空集吗, 教材中指出:“设A、B是非空的数集，”(由此，不存在定义域为空集的函数(当函数存在(给定)时，则其定义域一定不是空集;反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在( 六(用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式吗,如果有，各解析式对自变量有何限制,函数定义域如何得到, 可以有两个或两个以上的解析式，这样的函数称为分段函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分，否则可能出现一个自变量的值求出两个函数值与函数定义矛盾(这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集( 七(为什么说，函数的解析式和定义域给出之后，它的值域相应被确定, 因为函数的定义域是自变量x的取值范围的集合，而函数解析式就是确定函数关系即定义域到值域的对应法则，在这个法则下，每一个x都有唯一的y与之对应，因此可由定义域确定值域( 八(表示函数的常用方法有几种,各有什么优点, (1)表示函数的记号是y=f(x)，常用方法是解析法、列表法、图象法( (2)把函数的两个变量之间的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫做这个函数的解析表达式，简称解析式，用解析法表示函数的优点是?函数关系清楚，?给自变量一个值，可求它的函数值，?便于研究函数的性质( (3)列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系(其优点是不必计算，查表可得到自变量与函数的对应值( (4)图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系，其优点是直观形象地表示出函数值随自变量的变化规律( 函数解析式 在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题，这里是指已知或，求或，或已知或，fg(x)gf(x)f(x)g(x)f(x)g(x)求fg(x)或gf(x)等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习中感到棘手的问题。解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢,回答是肯定的。这类题在现行的高中数学教科书中几乎没有，但在一些二类教材如目标测试等书中有很多类似题，它与课本上的函数这一内容关系密切，并且具有一定的规律性，故就有一些有效的解题方法，根据本人的教学心得整理如下: 一、定义法: 2f(x)例1:设，求. f(x，1),x,3x，2用心 爱心 专心 222解: = ？f(x，1),x,3x，2,(x，1),1,3(x，1),1，2(x，1),5(x，1)，62 ？f(x),x,5x，6x，1ff(x),例2:设，求. f(x)x，2x，1x，111？ff(x),解:设 ？f(x),1x，2x，1，11，x1，1，x111123例3:设，求. f(x，),x，,g(x，),x，fg(x)23xxxx111222解: ？f(x，),x，,(x，),2？f(x),x,22xxx1111333又？g(x，),x，,(x，),3(x，)？g(x),x,3x 3xxxx32642故 fg(x),(x,3x),2,x,6x，9x,2例4:设. f(cosx),cos17x,求f(sinx),f(sinx),fcos(,x),cos17(,x)解: 22,cos(8，,17x),cos(,17x),sin17x. ,22二、待定系数法: 2例5:已知，求. f(x)f(x,2),2x,9x，132解:显然，是一个一元二次函数。设 f(x)f(x),ax，bx，c(a,0)22则 f(x,2),a(x,2)，b(x,2)，c,ax，(b,4a)x，(4a,2b，c)2又 f(x,2),2x,9x，13a,2a,2,2b,4a,9b,1比较系数得: 解得: ？f(x),2x,x，3,4a,2b，c,13c,3,三、换元(或代换)法: 2，xx，111f,，(),例6:已知求f(x). 2xxx21xx1111，1，x1f(t)f()1,t,，,，x,解:设则则 22xt,1xxxxx用心 爱心 专心 11222,1，,1，(t,1)，(t,1),t,t，1 ？f(x),x,x，1112()t,1t,12例7:设，求. f(x)f(cosx,1),cosx解:令又 ,1,cosx,1,？,2,cosx,1,0即,2,t,0t,cosx,1,？cosx,t，122 ？f(t),(t，1),(,2,t,0)即f(x),(x，1),x,2,0x,1例8:若 (1) f(x)，f(),1，xxx,1,1x,1x,1x,1xf()，f(),1，在(1)式中以代替得 xx,1xxxxx,112x,1f()，f(,),即 (2) xx,1x1x,21f(,)，f(x),又以,代替(1)式中的得: (3) xx,1x,1x,13232x,22x,1x,x,1x,x,1 (1)，(3),(2)得:2f(x),1，x，,？f(x),x,1xx(x,1)2x(x,1)1f(x)满足af(x)，bf(),cx(其中a,b,c均不为0,且a,b)例9:设，求。 f(x)x1111af()，bf(x),c,af(x)，bf(),cx解: (1)用来代替，得 (2) xxxxx22acx,bcacx,bc22a，,b，a,bfx,(1)(2)得:()()？a,b？f(x),由 22x(a,b)x四、反函数法: x,12例10:已知，求. f(x)f(a),x，2x,1t,a,0x,1,logtx,logt，1解:设，则 即 aa22代入已知等式中，得: f(t),(logt，1)，2,logt，2logt，3aaa2 ？f(x),logx，2logx，3aa五、特殊值法: x,y例11:设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1),1，对于任意正整数，均有f(x)，f(y),f(x，y),xy，求f(x). 解:由f(1),1f(x)，f(y),f(x，y),xy， y,1f(x)，1,f(x，1),x设得: 用心 爱心 专心 即: f(x，1),f(x),x，1在上式中，分别用代替，然后各式相加 x1,2,3,？,t,11112可得: f(t),(t，2)(t,1)，1,t，t222112, ？f(x),x，x(x,N)22六、累差法: 1x,1f(1),lg例12:若，且当，求. f(x)x,2时,满足f(x,1),f(x),lga,(a,0,x,N,)ax,1,解: ？f(x),f(x,1)，lga(a,0,x,N)x,2递推得: f(x,1),f(x,2)，lgax,3 f(x,2),f(x,3)，lga 2 f(3),f(2)，lgaf(2),f(1)，lga以上个等式两边分别相加，得: (x,1)2x,2x,1 f(x),f(1)，lga，lga，？，lga，lga1，2，？，(x,2)，(x,1) ,f(1)，lga(,1)(,1)xxxx,1122,lg，lga,lga ax(x,1),1lga 2七、归纳法: 1f(x，1),2，f(x),(x,N,)且f(1),a例13:已知，求. f(x)2111？f(1),a,f(2),2，f(1),2，a,4,2，a解: 22211110(3),2，(2),2，(2，),4,2，ffaa 2222211111,(4),2，(3),2，(3，),4,2，ffaa 32242111112,(5),2，(4),2，(3，),4,2，ffaa 422282，依此类推，得 用心 爱心 专心 13,x()42 fx,，ax,12再用数学归纳法证明之。 八、微积分法: 22,例14:设，求. f(x)f(sinx),cosx,f(1),2222,解: ？f(x),1,x(|x|,1)？f(sinx),cosx,1,sinx1132,()()(1)？f(1),2？1,，c,2？c,因此 fx,fxd,xdx,x,x，c,222132 ？f(x),x,x，(|x|,1)22函数对称性、周期性 函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下: 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性:对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都y,f(x)f(x，T),f(x)成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，y,f(x)就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义(略)，请用图形来理解。 3、 对称性: 我们知道:偶函数关于y(即x=0)轴对称，偶函数有关系式 f(,x),f(x)奇函数关于(0，0)对称，奇函数有关系式 f(x)，f(,x),0上述关系式是否可以进行拓展,答案是肯定的 探讨:(1)函数关于对称 x,ay,f(x)f(a，x),f(a,x),也可以写成 或 f(a，x),f(a,x)f(x),f(2a,x)f(,x),f(2a，x)简证:设点在上，通过可知，即点(x,y)y,f(x),f(2a,x)y,f(x)f(x),f(2a,x)11111上，而点与点关于x=a对称。得证。 (2a,x,y)也在y,f(x)(x,y)(2a,x,y)111111(a，x)，(b,x)a，bx, 若写成:，函数关于直线 对称 f(a，x),f(b,x)y,f(x)22(2)函数关于点对称 y,f(x)(a,b)f(a，x)，f(a,x),2b,或 上述关系也可以写成f(2a，x)，f(,x),2bf(2a,x)，f(x),2b简证:设点在上，即，通过可知，(x,y)y,f(x)y,f(x)f(2a,x)，f(x),2b1111，所以，所以点也在f(2a,x)，f(x),2bf(2a,x),2b,f(x),2b,y(2a,x,2b,y)1111111上，而点与关于对称。得证。 (2a,x,2b,y)(x,y)y,f(x)(a,b)1111a，bc(,) 若写成:，函数关于点 对称 f(a，x)，f(b,x),cy,f(x)22(3)函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不y,f(x)y,by,b符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆y,by,b22它会关于y=0对称。 c(x,y),x，y,4,04、 周期性: f(x)的周期为2T (1)函数y,f(x)满足如下关系系，则 11f(x，T),或f(x，T), A、f(x，T),f(x) B、 f(x)f(x)T1，f(x)T1,f(x)f(x，),f(x，), C、或(等式右边加负号亦成立) 21,f(x)21，f(x)D、其他情形 用心 爱心 专心 (2)函数满足且，则可推出y,f(x)f(a，x),f(a,x)f(b，x),f(b,x)即可以得到的周f(x),f(2a,x),fb，(2a,x,b),fb,(2a,x,b),fx，2(b,a)y,f(x)期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数” T (3)如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据x,，2kTf(x，T),f(x)(k,z)2T,0可以找出其对称中心为(以上) f(x),f(x，2T)(kT,0)(k,z)T 如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据(，2kT,0)f(x，T),f(x)(k,z)2x,T，2kTT,0可以推出对称轴为 (以上) f(x),f(x，2T)(k,z)y,f(x)f(T，x),f(T,x)y,f(x)T,0 (4)如果奇函数满足()，则函数是以4T为周期的周期性函数。如y,f(x)f(T，x),f(T,x)y,f(x)T,0果偶函数满足()，则函数是以2T为周期的周期性函数。 二、 两个函数的图象对称性 y,f(x)y,f(x)1、 与关于X轴对称。 换种说法:与若满足，即它们关于对称。 y,f(x)y,g(x)f(x),g(x)y,0y,f(x)y,f(,x)2、 与关于Y轴对称。 x,0换种说法:与若满足，即它们关于对称。 y,f(x)y,g(x)f(x),g(,x)y,f(x)y,f(2a,x)x,a3、 与关于直线对称。 换种说法:与若满足，即它们关于对称。 x,ay,f(x)y,g(x)f(x),g(2a,x)4、 与关于直线对称。 y,ay,f(x)y,2a,f(x)换种说法:与若满足，即它们关于对称。 y,ay,f(x)y,g(x)f(x)，g(x),2a5、 关于点(a,b)对称。 y,f(x)与y,2b,f(2a,x)与若满足，即它们关于点(a,b)对称。 换种说法:y,f(x)y,g(x)f(x)，g(2a,x),2ba，bx,6、 与关于直线对称。 y,f(a,x)y,(x,b)2函数奇偶性 判断函数奇偶性，是近年来高考和高中数学竞赛命题的一个重要内容.本文介绍几种判断函数奇偶性的常用方法. 一、 定义域法 一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 1，sinx,cosxf(x),例1 判断函数的奇偶性. 1，cosx，sinx,？x,但x可取,？解:函数的定义域关于原点不对称，?函数为非奇非偶函数. 22二、 奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. f(,x)45f(x),sin(x，,)(x,R)和g(x),sin(arccosx)(,1,x,1)例2 若函数，则 32A(f(x)是偶函数，而g(x)是奇函数; B(f(x)是奇函数，而g(x)是偶函数; C(f(x)和g(x)都是奇函数; D(f(x)和g(x)都是偶函数. 454x？f(x),sin(x，,),cos,解: 323用心 爱心 专心 4x4xf(,x),cos(,),cos,f(x),33？f(x)为偶函数.又g(,x),sinarccos(,x)？,sin,arccosx,sin(arccosx),g(x),？g(x)为偶函数,故选D三、 利用 f(x)，f(,x),0和f(x),f(,x),0在函数f(x)的定义域关于原点对称的前提下，若f(x)+ f(-x)=0，则f(x) 为奇函数;若f(x)- f(-x)=0，则f(x)为偶函数. 2例3 判断函数的奇偶性. y,lg(x，x，1)(x,R)222？f(x)，f(,x),lg(x，x，1)，lg(,x，x，1),0,？y,lg(x，x，1)解:为奇函数. f(x)四、 利用 ,1f(,x)f(x)f(x)在函数f(x)的定义域关于原点对称的前提下，若，则f(x)为偶函数;若，则f(x)为奇函数. ,1,1f(,x)f(,x)21，sinx，sinx,1 的奇偶性. 例4 判断函数f(x)=21，sinx，sinx，1x,k,解:当时， 221，sin(,x)，sin(,x),11，sinx，sinx，1f(,x),? 22f(x)1，sinx，sinx,11，sin(,x)，sin(,x)，1222(1，sinx),(sinx，1)2sinx= ,1222sinx(1，sinx),(sinx,1)即 f(,x),f(x).x,k,当时， f(,k,),0,f(k,).为奇函数. ？f(x)奇偶性解题 函数奇偶性是函数的重要特征之一，它充分地体现了变量间的辩证统一关系.从数、形上揭示了函数的对称性.在解题教学中，深挖题目隐含条件，依据奇偶函数的性质，使一些问题独辟蹊径，解法简单化，有柳暗花明又一村之感. 一、 利用函数奇偶性求函数值 23例1 已知f(x)求f(x). ,x，ax，bx，8且f(,2),10,.解:设g(x),x，ax，bx,则f(x),g(x)，8,g(x)是奇函数53f(x),g(x)，8,？f(,2),g(,2)，8,10,？g(,2),2, g(2),g(,2),2,？f(2),g(2)，8,2，8,6.用心 爱心 专心 (x)，从整体着手，利用奇函数的性质解决问题. 评注:挖掘f(x)隐含条件，构造奇函数g二、 利用函数奇偶性证明整除问题 例2 试证 19901990(11991)(11991)，,是整数. 1991(数学通报1996年4月号问题1007) nnmm(1，),(1,)上例可推广为:设m、n为自然数，证明是整数. mnn证明:令，故f(x)是x的奇次幂的整系数多项式，m,x,记f(x),(1，x),(1,x),x,R,易证f(x)为R上的奇函数nnf(x)mm(1，),(1,)那么是x的偶次幂的整系数多项式,故是整数. xm评注:本证明构造奇函数f(x)，利用奇函数性质得出证明，比利用二项式定理证明简捷. 三、 利用函数奇偶性，解有关方程问题. 例3 当实数k取何值时，方程组 4,k(x，1)，|x|,y,1,有惟一实数解. ,22,x,y,1,也一定是它的解，而方程组解:观察方程组中每个方程特点，以-x代替x，方程组不变，若(x,y)是方程组的解,则(,x,y)0000,1ky,0有唯一解，必有x=0，即唯一解的形式应为(0，y)代入方程组得:解得00,2y,10,k,2k,0,x,0,或将k,0代入原方程组得解, y,1,y,1.y,1.,0将k,2代入原方程组有唯一解x,0,y,1. ,？当k,2和k,0时,原方程组有唯一解.评注:用函数的观点来研究方程，应用函数的奇偶性，找出解决问题的突破口. 四、 利用函数奇偶性证明不等式. 22A,B例4 设a是正数，而是XOY平面内的点集，则的一个充分A,(x,y)|x，y,1,B,(x,y)|x|，2|y|,aa,5必要条件是(1986年上海中学生竞赛题). 22证明:考查，以x替换x ，y替换y, A、B不变.从而知A、B关于x轴，y轴对称.故只研究第一象x，y,1,|x|，2|y|,a限中A、B关系即可. A,B，,原点0,0到x，2y,a,0距离不小于1 用心 爱心 专心 |0，2,0,a|即:. ,1,？a,5221，2函数值域 求函数值域是函数中的重要问题之一，在后续课程的学习中也有许多应用，求函数的值域要涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等到相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此本文介绍几种常见的求法( 一、用非负数的性质2例, 求下列函数的值域:(1)y=-3x+2;(2)y=5+2(x?-1). x，12解:(1)?x?0，?函数(1)的值域为y|y?2.(2)?0,?函数(2)的值域为y|y?5. x，1二、分离常数法 对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域( 2x,1x，2例, 求下列函数的值域:(1)y=(2)y=. 2x，1x，111解(1)y=1+,?0,?y1,y?(-?,1)?(1,+?). ,x，1x，12x,12222=1-.?x+1?1,?1-?1-2=-1,且1-,1， (2) y=2222x，1x，1x，1x，1?y?-1,1). 三、利用函数单调性 已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法( 1,2x例, 求函数y=3x-的值域. 111,2x解:设g(x)=3x,h(x)= -(x?),则g(x)，h(x)在公共定义域x?(-?, 上都是增函数，?f(x)= g(x)+ h(x)在区间(-221111331,2,?, 上也是增函数(?x?，?y?3-=(?函数y的值域为y|y?( 222222四、利用判别式 2特殊地，对于可以化为关于x的二次方程a(y)x+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用3x,0()0,且求出的最值后ayyx,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值( 例4 求函数y =的最2x，4值( 3x33222,y,解:由y =，得yx-3x+4y=0,当y=0时，x=0( 当y0时，由=(-3)-44y?0,得-，?函数的定义域为R，,244x，433?y=-,y=( minmax44五、利用数形结合 数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外( 221,y1,x 例5 若(x+)(y-)=0,求x-y的最大、最小值( 用心 爱心 专心 分析:凡需用数形结合的方法来解决的问题，一般题目中都隐藏着形(几何意义)的信息(例如，所给条件无法表示成函数的解析式或不好表示，从题目的叙述中就已表露出曲线与方程的含义等等( 2222 解:?(x+1,y)(y-)=0，?(x+1,y)=0或(y-)=0 1,x1,x2222即x+y=1(x?0)或 x+y=1(y?0)，令x-y=k,则y=x-k,-k是y=x-k在y轴上的截距，由图易知-1?-k?，?-?k?1，?x-y22的最大值为1、最小值为-( 2y 六、利用换元法求值域 有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑( x 例6 求函数y=2x-5+15,4x的值域( 1151222 解:令t=15,4x,则t?0,x=(15-t),?y=-t+t+=-(t-1)+3. 4222715,4x 当t=1,即=1，x=时,y=3，故函数的值域为(-?，3( max2七、利用反函数求值域 -1 因函数y=f(x)的值域就是反函数y=f(x)的定义域，故某些时候可用此法求反函数的值域( x,xe，e例7 求函数y=(x,0)的值域( 2x,xx,xe，ee，e22y,1解:由y=得x=ln(y+),函数y=(x,0)的反函数为y=ln(x+),其定义域为x,1，?原函数的值x,122域为y|y,1. 八、利用已知函数的有界性( 5例8 求函数y=的值域. 22x,4x，3122解:令t=2x-4x+3=2(x-1)+1?1,?0,?1,?0,y?5,即函数y的值域为y?(0,5. t闭区间上二次函数的最值问题 二次函数问题是近几年高考的热点，很受命题者的青睐，二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数的重要题型之一。本文系统归纳这种问题的常见类型及解题策略。 一、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:(1)轴定，区间定;(2)轴定，区间变;(3)轴变，区间定;(4)轴变，区间变。 1. 轴定区间定 例1. (2002年上海)已知函数，当时，求函数f(x)的最大值与最小值。 解析:时， 所以时，时， 2. 轴定区间动 例2. (2002年全国)设a为实数，函数，求f(x)的最小值。 用心 爱心 专心 解析: (1)当时， ?若，则; ?若，则 (2)当时， ?若，则; ?若，则 综上所述，当时，;当时，;当时，。 3. 轴动区间定 例3. 求函数在区间上的最小值。 解析: (1)当，即时，; (2)当，即时，; (3)当，即时，。 综上， 评注:已知，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值。 4. 轴变区间变 例4. 已知，求的最小值。 解析:将代入u中，得 ?，即时， ?，即时， 所以 二、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。 用心 爱心 专心 例5. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 解析: (1)若，不合题意。 (2)若，则 由，得 (3)若时，则 由，得 综上知或 例6. 已知函数在区间上的值域是，求m，n的值。 解析1:讨论对称轴中1与的位置关系。 ?若，则 解得 ?若，则，无解 ，则，无解 ?若?若，则，无解 综上， 解析2:由，知，则，f(x)在上递增。 所以 解得 评注:解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。 例7. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。 分析:这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。 解:(1)令，得 此时抛物线开口向下，对称轴为，且 用心 爱心 专心 故不合题意; (2)令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意; (3)若，得，经检验，符合题意。 综上，或 评注:本题利用特殊值检验法，先计算特殊点(闭区间的端点、抛物线的顶点)的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。 函数单调性 单调性是函数的一个基本性质，因为它简单，人们以为这个性质在解题中很少应用，其实该性质仍有广泛的应用，主要用于如下几个方面. 一、 比较两个数的大小 例1 比较的大小. log(x，1)与log(2x，3)22简析:从题设的两个对数，便联想起在(0，+?)上是单调函数，因此只要比较两个真数的大小，原题就可获解. y,logu2x，1,0,解得x,1. 解:由,2x，3,0,0,x，1,2x，3当x,1时，有. 因函数在(0，+?)上单调递增，故。 y,logulog(x，1),log(2x，3)222二、 证明与自然数有关的命题 n例2 已知x,-1，且x?0，求证: n,N,n,2(1，x),1，nx1，nx，nx1nf(n),简析:欲证，需证，可令，通过计算，易知f(n)是单调函,1f(n，1),f(n)(1，x),1，nxnn，x(1，x)(1)数.由此，原命题便迎刃而解. 证明: 1，nx构造函数f(n),？x,1且x,0,故 n(1，x)2，n，x，nx,nx1(1)1fn，,fn,(1)(),0. n，1nn，1，x，x，x(1)(1)(1)1，xf(2),f(1),1？f(n)是单调递减函数，又 1，xn？f(n),1(n,2)，即(1+. x),1，n三、 解方程 3x，6,9,5x，2,x例3 解方程. 用心 爱心 专心 简析:令。显然，在公共定义域里，f(x)是增函数， f(x),3x，6,g(x),9,5x，2,xg(x)为减函数.直接验证知f(1)= g(1).以此为基础，用函数f(x)、g(x)的单调性即可求出原方程的解. 解:设. f(x),3x，6;g(x),9,5x，2,x在它们共同的定义域里，f(x)为单调递增函数，g(x)为单调递减函数. 显然f(1)=g(1)且 9时，有f(x),f(1)= g(1),g(x); ,x,152,x,1时，有f(x),f(1)= g(1),g(x) 即原方程f(x)= g(x)仅有一解 x=1 故x=1是原方程的解. 四、 证明不等式 ，例4 已知 a、b、c，求证: ,R,c,a，b且c,a,bcab,， c，1a，1b，1cabxc,a，b,简析:观察题中的的外表特征，自然会考虑函数(fx)=.显然，此函数在0?x,+?上是增函数.由c，1a，1b，1x，1得出后，原题的证明即能实现. f(c),f(a，b)x1f(x),1,(0,x,，,)证明:构造函数，由此可知f(x)在上是单调递增函数. ,，0,，,x，1x，1？c,a，b,从而有f(c),f(a，b),即ca，babab ,，,，c，1(a，b)，1(a，b)，1(a，b)，1a，1b，1cab故,，c，1a，1b，1五、 求参数的取值范围 ,例5 已知f(x)是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数且0,时, 21312f(sin,tsin,)，f(),0,求t的取值范围. 22213112f(sin,tsin,),f(),f(,)简析:因已知函数f(x)是奇函数,将已知不等式移项后可得.然后,根据f(x)是减函2222,sin1x111t,，y,，,(x，)数又可得.最后，根据它的外形特征可构造函数.易证，它在(0，1)上是减函数.利用此33x3x33sin,函数的单调性，t的取值范围即可求得. ,13120,时,f(sin,tsin,),f()解:由题设知. 222211f(,),f(),?f(x)是奇函数，故有 22用心 爱心 专心 13112? f(sin,tsin,),f(),f(,)2222,131sin122?f(x)在R上是减函数，故有，整理得. t,，sin,tsin,即sin,3tsin,133sin,22222x111(,，,),故t,构造函数，它在(0，1)上是减函数，值域为 y,，,(x，)3333x3x综上所述 ，用函数单调性解题的关键是，通过观察、分析、联想，构造一个适当的函数，若构造的这个函数的单调性不明显，则需证明它具有单调性(如例2)，然后根据函数的单调性去求解或证明. 解析式未给定函数 涉及未给定解析表达式的函数的相关问题通常较难，对同学的基本数学素质要求较高，除了要掌握函数的基本性质之外，还要掌握一定的代数变形方法。本文精选几例给同学们阅读，以期提高同学们的阅读、概括能力，掌握这类问题的解决方法。 b,x,0【例1】函数对任意、R，都有，并且当时，。 af(x)f(a，b),f(a)，f(b),1f(x),1(1)求证:是R上的增函数; f(x)2(2)若，解不等式。 f(4),5f(3m,m,2),3解:设、?R，且，则，?。 xxx,xx,x,0f(x,x),111221212f(x),f(x),f(x,x)，x,f(x),f(x,x)，f(x),1,f(x)2121112111。 ,f(x,x),1,021即，?是R上的增函数。 f(x),f(x)f(x)12,5(2)，?。 f(4),f(2，2),f(2)，f(2),1f(2),322不等式即为， f(3m,m,2),3f(3m,m,2),f(2)23m,m,2,2?是R上的增函数，于是， f(x)4,1,m,解之得。 3y,【例3】已知定义在R上的函数对任意、R都有 xf(x)成立，且方程有最小正根c存在。 f(x，y)，f(x,y),2f(x)f(y)f(x),0求证:(1)，且是偶函数; f(0),1f(x)(2)f(x，2c),f(x)，且f(x)是周期函数; (3)|f(x)|,1，即f(x)是有界函数。 证明:(1)在条件式中令x,y,0f(0)，f(0),2f(0)f(0)，得 f(0),0f(0),1解得或。 用心 爱心 专心 若，在条件式中令，得，?， f(0),0y,0f(x)，f(x),2f(x)f(0)f(x),0?方程的解是任意实数，与“有最小正根”矛盾， f(x),0?。 f(0),1x,0在条件式中令，可得，?。 f(y)，f(,y),2f(0)f(y)f(,y),f(y)?是偶函数。 f(x)(2)?， f(2c，x)，f(x),f(c，x)，c)，f(c，x),c),2f(c，x)f(c),0? f(2c，x),f(x)c,0又?，而， f(x，4c),f(x，2c)，2c),f(x，2c),f(x)?是周期函数。 f(x)(3)假设存在R，有成立，则 x,|f(x)|,1002f(c，x)f(c,x),f(c，x)，(c,x)，f(c，x),(c,x)000000,f(2c)，f(2x),f(c，c)，f(x，x)000,2f(c)f(c),f(c,c)，2f(x)f(x),f(x,x)0000,2f(c)f(c),f(0)，2f(x)f(x),f(0)0022 ,2f(x),1,0,2f(x),200?f(c，x)f(c,x),0(*) 00但是f(c,x),f(2c,(c，x