最新高中数学导数知识点回顾优秀名师资料.doc
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1、高中数学导数知识点回顾导 数 导 数考试内容: 导数的背影(导数的概念(多项式函数的导数(利用导数研究函数的单调性和极值(函数的最大值和最小值(考试要求:(1)了解导数概念的某些实际背景(2)理解导数的几何意义(3)掌握函数,y=c(c为常数)、y=xn(n?N+)的导数公式,会求多项式函数的导数(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值( ?14. 导 数 知识要点 导 数知识要点 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导 导数的运算 数 导数的运
2、算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 xxy,f(x)1. 导数(导函数的简称)的定义:设是函数定义域的一点,如果自变量在处x00,y,f(x,,x),f(x)有增量,则函数值也引起相应的增量;比值,xy00f(x,,x),f(x),y00xx,,x,y,f(x)称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限00,x,xfx,,x,fx()(),y00x,y,f(x)limlim存在,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做0,x,x,00,x,xfx,,x,fx()(),y00xy,f(x),y|limlim在处的导数,记作或,即=. f(x)f(x)0,xx000,x,x,00,
3、x,x注:?,x是增量,我们也称为“改变量”,因为,x可正,可负,但不为零. y,f(x)A,B?以知函数定义域为,的定义域为,则与关系为. ABABy,f(x)y,f(x)xx2. 函数在点处连续与点处可导的关系: 00y,f(x)xxy,f(x)?函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件. 00xxy,f(x)y,f(x)可以证明,如果在点处可导,那么点处连续. 00x,xx,x,,x事实上,令,则相当于,x,0. 001 于是limf(x),limf(x,,x),limf(x,x),f(x),f(x) 0000x,x,x,x,000f(x,,x),f(x)f(x,,x),f(x)000
4、0,lim,x,f(x),lim,lim,limf(x),f(x),0,f(x),f(x).00000,x,x,x,x,0000,x,xxxy,f(x)y,f(x)?如果点处连续,那么在点处可导,是不成立的. 00,y|,x|x,0x,0,f(x),|x|例:在点处连续,但在点处不可导,因为,当,0时,,x00,x,x,y,y,y,1,1lim;当,0时,故不存在. ,x,x,0,x,x,x注:?可导的奇函数函数其导函数为偶函数.?可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义: xy,f(x)y,f(x)(x,f(x)函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,00y,f
5、(x)(x,f(x)也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方程为f(x)00 y,y,f(x)(x,x).004. 求导数的四则运算法则: (u,v),u,v,y,f(x),f(x),.,f(x),y,f(x),f(x),.,f(x)nn1212(uv),vu,vu,(cv),cv,cv,cv(为常数) cuvu,vu,(v,0) ,2vv,注:?必须是可导函数. u,v?若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 22g(x),cosx,f(x),2sinx,f(x),g(x)例如:设,则在处均不可导,但它们和x,0xxf(x),
6、g(x),sinx,cosx在处均可导. x,05. 复合函数的求导法则:或 f(,(x),f(u),(x)y,y,uxuxx复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性: y,f(x)y,f(x)?函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导,如果,0,则为f(x)y,f(x)增函数;如果,0,则为减函数. f(x)?常数的判定方法; y,f(x)y,f(x)如果函数在区间内恒有=0,则为常数. If(x)3f(x),0(,,,)注:?是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如在上并不是y,2xf(x),0f(x),0都有,有一个点例外即x=0时f(x) = 0,同样是
7、f(x)递减的充分非必2 要条件. ?一般地,如果f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. xf(x)f(x)f(x)f(x)7. 极值的判别方法:(极值是在附近所有的点,都有,,则是函数000的极大值,极小值同理) f(x)x当函数在点处连续时, 0xf(x)附近的左侧,0,右侧,0,那么是极大值; ?如果在f(x)f(x)00xf(x)?如果在附近的左侧,0,右侧,0,那么是极小值. f(x)f(x)00?xx也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号,而不是=0. 此外,函数不f(x)00? 可导的点也可能是函数的
8、极值点.当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). xf(x)注?: 若点是可导函数的极值点,则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函f(x)0x数,其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 03例如:函数,使=0,但不是极值点. x,0x,0y,f(x),xf(x)y,f(x),|x|?例如:函数,在点处不可导,但点是函数的极小值点. x,0x,08. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进注:函数的极值点一定有意义. 行比较.9. 几种常见的函数导数: 1(arcsi
9、nx),(sinx),cosxC,0I.(C为常数) 21,x1nn,1(arccosx),(x),nx(cosx),sinx() n,R21,x111(arctanx),(logx),loge(lnx)II. aa2xxx,11xxxx(arccotx),(e),e(a),alna 2x,1III. 求导的常见方法: (x,a)(x,a).(x,a)112n,y,(x,a)(x,a).(x,a)(ln|x|)y,?常用结论:.?形如或两12nx(x,b)(x,b).(x,b)12n边同取自然对数,可转化求代数和形式. xxlny,xlnx?无理函数或形如这类函数,如取自然对数之后可变形为,对
10、两边y,xy,xy1xx求导可得. ,lnx,x,y,ylnx,y,y,xlnx,xyx3 导数中的切线问题 例题1:已知切点,求曲线的切线方程 32(11),,曲线在点处的切线方程为( ) yxx,,31例题2:已知斜率,求曲线的切线方程 2240xy,,,与直线的平行的抛物线的切线方程是( ) yx,yxb,,2注意:此题所给的曲线是抛物线,故也可利用法加以解决,即设切线方程为,,22xxb,20代入,得,又因为,0,得b,1,故选,( yx,例题3:已知过曲线上一点,求切线方程 过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法( 3(11),,求过曲线上的点的切
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