最新高中数学导数知识点回顾优秀名师资料.doc

高中数学导数知识点回顾导 数 导 数考试内容: 导数的背影(导数的概念(多项式函数的导数(利用导数研究函数的单调性和极值(函数的最大值和最小值(考试要求:(1)了解导数概念的某些实际背景(2)理解导数的几何意义(3)掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n?N+)的导数公式，会求多项式函数的导数(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值( ?14. 导 数 知识要点 导 数知识要点 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导 导数的运算 数 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 xxy,f(x)1. 导数(导函数的简称)的定义:设是函数定义域的一点，如果自变量在处x00,y,f(x，,x),f(x)有增量，则函数值也引起相应的增量;比值,xy00f(x，,x),f(x),y00xx，,x,y,f(x)称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限00,x,xfx，,x,fx()(),y00x,y,f(x)limlim存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做0,x,x,00,x,xfx，,x,fx()(),y'00''xy,f(x),y|limlim在处的导数，记作或，即=. f(x)f(x)0,xx000,x,x,00,x,x注:?,x是增量，我们也称为“改变量”，因为,x可正，可负，但不为零. 'y,f(x)A,B?以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为. ABABy,f(x)y,f(x)xx2. 函数在点处连续与点处可导的关系: 00y,f(x)xxy,f(x)?函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件. 00xxy,f(x)y,f(x)可以证明，如果在点处可导，那么点处连续. 00x,xx,x，,x事实上，令，则相当于,x,0. 001 于是limf(x),limf(x，,x),limf(x，x),f(x)，f(x) 0000x,x,x,x,000f(x，,x),f(x)f(x，,x),f(x)'0000,lim,x，f(x),lim,lim，limf(x),f(x),0，f(x),f(x).00000,x,x,x,x,0000,x,xxxy,f(x)y,f(x)?如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的. 00,y|,x|x,0x,0,f(x),|x|例:在点处连续，但在点处不可导，因为，当,0时，,x00,x,x,y,y,y,1,1lim;当,0时，故不存在. ,x,x,0,x,x,x注:?可导的奇函数函数其导函数为偶函数.?可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义: xy,f(x)y,f(x)(x,f(x)函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，00'y,f(x)(x,f(x)也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为f(x)00' y,y,f(x)(x,x).004. 求导数的四则运算法则: ''''''' (u,v),u,v,y,f(x)，f(x)，.，f(x),y,f(x)，f(x)，.，f(x)nn1212'''''''(uv),vu，vu,(cv),cv，cv,cv(为常数) c'''uvu,vu,(v,0) ,2vv,注:?必须是可导函数. u,v?若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 22g(x),cosx,f(x),2sinx，f(x),g(x)例如:设，则在处均不可导，但它们和x,0xxf(x)，g(x),sinx，cosx在处均可导. x,0''''''5. 复合函数的求导法则:或 f(,(x),f(u),(x)y,y,uxuxx复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性: 'y,f(x)y,f(x)?函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导，如果,0，则为f(x)'y,f(x)增函数;如果,0，则为减函数. f(x)?常数的判定方法; 'y,f(x)y,f(x)如果函数在区间内恒有=0，则为常数. If(x)3f(x),0(,，,)注:?是f(x)递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是y,2xf(x),0f(x),0都有，有一个点例外即x=0时f(x) = 0，同样是f(x)递减的充分非必2 要条件. ?一般地，如果f(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. xf(x)f(x)f(x)f(x)7. 极值的判别方法:(极值是在附近所有的点，都有,，则是函数000的极大值，极小值同理) f(x)x当函数在点处连续时， 0''xf(x)附近的左侧,0，右侧,0，那么是极大值; ?如果在f(x)f(x)00''xf(x)?如果在附近的左侧,0，右侧,0，那么是极小值. f(x)f(x)00?'xx也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0. 此外，函数不f(x)00? 可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 'xf(x)注?: 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函f(x)0x数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 03'例如:函数，使=0，但不是极值点. x,0x,0y,f(x),xf(x)y,f(x),|x|?例如:函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点. x,0x,08. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进注:函数的极值点一定有意义. 行比较.9. 几种常见的函数导数: 1'''(arcsinx),(sinx),cosxC,0I.(C为常数) 21,x1'n'n,1'(arccosx),(x),nx(cosx),sinx() n,R21,x1'11''(arctanx),(logx),loge(lnx)II. aa2xxx，11x'xx'x'(arccotx),(e),e(a),alna 2x，1III. 求导的常见方法: (x,a)(x,a).(x,a)112n',y,(x,a)(x,a).(x,a)(ln|x|)y,?常用结论:.?形如或两12nx(x,b)(x,b).(x,b)12n边同取自然对数，可转化求代数和形式. xxlny,xlnx?无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边y,xy,x'y1''xx求导可得. ,lnx，x,y,ylnx，y,y,xlnx，xyx3 导数中的切线问题 例题1:已知切点，求曲线的切线方程 32(11)，,曲线在点处的切线方程为( ) yxx,，31例题2:已知斜率，求曲线的切线方程 2240xy,，,与直线的平行的抛物线的切线方程是( ) yx,yxb,，2注意:此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，,22xxb,20代入，得，又因为,0，得b,1，故选,( yx,例题3:已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法( 3(11)，,求过曲线上的点的切线方程( yxx,2例题4:已知过曲线外一点，求切线方程 1(20)，y,求过点且与曲线相切的直线方程( x4 3A(016)，yfx,()练习题: 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程( yxx,3看看几个高考题 x1,11.(2009全国卷?)曲线在点处的切线方程为y,，21x,22.(2010江西卷)设函数，曲线在点处的切线方程为fxgxx()(),，ygx,()(1,(1)g，则曲线在点处切线的斜率为 yx,，21yfx,()(1,(1)fx3.(2009宁夏海南卷)曲线在点(0,1)处的切线方程为 。 yxex,，21324.(2009浙江)(本题满分15分)已知函数 ( fxxaxaaxb()(1)(2),，,，(,)ab,R,3 (I)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值; fx()ab,5.(2009北京)(本小题共14分) 3设函数. fxxaxba()3(0),，,(?)若曲线在点处与直线相切，求的值; y,8ab,yfx,()(2,()fx.1 函数的单调性和导数 1(利用导数的符号来判断函数单调性: yfx,()一般地，设函数在某个区间可导， 'yfx,()如果在这个区间内，则为这个区间内的 ; fx()0,'yfx,()如果在这个区间内，则为这个区间内的 。 fx()0,2(利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) 确定函数f(x)的定义域; (2) 求出函数的导数; (3) 解不等式f ,(x),0，得函数的单调递增区间; 解不等式f ,(x),0，得函数的单调递减区间( 5 【例题讲解】 3(,0),a) 求证:在上是增函数。 yx,，132b) 确定函数f(x)=2x,6x+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 【课堂练习】 1(确定下列函数的单调区间 323(1)y=x,9x+24x (2)y=3x,x f(x),xlnx,(已知函数，则( ) (0,，,)(0,，,) A(在上递增 B(在上递减 11,0,0, C(在上递增 D(在上递减 ,ee,32,(函数的单调递增区间是_( f(x),x,3x,56 函数图象及其导函数图象 3yfx,()1. 函数在定义域内可导，其图象如(,3),2/yfx,()图，记的导函数为，则不等yfx,()/式的解集为_ fx()0,3f(x) 函数的定义域为开区间，导函数2.(,3), ,y,f(x)23,f(x)f(x)在内的图象如图所示，则函数(,3),2的单调增区间是_ y32fx'()3. 如图为函数的图象，为函数fxaxbxcxd(),，ofx()xfx,'()0的导函数，则不等式的解集为_ _ x-332fx'()4. 若函数的图象的顶点在第四象限，则其导函数的图象是( ) fxxbxc(),，yfx,()fx'()5. 函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一yfx,()条直线，则图象的顶点在( ) ,y,f(x)A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 y ,f(x)f(x)y,f(x)6. (2007年广东佛山)设是函数的导函数,的图y y y y 1 x 2 O y,f(x)象如右图所示，则的图象最有可能的是( ) 2 O O 1 1 2 O 2 2 1 1 x O x x x A B C D 7. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数y=f ,(x)的图象可能为( ) 7 yfx,()8. (安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科)函数的图像如下右图,yfx,()的图像可能是 ( )所示，则y 9. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已2,fx()知函数的导函数的图象如右图，则fxaxbxc(),，o fx()的图象可能是( ) x 10. (2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科)如右图所示是某一h容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间t正视图侧视图变化的可能图象是( ) hhhh俯视图OtOtOtOt (A) (B) (C) (D) '11. (2008广州二模文、理)已知二次函数的图象如图1所示 , 则其导函数的图，fx，fx象大致形状是( ) 8 yfx,(),abyfx,()12. (2009湖南卷文)若函数的导函数在区间上是增函数，则函数(,ab在区间上的图象可能是 ( ) y y y y o o o o x x x x a b b a b a b a A ( B( C( D( y,f(x)13. (福建卷11)如果函数的图象如右图，那么导,yfx,()函数的图象可能是 ( ) 14. (2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 ( ) f'(x)f(x)y,f(x)y,f'(x)15. (2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ) 9 A( B( C( D( y 16. (湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数,y,f(x)y,f(x)的导函数的图像如下，则( ) 函数有1个极大值点，1个极小值点 f(x)函数有2个极大值点，2个极小值点 f(x)函数有3个极大值点，1个极小值点 f(x),函数有1个极大值点，3个极小值点 f(x)xxxxx O4 132 of(x)17. (2008珠海质检理)函数的定义域为O ,(a,b)，其导函数内的图象如图所示，则函f(x)在(a,b)f(x)(a,b)数在区间内极小值点的个数是( ) (A).1 (B).2 (C).3 (D).4 12f(x),lnx,x18. 【湛江市?文】函数的图象大致是 2yyyy xO OxOx Ox CA( B( ( ( D219. 【珠海?文】如图是二次函数的部分图f(x),x,bx，a（1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.,象，则函数的零点所在的区间是 ( ) g(x),lnx，f(x)111A. B. (,)(,1)422115.75.13加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67C. D. (1,2)(2,3)145.286.3加与减（三）2 P81-83,f(x)f(4)1,f(x)f(x)20. 定义在R上的函数满足(为的导函y,y,f(x)a,b数，已知函数的图象如右图所示.若两正数满足（2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。Oxb，2f(2a，b),1，则的取值范围是 ( ) a，21、熟练计算20以内的退位减法。10 （3）当>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：1111(,3), A( B( C( D( (,3)(,)(,)3,，,:，232232521. 已知函数在点处取得极大值，xfxaxbxcx(),，0推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。yfx,'()(1,0)(2,0)其导函数的图象经过点，如图所示.求: （2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。(?)的值; x0经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.abc,(?)的值. 4、根据学生的知识缺漏，有目的、有计划地进行补缺补漏。11