最新高中数学必修4三角函数知识点与题型总结【更多资料关注++高中学习资料库+】优秀名师资料.doc

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1、高中数学必修4三角函数知识点与题型总结【更多资料关注 高中学习资料库 】三角函数典型考题归类 高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3)元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示: 如:我校的篮球队员太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1)用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 , 注意:常用数集及其记法: 非负整数集,即自然数集,

2、 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1,列举法:a,b,c 2,描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来写在大括号内表示集合的方法。x,R| x-32 ,x| x-32 3,语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4,Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合 2(3)空集 不含任何元素的集合 例:x|x=,5, 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 A,B注意:有两种可能,1,A是B的一部分,2,A与B是同一集合。 ,反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2(“相等

3、”关系:A=B (5?5且5?5则5=5) 2实例:设 A=x|x-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 即:? 任何一个集合是它本身的子集。A,A ?真子集:如果A,B,且A, B那就说集合A是集合B的真子集记作AB(或BA) ?如果 A,B, B,C ,那么 A,C ? 如果A,B 同时 B,A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集记为 规定: 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集。 nn-1, 有n个元素的集合含有2个子集2个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 更多资料关注高中学习资料库 加微信:gzxxzlk 可以做每日一练 2.、函数奇偶性与

4、单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题一题多解 &指数函数y=ax aa*ab=aa+b(a0,a、b属于Q) (aa)b=aab(a0,a、b属于Q) (ab)a=aa*ba(a0,a、b属于Q) 指数函数对称规律: 1、函数y=ax与y=a-x关于y轴对称 2、函数y=ax与y=-ax关于x轴对称 3、函数y=ax与y=-a-x关于坐标原点对称 &对数函数y=logax a,0a,1M,0N,0如果且那么: 1? ，, log(MlogMlogNN),aaaM2log,? , logMlogNaaaNn3? ( logM,nlogM

5、(n,R)aa注意:换底公式 logbclogb,a,0a,1c,0c,1b,0 ,且,且,( alogac幂函数y=xa(a属于R) ,1、幂函数定义:一般地形如的函数称为幂函数其中为常数( ,(a,R)y,x2、幂函数性质归纳( ,1,所有的幂函数在,0+?,都有定义并且图象都过点,11, ,0,2,时幂函数的图象通过原点并且在区间上是增函数(特别地0,，,),10,1当时幂函数的图象下凸,当时幂函数的图象上凸, ,0,3,时幂函数的图象在区间上是减函数(在第一象限内当从x(0,，,)右边趋向原点时图象在轴右方无限地逼近轴正半轴当x趋于时图，,yy象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴( 方程的

6、根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数x把使成立的实数叫做y,f(x)(x,D)f(x),0函数的零点。 y,f(x)(x,D)2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根亦即函数y,f(x)f(x),0xy,f(x)的图象与轴交点的横坐标。 x即:方程f(x),0有实数根函数y,f(x)的图象与轴有交点函数y,f(x),有零点( 3、函数零点的求法: 1 ,代数法,求方程f(x),0的实数根, ?y,f(x)2 ,几何法,对于不能用求根公式的方程可以将它与函数的图象联?系起来并利用函数的性质找出零点( 更多资料关注高中学习资料库 加微信:gzxxzlk 可以做每日一练 4、二次函数的零

7、点: 2二次函数( y,ax，bx，c(a,0)2,1,?,方程有两不等实根二次函数的图象与轴有两个ax，bx，c,0x交点二次函数有两个零点( 2,2,?,方程有两相等实根二次函数的图象与轴有一个ax，bx，c,0x交点二次函数有一个二重零点或二阶零点( 2,3,?,方程无实根二次函数的图象与轴无交点二次函数无零点( ax，bx，c,0x三、平面向量 向量:既有大小又有方向的量( 数量:只有大小没有方向的量( 有向线段的三要素:起点、方向、长度( 0零向量:长度为的向量( 1单位向量:长度等于个单位的向量( 相等向量:长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算 AB，BC,AC这种计算

8、法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB以OA、OB为邻边作平行四边形OACB则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量a有:0，a,a，0,a。 |a，b|?|a|，|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量,(,a),a零向量的相反向量仍然是零向量。 ,1,a，(,a),(,a)，a,0,2,a,b,a，(,b)。 数乘运算 实数与向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作a|a|,|a|当 0时a的方向和a的方向相同当 0 注:

9、方程有两个不等的实根 b2-4ac0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h 圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=SL 注:其中,S是直截

10、面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h sin30:二分之一 sin45:二分之根二 sin60:二分之根三 cos30:二分之根三 cos45:二分之根二 cos60:二分之一 tan30:三分之根三 cos45:一 tan60:根三 等比数列: 若q,1 则S=n*a1 若q?1 推倒过程: S=a1+a1*q+a1*q2+a1*q(n-1) 等式两边同时乘q S*q=a1*q+a1*q2+a1*q3+a1*q 1式,2式 有 S=a1*(1-qn)/(1-q) 更多资料关注高中学习资料库 加微信:gzxxzlk 可以做每日一练 等差数列 推导过程: S=

11、a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+(n-1)*d) 把这个公式倒着写一遍 S=(a1+(n-1)*d) +(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+，a1 上两式相加有 S,(2a1+(n-1)d)*n/2=n*a1+n*(n-1)*d/2 1(根据解析式研究函数性质 例1(天津理)已知函数( fxxxxx()2cos(sincos)1,，,，R3，(?)求函数的最小正周期;(?)求函数在区间上的最小值和最大值( fx()fx()，,84，,2【相关高考1】(湖南文)已知函数( fxxxx()12sin2sincos,，,888,求:(I)函数的最小正周期;(II)函数的单

12、调增区间( fx()fx()1,2gxx()1sin2,，【相关高考2】(湖南理)已知函数，( fxx()cos,，,212,(I)设xx,是函数图象的一条对称轴，求gx()的值(II)求函数的单调递增区间( yfx,()hxfxgx()()(),，002(根据函数性质确定函数解析式 ,，,R，?yxx2cos()(00)例2(江西)如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周(03)，y2期为,( y,(1)求和,的值; P 3 ,PAQxy()，(2)已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当A，0P00,2,AO x 3，xy,，时，求的值( x,，000,22，,x,2,0fx(

13、)【相关高考1】(辽宁)已知函数(其中)，(I)求函数,，,，Rfxxxx()sinsin2cos,662,yfx,()y,1yfx,()的值域; (II)(文)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间( 2更多资料关注高中学习资料库 加微信:gzxxzlk 可以做每日一练 a,R(理)若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值(不,yfx,()xaa,，(，y,1必证明)，并求函数的单调增区间( yfxx,()，R,?ABCBx,【相关高考2】(全国?)在中，已知内角，边(设内角，周长为( A,BC,23y,(1)求函数的解析式和定义域;(2)求函

14、数的最大值( yfx,()yfx,()3(三角函数求值 113例3(四川)已知cos=,cos(-),，且0,(?)求tan2的值;(?)求. 7214,2cos2x,43,【相关高考1】(重庆文)已知函数f(x)=.(?)求f(x)的定义域;(?)若角a在第一象限，且 cosa,求f(a)。,5sin(x，)226cosx,3sin2x【相关高考2】(重庆理)设f () = (1)求f()的最大值及最小正周期;(2)若锐角满足，xx,f(,),3,234,求tan的值. 5(三角形中的函数求值 4abA,2sin例4(全国?)设锐角三角形ABC的内角ABC的对边分别为abc，( ，c,5co

15、ssinAC，a,33(?)求B的大小;(文)(?)若，求b(理)(?)求的取值范围( 4?ABCAC,2BC,3cosA,【相关高考1】(天津文)在中，已知，( 5,sinB(?)求的值;(?)求的值( sin2B，,6,13?ABCCBCAB17tanA,tanB,【相关高考2】(福建)在中，(?)求角的大小;文(?)若边的长为，求45?ABC17边的长(理(?)若最大边的边长为，求最小边的边长( 5(三角与平面向量 ,?ABC36,ACAB,AC例5(湖北理)已知AB的面积为，且满足0?，设和的夹角为(I)求的取值范围; ,2(II)求函数的最大值与最小值( f()2sin3cos2,，

16、,4,【相关高考1】(陕西)设函数， ，fx,a,b,2其中向量，且函数y=f(x)的图象经过点， ,a,(m,cos2x),b,(1，sin2x,1),x,R4,x(?)求实数m的值;(?)求函数f(x)的最小值及此时的值的集合. c【相关高考2】(广东)已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)( 更多资料关注高中学习资料库 加微信:gzxxzlk 可以做每日一练 c,5 (文)(1)若，求的值;(理)若?A为钝角，求c的取值范围;(2)若，求sin?A的值( AB,AC,0c6三角函数中的实际应用 例6(山东理)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船

17、按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于302A1,2020甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的105120BAB122处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里, 102C【相关高考】(宁夏)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与D(现测得B北 C,，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高AB( ，,，,BCDBDCCDs,，A,120A2B,2 105A1B 1 甲 乙 7(三角函数与不等式 ，,2(湖北文)已知函数，(I)求的最大值和最小值; 例7fx()x,，fxxx()2sin3cos2,，,4

18、24，,，fxm()2,(II)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围( mx,，,42，8(三角函数与极值 xx232，fx,cosx,4tsincos，4t，t,3t，4,x,R例8(安徽文)设函数 22t其中?1，将，的最小值记为g(t). fx(?)求g(t)的表达式;(?)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. 三角函数易错题解析 22,sin,cos例题1 已知角,的终边上一点的坐标为()，则角,的最小值为( )。 3311,525A、 B、 C、 D、 63632,3x,5x，1,0例题2 A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC是( ) tanA,

19、tanBA、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 2tan,x，4ax，3a，1,0tan例题3 已知方程(a为大于1的常数)的两根为，,， ,，,tan,且,、，则的值是_. ,222,更多资料关注高中学习资料库 加微信:gzxxzlk 可以做每日一练 例题4 函数的最大值为3，最小值为2，则_，_。 b,fxaxb()sin,，a,sinxcosx例题5 函数f(x)=的值域为_。 1，sinx，cosx222，sin,3sin,则sin,，sin,2例题6 若2sin的取值范围是 例题7 已知，求的最小值及最大值。 ,，,y,cossin,62tanx例题8 求函数

20、的最小正周期。 fx(),21tan,x,例题9 求函数的值域 f(x),sin2x，22cos(，x)，34,3(,0)例题10 已知函数?是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间0，f(x),sin(,x，,)(,0,0,),42上是单调函数，求和的值。 ,2011三角函数集及三角形高考题 ,1,，,bBA5,sin ABCa,431.(2011年北京高考9)在中，若，则 . 2ABC,abc,ABCaAbBcossin,sincoscosAAB，,(2011年浙江高考5).在中，角所对的边分.若，则 2.1122(A)- (B) (C) -1 (D) 1 ,yfx,()fxx()co

21、s(0),33.(2011年全国卷1高考7)设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像,重合，则的最小值等于 13693(A) (B) (C) (D) 25,sinpy4,，,55.(2011年江西高考14)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_. ,fxf()(),ff()(),fxx()sin(2),，,6xR,26(2011年安徽高考9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，fx()则的单调递增区间是 ,，kkkZ,()kkkZ,(),，,，,362，(A) (B) 更多资料关注高中学习资料库 加微信:gzxxzlk 可以做每日一练 ,2

22、，kkkZ,(),，,kkkZ,(),263，(C) (D) 222sinsinsinsinsinABCBC,，,7(2011四川高考8)在?ABC中，则A的取值范围是 ,(0,)(0,),6363(A) (B) (C) (D) ,fxxx()4cossin()1.,，,61.(2011年北京高考17)已知函数 ,，,fx()fx()64，(?)求的最小正周期;(?)求在区间上的最大值和最小值。 cos2cos2ACca,ABC,abc,ABCcosBb3. (2011年山东高考17) 在中，内角的对边分别为，已知， sinC1cos,2Bb,ABCsinA4(?)求的值;(?)若，求的面积S

23、。 aACaCbBsincsin2sinsin，,5.(2011年全国卷高考18)?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知. 0Ab,75,2,求，ac (?)求B;(?)若. ABC,abc, ABCcAaCsincos.,6.(2011年湖南高考17)在中，角所对的边分别为且满足 ,3sincos()AB,，AB,C4(I)求角的大小;(II)求的最大值，并求取得最大值时角的大小( 1,fxx()2sin()x,36R7(2011年广东高考16)已知函数，( ,，5,106,0,f()，,，,f(3)f(32),cos(),，24，2135(1)求的值;(2)设，求的值( 73

24、,，,fxxx()sin()cos(),448(2011年广东高考18)已知函数，xR( 44,，,0,cos()cos(),2fx()()20f,255(?)求的最小正周期和最小值;(?)已知，(求证:( a,b,c9.(2011年江苏高考17)在?ABC中，角A、B、C所对应的边为 1,sin(A，),2cosA,cosA,b,3csinC63(1)若 求A的值;(2)若，求的值. 更多资料关注高中学习资料库 加微信:gzxxzlk 可以做每日一练 b222232a10.(2011高考)?ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcosA=a。(I)求;(I

25、I)若c=b+a，求B。 1abC,1,2,cos,ABC11. (2011年湖北高考17)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 4cos()AC,ABC(I) 求的周长;(II)求的值。 1cos2C,412. (2011年浙江高考18)在?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值;(?)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长( 2011三角函数集及三角形高考题答案 ,1,，,bBA5,sin ABCa,431.(2011年北京高考9)在中，若，则 . a552,aab,152,13,，,bBA5,sinsinsinsinAB34334

26、【答案】【解析】:由正弦定理得又所以 2ABC,abc,ABCaAbBcossin,sincoscosAAB，,2.(2011年浙江高考5).在中，角所对的边分.若，则 1122(A)- (B) (C) -1 (D) 1 2acosA,bsinBsinAcosA,sinB【答案】D【解析】?，?， 222sinAcosA，cosB,sinB，cosB,1?. ,yfx,()fxx()cos(0),33.(2011年全国卷1高考7)设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像,重合，则的最小值等于 13693(A) (B) (C) (D) ,yfx,()33【解析】由题意将的图像向右

27、平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍,得2,，,kkZ(),6,6k,0k,1min3,解得,又,令,得. 4.(2011全国卷)，设函数 更多资料关注高中学习资料库 加微信:gzxxzlk 可以做每日一练 (A)y=在单调递增，其图像关于直线对称(B)y=在单调递增，其图像关于直线对称 2422(C)y= f (x) 在(0，)单调递减，其图像关于直线x = 对称(D)y= f (x) 在(0，)单调递减，其图像关于直线x = 对称 ,22222解析:解法一:f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x) 在(0，)单调递减，其图像关于直线x = 对称。

28、故选D。 25,sinpy4,，,55.(2011年江西高考14)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_. 答案:8. 解析:根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角。25y对边,sin,2516，y,y,8斜边= ,fxf()(),f()sin()1,，,，,，,kkZ,663xR,32(2011年湖南高考9)【解析】若对恒成立，则，所以，6,ff()(),，,kkZ,sin()sin(2),，,，sin0,kZ,62.由，()，可知，即，所以,3,，,(21),kkZfxx()sin(2),，剟222kxk,fxx

29、()sin(2),，,66262，代入，得，由，,2，剟kxk,63得，故选C. 222bca，,1,222222sinsinsinsinsinABCBC,，,abcbc,，,22bc7(2011四川高考8)解析:由得，即， 1,0,AcosA,0,A,32?，?，故，选C( 31,f(x),4cosxsin(x，),1,4cosx(sinx，cosx),16221.【解析】:(?)因为高考资源网KS5U.COM ,2,2sin(2x，),3sin2x，2cosx,1f(x),3sin2x，cos2x,6所以的最小正周期为 2,2,x,所以,2x，,.x，,即x,f(x)62664663(?)因为于是，当时，取得最大值2;当更多资料关注高中学习资料库 加微信:gzxxzlk 可以做每日一练 ,2x，,即x,时,f(x)666取得最小值1( ,fxAx()sin(),，0,yfx,()xR,A,0232.(2011年浙江高考18)已知函数，.的部分图像，如图所示，Q(1,)APP、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为. 2,，,PRQf