第7章new传递函数矩阵的矩阵分式描述和结构特性更新中.ppt
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1、第七章 传递函数矩阵的矩阵分式描述与结构特性,引言,传递函数矩阵的矩阵分式描述(MFD, Matrix Fraction Description)是复频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。本章前半部分将对MFD做较为系统和全面的讨论,主要内容包括MFD的形式、构成、真性、严真性和不可简约性等。 本章后半部分讨论传递函数矩阵的结构特性,它是复频域分析和综合的基础。传递函数矩阵的结构特性由极点和零点的分布属性、极点和零点的不平衡属性表示: 极点和零点的分布属性:决定系统的稳定性和运动行为; 极点和零点的不平衡属性:反映系统的奇异特性和奇异程度。 其中,我们需要重点掌握的内容包括S
2、mith-McMillan型、结构指数、极点和零点。,本章主要内容 矩阵分式描述 规范矩阵分式描述 埃米特型、波波夫型、史密斯-麦可米伦型MFD 传递函数矩阵的极点、零点和结构指数 传递函数矩阵的评价值(略) 传递函数矩阵的零空间和最小多项式基(略),7.1 矩阵分式描述 MFD实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之“比”。MFD形式上则是对标量有理分式形式传递函数g(s)相应表示的一种自然推广。,1 右MFD和左MFD 考虑p维输入和q维输出的连续线性时不变系统,其输入输出关系的传递函数矩阵G(s)为qp有理分式矩阵,其表示形式为,严格真有理矩阵:有理矩阵
3、G(s) 满足 G() = 0。 真有理矩阵:有理矩阵 G(s) 满足 G() = G0 (非零常数)。 考察G(s)是否为严格真有理矩阵或真有理矩阵,只要观察G(s)中的元素 gij(s) = nij(s)/dij(s) 是否有 deg nij(s) deg dij(s)。,数学上,对qp有理分式矩阵G(s),总能因式分解成: 右矩阵分式描述: G(s) = Nr(s)Dr-1(s) (6-2) 和 左矩阵分式描述: G(s) = Dl-1(s) Nl(s) 其中 右分母矩阵: pp 阶方阵Dr(s);右分子矩阵: qp 阶矩阵Nr(s); 左分母矩阵: qq 阶方阵Dl(s); 左分子矩阵
4、: qp 阶矩阵Nl(s)。,其中dci是G(s)中第i列元素的最小公分母;dri是G(s)中第i行元素的最小公分母。,例如,,【例7-1】给定23传递函数矩阵G(s)为,解 首先构造G(s) 的右MFD。为此,定出G(s)各列的最小公分母如下: dc1(s) = (s+2)(s+3)2 , dc2(s) = (s+3)(s+4) ,dc3(s) = (s+1)(s+2),进而,构造G(s)的左MFD。为此,定出G(s)各行的最小公分母如下: dr1(s) = (s+2)(s+3)2 , dr2(s) = (s+1)(s+3)(s+4),由此可以导出G(s)的右MFD为,由此可以导出G(s)的
5、左右MFD为,2 MFD的特性 (1) MFD的实质 类似于SISO线性时不变系统的传递函数的分式化表示,,MIMO线性时不变系统的传递函数矩阵的MFD G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = Dl-1(s)Nl(s) 实质上,上式也属于G(s)的分式化表示。因此,称Dr(s)、Dl(s)为G(s)的分母矩阵,Nr(s)、Nl(s)为G(s)的分子矩阵。,(2) MFD的次数 对传递函数矩阵G(s)的一个右MFD,规定 Nr(s)Dr-1(s) 的次数 = deg det Dr(s) (7 4) 对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD,规定 Dl-1(s)Nl(s) 的次数 = deg de
6、t Dl(s) (7 5) 注:对于同一个G(s),其右MFD的次数和左MFD的次数一般不相等。,(3) MFD的不惟一性 对传递函数矩阵G(s),其右MFD和左MFD 不惟一,且不同的MFD可能具有不同的次数。,解 G(s)的两个MFD为,【例7-2】给定22传递函数矩阵G(s)为,并且可求出deg detD1r(s) = 6,deg detD2r(s) = 5。 两右MFD的次数是不等的。,对于传递函数矩阵G(s)的MFD,无论是右MFD还是左MFD,表征其结构特征的两个基本特性为真性(严真性)和不可简约性。,3 真性(严真性)有理矩阵定理 定理7-1 设G(s) 是 rm 阶真性(严真性
7、)有理矩阵, G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = Dl-1(s)Nl(s),则,【例7-3】真有理矩阵G(s) = Nr(s)Dr-1(s),其多项式矩阵Nr(s) 、Dr(s)如下,从两个多项式矩阵可知, c1Nr(s) = 2 c1Dr(s) = 2 c2Nr(s) = 2 c2Dr(s) = 3,注意:上述定理的逆命题并不成立,下面是一个说明这个问题的实例。,【例7-4】矩阵 G(s) = Nr(s)Dr-1(s),多项式矩阵Nr(s) 、Dr(s)如下,解 由两个多项式矩阵可知, cjNr(s) cjDr(s) , j =1, 2 但是,G(s) = Nr(s)Dr-1(s)
8、= -2s1 2s2-s+1 却是多项式矩阵,既不是真有理矩阵,更不是严格真有理矩阵。,定理7-2 设Nr(s)和Dr(s) 是rm和 mm 阶多项式矩阵,且Dr(s) 是列既约的,则有理矩阵 Nr(s)Dr-1(s)是真性(严真性)有理矩阵的充要条件是,定理7-3 每一个非奇异多项式方阵M(s)都可以通过单模矩阵Ur(s)或Ul(s)将其变换成列既约矩阵M(s)Ur(s)或行既约矩阵Ul(s)M(s)。(祥见上一章),定理7-4 (多项式矩阵除法定理)设Nr(s)和Dr(s)是两个rm和mm阶多项式矩阵,且Dr(s)非奇异,则存在唯一的rm阶多项式矩阵Qr(s)和R(s)使得 Nr(s) =
9、 Qr(s)Dr(s) + R(s) (7-31) 且 R(s)Dr-1(s) 是严真性有理矩阵,或者说在Dr(s)为列既约条件下 cj R(s) cj Dr(s), j=1,2,m (7-32),定理7-4的对偶定理 设Nl(s)和Dl(s)是两个rm和rr阶多项式矩阵,且Dl(s)非奇异,则存在唯一的 rm 阶多项式矩阵Ql(s)和L(s)使得 Nl(s) = Dl(s)Ql(s) + L(s) (7-33) 且 Dl-1(s)L(s) 是严真性有理矩阵,或者说在Dl(s)是行既约的条件下,有 ri L(s) ri Dl(s) , i = 1,2,r (7-34),4 既约矩阵分式,定理7
10、-5 设rm 阶真有理矩阵具有右互质矩阵分式 G(s) = Nr(s) Dr-1(s),则存在非奇异 m 阶多项式方阵T(s)将其变换成另外一个右矩阵分式, 右互质矩阵分式 设Nr(s)和Dr(s)是右互质的,则 rm阶真性有理矩阵G(s) = Nr(s)Dr-1(s)为右互质矩阵分式。, 左互质矩阵分式 设Nl(s)和Dl(s)是左互质的,则 rm 阶真有理矩阵G(s) = Dl-1(s)Nl(s) 为左互质矩阵分式。,上述定理对于左互质矩阵分式 G(s) = Dl-1(s)Nl(s)原则上也是适用的,不过应将变换矩阵T(s)改为左乘。,7-2 规范矩阵分式描述 传递函数矩阵G(s)的MFD
11、具有不惟一属性,可能给某些问题的分析带来困难。传递函数矩阵的MFD惟一化的途径是对MFD分母矩阵限定为规范型,从而得到规范MFD。本节简单讨论埃米特(Hermite)型MFD和波波夫(Popov)型MFD 。,1 Hermite型MFD 定义7-1 列Hermite型MFD 对于qp传递函数矩阵G(s)的右MFD,G(s) = Nrh(s)Drh-1(s), 如果pp分母矩阵Drh(s)具有列Hermite型:,其中, 对角元dii(s)为首1多项式,i = 1, 2, , p。 当dii(s)为含s多项式,满足关系式deg dii(s)deg dij(s),j=1, 2, , i-1。 当d
12、ii(s) = 1,满足关系式 dij(s) = 0,j=1, 2, , i-1 。 则称Nrh(s)Drh-1(s)为G(s)的列Hermite型MFD。,定义7-2 行Hermite型MFD 对于qp传递函数矩阵G(s)的左MFD,G(s) = Dlh-1(s)Nlh(s) , 如果qq分母矩阵Dlh(s)具有行Hermite型:,其中, 对角元dii(s)为首1多项式,i = 1, 2, , q。 当dii(s)为含s多项式,满足关系式deg dii(s)deg dji(s),j=1, 2, , i-1。 当dii(s) = 1,满足关系式 dji(s) = 0,j=1, 2, , i-
13、1 。 则称Nrh(s)Drh-1(s)为G(s)的列Hermite型MFD。,Hermite型MFD的惟一性 对qp传递函数矩阵G(s),其所有不可简约右MFD均具有相同列Hermite型MFD Nrh(s)Drh-1(s),其所有不可简约左MFD均具有相同行Hermite型MFD Nlh(s)Dlh-1(s)。,证明 略。,2 Popov型MFD 对qp传递函数矩阵G(s),给出Popov型右MFD和Popov型左MFD的定义。,定义7-3 Popov型MFD 对于qp传递函数矩阵G(s)的MFD,G(s) = NrE(s)DrE-1(s) = DlE-1(s)NlE(s) 。如果pp分母
14、矩阵DrE(s)具有Popov型,则称NrE(s)DrE-1(s)为G(s)的Popov型右MFD;如果qq分母矩阵DlE(s)具有Popov型,则称NlE(s)DlE-1(s)为G(s)的Popov型左MFD 。,Popov型MFD的惟一性 对qp传递函数矩阵G(s),其所有不可简约右MFD均具有相同Popov型右MFD NrE(s)DrE-1(s),其所有不可简约左MFD均具有相同Popov型左MFD NlE(s)DlE-1(s)。,证明 略。,7-3 史密斯-麦可米伦型 史密斯-麦可米伦(Smith-McMillan)型是有理分式矩阵的一种重要规范型。由B. McMillan于1952年
15、在推广多项式矩阵的Smith型基础上提出。它是分析传递函数矩阵的极点和零点的重要的概念性和理论性工具。,1 Smith-McMillan型的定义 定义7-4 Smith-McMillan型的定义:当且仅当秩为r的qp有理分式矩阵M(s)具有如下形式:,其中, i(s), i(s)为互质, i=1, 2, , r ; 满足整除性i+1(s)| i(s)和i(s)|i+1(s)为,i=1, 2, , r-1。 则称该M(s)为Smith-McMillan型。,2 Smith-McMillan型构造原理 对于qp有理分式矩阵G(s),设 r = Rank G(s) minq, p 则必存在qq和pp
16、单模阵U(s)、V(s),使得变换后传递函数矩阵U(s)G(s)V(s)为Smith-McMillan型。,【例7-5】导出下列22严格真有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型。,解 首先定出G(s)各元有理分式最小公分母d(s)和相应分子多项式矩阵N(s),有,进而,取单模阵对U(s)、V(s),,化N(s)为Smith型,最后,将上式两边乘以1/d(s),可以导出,消去上式中各对角元有理分式的公因子,就得到G(s)的Smith-McMillan型,并且可以看出,本例得到的Smith-McMillan型M(s)不再保持为严格真。,3 Smith-McMillan型的基本特性,(
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