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第七章 传递函数矩阵的矩阵分式描述与结构特性,引言,传递函数矩阵的矩阵分式描述（MFD, Matrix Fraction Description）是复频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。本章前半部分将对MFD做较为系统和全面的讨论，主要内容包括MFD的形式、构成、真性、严真性和不可简约性等。 本章后半部分讨论传递函数矩阵的结构特性，它是复频域分析和综合的基础。传递函数矩阵的结构特性由极点和零点的分布属性、极点和零点的不平衡属性表示： 极点和零点的分布属性：决定系统的稳定性和运动行为； 极点和零点的不平衡属性：反映系统的奇异特性和奇异程度。 其中，我们需要重点掌握的内容包括Smith-McMillan型、结构指数、极点和零点。,本章主要内容 矩阵分式描述 规范矩阵分式描述 埃米特型、波波夫型、史密斯-麦可米伦型MFD 传递函数矩阵的极点、零点和结构指数 传递函数矩阵的评价值（略） 传递函数矩阵的零空间和最小多项式基（略）,7.1 矩阵分式描述 MFD实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之“比”。MFD形式上则是对标量有理分式形式传递函数g(s)相应表示的一种自然推广。,1 右MFD和左MFD 考虑p维输入和q维输出的连续线性时不变系统，其输入输出关系的传递函数矩阵G(s)为q×p有理分式矩阵，其表示形式为,严格真有理矩阵：有理矩阵 G(s) 满足 G() = 0。 真有理矩阵：有理矩阵 G(s) 满足 G() = G0 (非零常数)。 考察G(s)是否为严格真有理矩阵或真有理矩阵，只要观察G(s)中的元素 gij(s) = nij(s)/dij(s) 是否有 deg nij(s) deg dij(s)。,数学上，对q×p有理分式矩阵G(s)，总能因式分解成： 右矩阵分式描述： G(s) = Nr(s)Dr-1(s) (6-2) 和 左矩阵分式描述： G(s) = Dl-1(s) Nl(s) 其中 右分母矩阵： p×p 阶方阵Dr(s)；右分子矩阵： q×p 阶矩阵Nr(s)； 左分母矩阵： q×q 阶方阵Dl(s)； 左分子矩阵： q×p 阶矩阵Nl(s)。,其中dci是G(s)中第i列元素的最小公分母；dri是G(s)中第i行元素的最小公分母。,例如，,【例7-1】给定2×3传递函数矩阵G(s)为,解 首先构造G(s) 的右MFD。为此，定出G(s)各列的最小公分母如下： dc1(s) = (s+2)(s+3)2 ， dc2(s) = (s+3)(s+4) ，dc3(s) = (s+1)(s+2),进而，构造G(s)的左MFD。为此，定出G(s)各行的最小公分母如下： dr1(s) = (s+2)(s+3)2 ， dr2(s) = (s+1)(s+3)(s+4),由此可以导出G(s)的右MFD为,由此可以导出G(s)的左右MFD为,2 MFD的特性 (1) MFD的实质 类似于SISO线性时不变系统的传递函数的分式化表示，,MIMO线性时不变系统的传递函数矩阵的MFD G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = Dl-1(s)Nl(s) 实质上，上式也属于G(s)的分式化表示。因此，称Dr(s)、Dl(s)为G(s)的分母矩阵，Nr(s)、Nl(s)为G(s)的分子矩阵。,(2) MFD的次数 对传递函数矩阵G(s)的一个右MFD，规定 Nr(s)Dr-1(s) 的次数 = deg det Dr(s) (7 4) 对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD，规定 Dl-1(s)Nl(s) 的次数 = deg det Dl(s) (7 5) 注：对于同一个G(s)，其右MFD的次数和左MFD的次数一般不相等。,(3) MFD的不惟一性 对传递函数矩阵G(s)，其右MFD和左MFD 不惟一，且不同的MFD可能具有不同的次数。,解 G(s)的两个MFD为,【例7-2】给定2×2传递函数矩阵G(s)为,并且可求出deg detD1r(s) = 6，deg detD2r(s) = 5。 两右MFD的次数是不等的。,对于传递函数矩阵G(s)的MFD，无论是右MFD还是左MFD，表征其结构特征的两个基本特性为真性（严真性）和不可简约性。,3 真性(严真性)有理矩阵定理 定理7-1 设G(s) 是 r×m 阶真性(严真性)有理矩阵， G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = Dl-1(s)Nl(s)，则,【例7-3】真有理矩阵G(s) = Nr(s)Dr-1(s)，其多项式矩阵Nr(s) 、Dr(s)如下,从两个多项式矩阵可知， c1Nr(s) = 2 c1Dr(s) = 2 c2Nr(s) = 2 c2Dr(s) = 3,注意：上述定理的逆命题并不成立，下面是一个说明这个问题的实例。,【例7-4】矩阵 G(s) = Nr(s)Dr-1(s)，多项式矩阵Nr(s) 、Dr(s)如下,解 由两个多项式矩阵可知， cjNr(s) cjDr(s) ， j =1, 2 但是，G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = -2s1 2s2-s+1 却是多项式矩阵，既不是真有理矩阵，更不是严格真有理矩阵。,定理7-2 设Nr(s)和Dr(s) 是r×m和 m×m 阶多项式矩阵，且Dr(s) 是列既约的，则有理矩阵 Nr(s)Dr-1(s)是真性(严真性)有理矩阵的充要条件是,定理7-3 每一个非奇异多项式方阵M(s)都可以通过单模矩阵Ur(s)或Ul(s)将其变换成列既约矩阵M(s)Ur(s)或行既约矩阵Ul(s)M(s)。（祥见上一章）,定理7-4 (多项式矩阵除法定理)设Nr(s)和Dr(s)是两个r×m和m×m阶多项式矩阵，且Dr(s)非奇异，则存在唯一的r×m阶多项式矩阵Qr(s)和R(s)使得 Nr(s) = Qr(s)Dr(s) + R(s) (7-31) 且 R(s)Dr-1(s) 是严真性有理矩阵，或者说在Dr(s)为列既约条件下 cj R(s) cj Dr(s), j=1,2,m (7-32),定理7-4的对偶定理 设Nl(s)和Dl(s)是两个r×m和r×r阶多项式矩阵，且Dl(s)非奇异，则存在唯一的 r×m 阶多项式矩阵Ql(s)和L(s)使得 Nl(s) = Dl(s)Ql(s) + L(s) (7-33) 且 Dl-1(s)L(s) 是严真性有理矩阵，或者说在Dl(s)是行既约的条件下，有 ri L(s) ri Dl(s) , i = 1,2,r (7-34),4 既约矩阵分式,定理7-5 设r×m 阶真有理矩阵具有右互质矩阵分式 G(s) = Nr(s) Dr-1(s)，则存在非奇异 m 阶多项式方阵T(s)将其变换成另外一个右矩阵分式, 右互质矩阵分式 设Nr(s)和Dr(s)是右互质的，则 r×m阶真性有理矩阵G(s) = Nr(s)Dr-1(s)为右互质矩阵分式。, 左互质矩阵分式 设Nl(s)和Dl(s)是左互质的，则 r×m 阶真有理矩阵G(s) = Dl-1(s)Nl(s) 为左互质矩阵分式。,上述定理对于左互质矩阵分式 G(s) = Dl-1(s)Nl(s)原则上也是适用的，不过应将变换矩阵T(s)改为左乘。,7-2 规范矩阵分式描述 传递函数矩阵G(s)的MFD具有不惟一属性，可能给某些问题的分析带来困难。传递函数矩阵的MFD惟一化的途径是对MFD分母矩阵限定为规范型，从而得到规范MFD。本节简单讨论埃米特（Hermite）型MFD和波波夫（Popov）型MFD 。,1 Hermite型MFD 定义7-1 列Hermite型MFD 对于q×p传递函数矩阵G(s)的右MFD，G(s) = Nrh(s)Drh-1(s)， 如果p×p分母矩阵Drh(s)具有列Hermite型：,其中， 对角元dii(s)为首1多项式，i = 1, 2, , p。 当dii(s)为含s多项式，满足关系式deg dii(s)deg dij(s)，j=1, 2, , i-1。 当dii(s) = 1，满足关系式 dij(s) = 0，j=1, 2, , i-1 。 则称Nrh(s)Drh-1(s)为G(s)的列Hermite型MFD。,定义7-2 行Hermite型MFD 对于q×p传递函数矩阵G(s)的左MFD，G(s) = Dlh-1(s)Nlh(s) ， 如果q×q分母矩阵Dlh(s)具有行Hermite型：,其中， 对角元dii(s)为首1多项式，i = 1, 2, , q。 当dii(s)为含s多项式，满足关系式deg dii(s)deg dji(s)，j=1, 2, , i-1。 当dii(s) = 1，满足关系式 dji(s) = 0，j=1, 2, , i-1 。 则称Nrh(s)Drh-1(s)为G(s)的列Hermite型MFD。,Hermite型MFD的惟一性 对q×p传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右MFD均具有相同列Hermite型MFD Nrh(s)Drh-1(s)，其所有不可简约左MFD均具有相同行Hermite型MFD Nlh(s)Dlh-1(s)。,证明 略。,2 Popov型MFD 对q×p传递函数矩阵G(s)，给出Popov型右MFD和Popov型左MFD的定义。,定义7-3 Popov型MFD 对于q×p传递函数矩阵G(s)的MFD，G(s) = NrE(s)DrE-1(s) = DlE-1(s)NlE(s) 。如果p×p分母矩阵DrE(s)具有Popov型，则称NrE(s)DrE-1(s)为G(s)的Popov型右MFD；如果q×q分母矩阵DlE(s)具有Popov型，则称NlE(s)DlE-1(s)为G(s)的Popov型左MFD 。,Popov型MFD的惟一性 对q×p传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右MFD均具有相同Popov型右MFD NrE(s)DrE-1(s)，其所有不可简约左MFD均具有相同Popov型左MFD NlE(s)DlE-1(s)。,证明 略。,7-3 史密斯-麦可米伦型 史密斯-麦可米伦（Smith-McMillan）型是有理分式矩阵的一种重要规范型。由B. McMillan于1952年在推广多项式矩阵的Smith型基础上提出。它是分析传递函数矩阵的极点和零点的重要的概念性和理论性工具。,1 Smith-McMillan型的定义 定义7-4 Smith-McMillan型的定义：当且仅当秩为r的q×p有理分式矩阵M(s)具有如下形式：,其中， i(s), i(s)为互质， i=1, 2, , r ； 满足整除性i+1(s)| i(s)和i(s)|i+1(s)为，i=1, 2, , r-1。 则称该M(s)为Smith-McMillan型。,2 Smith-McMillan型构造原理 对于q×p有理分式矩阵G(s)，设 r = Rank G(s) minq, p 则必存在q×q和p×p单模阵U(s)、V(s)，使得变换后传递函数矩阵U(s)G(s)V(s)为Smith-McMillan型。,【例7-5】导出下列2×2严格真有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型。,解 首先定出G(s)各元有理分式最小公分母d(s)和相应分子多项式矩阵N(s)，有,进而，取单模阵对U(s)、V(s)，,化N(s)为Smith型,最后，将上式两边乘以1/d(s)，可以导出,消去上式中各对角元有理分式的公因子，就得到G(s)的Smith-McMillan型,并且可以看出，本例得到的Smith-McMillan型M(s)不再保持为严格真。,3 Smith-McMillan型的基本特性,(1) Smith-McMillan型M(s)的惟一性： 有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型M(s)为惟一。,(4) 非奇异G(s)的属性： 对q×q非奇异有理分式矩阵G(s)，下列等式成立：,其中，为非零常数。,(3) Smith-McMillan型M(s)的非保真性： 严真性有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型M(s)不保持严真性，M(s)甚至可能为非真性。 注：导致M(s)非保真性的原因是，单模变换阵对U(s)，V(s)的引入，可能会在M(s)中附加引入乘子sk，k = 1, 2, 。如前例7-5。,(2) 将G(s)化成M(s)的单模阵对U(s)，V(s)不惟一性： 化有理分式矩阵G(s)为Smith-McMillan型M(s)的单模阵对U(s)，V(s)不惟一。,(5) M(s)的MFD表示： 对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型M(s)为,则可将M(s)表示为右MFD， M(s) = Er(s)r-1(s) (7-65),如若引入,如若引入,则可将M(s)表示为左MFD， M(s) = l-1(s)El(s) (7-67),(6) G(s)基于Smith-McMillan型M(s)的不可简约MFD： 对q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型为M(s)，单模变换阵对为U(s)，V(s)，M(s)的右MFD和左MFD为 M(s) = Er(s)r-1(s) 和 M(s) = l-1(s)El(s) 若取 Nr(s) = U-1(s)Er(s) ， Dr(s) = V(s)r(s) (7-68) 则Nr(s)Dr-1(s)为G(s)的不可简约右MFD。若取 Nl(s) = El(s)V-1(s) ， Dl(s) = l(s)U(s) (7-69) 则Dl-1(s)Nl(s)为G(s)的不可简约左MFD。 证明 （略）,7-4 传递函数矩阵的极点、零点和结构指数 MIMO线性时不变系统的极点、零点按复平面上分布区域可区分为有限极点零点和无穷远处极点零点。,基于以上描述，罗森布罗可（H. H. Rosenbrock）在20世纪70年代对传递函数矩阵的有限极点和有限零点给出如下定义。,1 传递函数矩阵的有限极点和有限零点 (1) 有限极点零点Rosenbrock 定义（基本定义） 考虑q×p传递函数矩阵G(s)， r = Rank G(s) minq, p，导出其Smith-McMillan型为M(s)为,定义7-5 有限极点零点Rosenbrock 定义对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，基于式（7-70）给出的Smith-McMillan型M(s)，有 G(s)有限极点 = “M(s)中 i(s) = 0 根， i=1, 2, , r ” (7-71) G(s)有限零点 = “M(s)中 i(s) = 0 根， i=1, 2, , r ” (7-72),解 例7-5中已经定出G(s)的Smith-McMillan型M(s)为,【例7-6】定出下述2×2传递函数矩阵G(s)的有限极点和有限零点，,基于此，并根据Rosenbrock 定义，就可定出， G(s)有限极点：s = -1 (二重)， s = -2 (三重) G(s)有限零点： s = 0 (三重),关于G(s)有限极点零点的Rosenbrock定义的说明： 适用性：Rosenbrock定义只适用于传递函数矩阵G(s)在有限复数平面上的极、零点，不适用于G(s)在无穷远处的极、零点。 由于在化G(s)为Smith-McMillan型M(s) 的过程中，引入的单模变换可能使严真G(s)对应的M(s)为非真，这说明M(s)在无穷远处的极点/零点一般不能代表G(s)在无穷远处的极点/零点。 G(s)极点、零点分布的特点：与SISO线性定常系统的标量传递函数g(s)不同，MIMO线性定常系统的传递函数矩阵G(s)的极点、零点可位于复平面上的同一位置上而不构成对消。,(2) 有限极点零点的推论性定义1 对q×p传递函数矩阵G(s)，设 r = Rank G(s) minq, p (7-73) 表Nr(s)Dr-1(s)和Dl-1(s)Nl(s)为G(s)任一不可简约右MFD和任一不可简约左MFD，则 G(s)有限极点 = “detDr(s) = 0 根”或“detDl(s) = 0 根” (7-74) G(s)有限零点 = “Rank Nr(s) r 的s值”或“Rank Nl(s) r 的s值” (7-75),【例7-7】定出2×2传递函数矩阵G(s)= Nr(s)Dr-1(s) ，Rank G(s)=2的有限极、零点，其中,解 首先，由右互质性判据容易判断，Dr(s), Nr(s)为右互质，即Nr(s)Dr-1(s)为G(s)的一个不可简约右MFD。 进而，运用有限极点零点的推论性定义1，就可定出,G(s)有限极点 = “detDr(s) = s3(-s+1) = 0 根” = “s = 0 (三重)， s = 1” G(s)有限零点 = “Rank Nr(s) 2 的s值” = “s = 0，s = -1”,(3) 有限极点零点的推论性定义2 对q×p严格真传递函数矩阵G(s)，设其外部等价的任一状态空间描述为A n×n, B n×n, C n×n，A，B完全可控， A，C完全可观测，则有 G(s)有限极点 = “det(sI - A) = 0 根” (7-76) G(s)有限零点 = 使 降秩的s值 (7-77) 证 略,(4) 对零点的直观解释 从物理角度看，极点决定系统输出运动组成分量的模式，零点反映系统对与零点关联的一类输入函数具有阻塞性。零点的直观解释如下：,对q×p严格真传递函数矩阵G(s)，表其所属线性时不变系统的一个可控和可观测状态空间描述为A，B，C，z0为G(s)的任一零点，则对满足关系式：,的所有非零初始状态x0和所有非零常向量u0，系统输出对形如,的一类输入向量函数具有阻塞作用，即其所引起的系统强制输出y(t) 0。,2 传递函数矩阵的结构指数 传递函数矩阵的结构指数用来为传递函数矩阵的极点和零点及其重数提供统一的表示方法。结构指数有助于直观和完整地表征位于复数平面同一位置的极点和零点不对消的特点。另外，结构指数也用于研究传递函数矩阵的奇异性。,(1) 结构指数的定义 定义7-6 对q×p传递函数矩阵G(s)， r = Rank G(s) minq, p，表 Spz = G(s)的有限极点和有限零点的集合 (7-90) 那么，若对任一k Spz导出对应的r×r对角阵：,则称1(k), , r(k)为G(s)在 s = k 的一组结构指数。,【例7-8】定出下面2×2传递函数矩阵G(s)在各个极点零点处的结构指数。,解 容易判断，r = Rank G(s) = 2，并且在例7-5中已经定出G(s)的Smith-McMillan型为,基于此，有 G(s)极点和零点集合 Spz = -2， -1，0 进而，直接由Smith-McMillan型M(s)，即可定出 G(s)在“s = -2” 结构指数 1(-2) ，2(-2) = -2，-1 G(s)在“s = -1” 结构指数 1(-1) ，2(-1) = -2， 0 G(s)在“s = 0” 结构指数 1(0) ，2(0) = 1， 2,(2) 对结构指数的讨论 对传递函数矩阵G(s)引入结构指数，可以用统一的形式表征G(s)的极点和零点，以及它们的重数，使对极点和零点的研究置于更为一般的框架内。,结构指数的含义： 给定G(s)在 s = k 的结构指数组1(k), , r(k)，对i(k)，有 i(k) = 正整数 G(s) 在 s = k 有i(k)个零点 (7-92) i(k) = 负整数 G(s) 在 s = k 有| i(k)|个极点 (7-93) i(k) = 零 G(s) 在 s = k 无极点和零点 (7-94),采用结构指数确定G(s)极点和零点的重数： 给定G(s)在 s = k 的结构指数组1(k), , r(k)，则有 G(s) 在“s = k ”极点重数 = 1(k), , r(k)中负指数之和的绝对值 (7-95) G(s) 在“s = k ”零点重数 = 1(k), , r(k)中正指数之和 (7-96),非极点零点处的结构指数： 传递函数矩阵G(s)在非极点零点处的结构指数必恒为0。即，给定G(s) ，若 Spz为任意有限值，则有 i() = 0，i = 1, 2, , r (7-97),基于结构指数的Smith-McMillan型表达式 对q×p传递函数矩阵G(s)，设 r = Rank G(s) minq, p，表 G(s)极点零点集合 Spz = 1，2 ， n (7-98) G(s)在 s = k 的结构指数组1(k), , r(k) (7-99),则可表G(s)的Smith-McMillan型M(s)为,结论表明，一旦定出G(s)的各个极点零点及结构指数组，就可由式(7-101)定出G(s)的Smith-McMillan型M(s)。,3 传递函数矩阵在无穷远处的极点和零点 传递函数矩阵G(s)在无穷远处的极点反映系统的非真性，在无穷远处的零点是研究MIMO系统根轨迹渐近行为的基础。,(1) 无穷远处的极点和零点 对q×p传递函数矩阵G(s)，r = Rank G(s) minq, p， 则直接基于G(s)的Smith-McMillan型M(s)不能定义G(s)在无穷远处的极点和零点。这是因为， G(s)导出M(s)的单模变换，可能使G(s)导致非真，或增加非真程度，即可能对G(s)引入附加无穷远处极零点。,确定G(s)在“s = ”处极点零点的思路： 对q×p传递函数矩阵G(s)，确定G(s)在无穷远处的极点和零点的思路是，对G(s)引入变换 s = -1使化为G(-1)，再进而化成以 为变量的有理分式矩阵H()，则有 G(s) 在“s = ”处极点 / 零点 = H()在“ = 0”处极点 / 零点 (7-102),“s = ”处极点零点的确定：,对q×p传递函数矩阵G(s)，设 r = Rank G(s) minq, p 再基于变换s = -1，由G(s)导出H()，且有 r = Rank H() minq, p 现引入q×q 和 p×p 单模阵 导出H()的Smith-McMillan型 ：,则有，,【例7-9】定出下面3×3传递函数矩阵G(s)在s = 处的极点零点。,解 首先，基于变换s = -1，导出G(-1)，再表示成以为变量的有理分式矩阵H()，见下式,进而，定出H()的Smith-McMillan型：,由此可以定出 G(s) 在“s = ”处极点重数 = 2 G(s) 在“s = ”处零点重数 = 1,(2) 在“s = ”处的结构指数 同样，结构指数也可用于统一表征传递函数矩阵G(s)在无穷远处的极点和零点。,在 s = 处极点零点的结构指数： 对q×p传递函数矩阵G(s)，设 r = Rank G(s) minq, p 则据G(s)在 s = 处极点零点的定义式(7-104)和(7-105)，有,在 s = 处极点零点的重数： 对q×p传递函数矩阵G(s)，设 r = Rank G(s) minq, p 再表 在 = 0 处结构指数为 ，则有,【例7-10】定出下面3×3传递函数矩阵G(s)在s = 处的结构指数和在s = 处的极点零点重数。,解 在例7-9中，已经导出,从而，即可得到G(s)在s = 处结构指数为,进而，又可定出G(s) 在s = 处极点零点重数 G(s) 在“s = ”处极点重数 = | 1() | = |-2| = 2 G(s) 在“s = ”处零点重数 = 3() = 1,