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1、(四)立体几何(四)立体几何 1 (2018峨眉山市第七教育发展联盟模拟)如图, 在四棱锥PABCD中, 平面PAB平面ABCD, PBPA,PBPA,DABABC90,ADBC,AB8,BC6,CD10,M是PA的中点 (1)求证:BM平面PCD; (2)求三棱锥BCDM的体积 (1)证明 取PD中点N,连接MN,NC, MN为PAD的中位线, MNAD,且MNAD. 1 2 又BCAD,且BCAD, 1 2 MNBC,且MNBC,则BMNC为平行四边形, BMNC, 又NC平面PCD,MB平面PCD, BM平面PCD. (2)解 过M作AB的垂线,垂足为M, 又平面PAB平面ABCD, 平
2、面PAB平面ABCDAB,MM平面PAB, MM平面ABCD. MM为三棱锥MBCD 的高, AB8,PAPB,BPA90, PAB边AB上的高为 4, MM2,过C作CHAD交AD于点H, 则CHAB8, SBCD BCCH 6824, 1 2 1 2 VBCDMVMBCDSBCDMM 24216. 1 3 1 3 2.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE 与棱PD交于点F. (1)求证:ABEF; (2)若AFEF,求证:平面PAD平面ABCD. 证明 (1)因为四边形ABCD是矩形, 所以ABCD. 又AB平面PDC,CD平面PDC,
3、 所以AB平面PDC, 又因为AB平面ABE,平面ABE平面PDCEF, 所以ABEF. (2)因为四边形ABCD是矩形, 所以ABAD. 因为AFEF,(1)中已证ABEF, 所以ABAF. 由点E在棱PC上(异于点C),所以点F异于点D, 所以AFADA,AF,AD平面PAD, 所以AB平面PAD, 又AB平面ABCD, 所以平面PAD平面ABCD. 3(2018安徽省合肥市第一中学模拟)在如图所示的几何体ACBFE中,ABBC,AEEC,D 为AC的中点,EFDB. (1)求证:ACFB; (2)若ABBC,AB4,AE3,BF,BD2EF,求该几何体的体积3 (1)证明 EFBD, E
4、F与BD确定平面EFBD,连接DE, AEEC,D为AC的中点, DEAC.同理可得BDAC, 又BDDED,BD,DE平面EFBD, AC平面EFBD, FB平面EFBD,ACFB. (2)解 由(1)可知AC平面BDEF, VACBFEVABDEFVCBDEF SBDEFAC, 1 3 ABBC,ABBC,AB4, AC4,BD2,22 又AE3,DE1.AE2AD2 在梯形BDEF中,取BD的中点M,连接MF, 则EFDM且EFDM, 四边形FMDE为平行四边形, FMDE且FMDE.又BF,3 BF2FM2BM2, FMBM,S梯形BDEF 1, 1 2 (22 2) 3 2 2 VA
5、CBFE 44. 1 3 3 2 2 2 4.在如图所示的几何体中,EA平面ABCD, 四边形ABCD为等腰梯形,ADBC,ADBC,AD1, 1 2 ABC60,EFAC,EFAC. 1 2 (1)证明:ABCF; (2)若多面体ABCDFE的体积为,求线段CF的长 3 3 8 (1)证明 EA平面ABCD,AB平面ABCD, EAAB, 作AHBC于点H, 在 RtABH中,ABH60,BH ,得AB1, 1 2 在ABC中,AC2AB2BC22ABBCcos 603, AB2AC2BC2, ABAC. 又ACEAA,AC,EA平面ACFE, AB平面ACFE, 又CF平面ACFE,ABC
6、F. (2)解 设AEa,作DGAC于点G, 由题意可知平面ACFE平面ABCD, 又平面ACFE平面ABCDAC,DG平面ABCD, DG平面ACFE,且DG , 1 2 又VBACFES梯形ACFEAB 1 3 a1a, 1 3 1 2( 3 2 3 ) 3 4 VDACFES梯形ACFEDG 1 3 a a, 1 3 1 2( 3 2 3 ) 1 2 3 8 V多面体ABCDFEVBACFEVDACFE a, 3 3 8 3 3 8 得a1.连接FG,则FGAC, CF.FG2CG21( 3 2) 2 7 2 5如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC,ADC90,平
7、面PAD 底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PAPD,BCAD. 1 2 (1)求证:平面PQB平面PAD; (2)若三棱锥ABMQ的体积是四棱锥PABCD体积的 ,设PMtMC,试确定t的值 1 6 (1)证明 ADBC,BCAD,Q为AD的中点, 1 2 QDBC且QDBC, 四边形BCDQ为平行四边形, CDBQ. ADC90,AQB90,即QBAD. 又平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCDAD,BQ平面ABCD, BQ平面PAD, BQ平面PQB,平面PQB平面PAD. (2)解 PAPD,Q为AD的中点, PQAD, 平面PAD平面ABCD, 且平面PAD平
8、面ABCDAD,PQ平面PAD, PQ平面ABCD. 设PQh,梯形ABCD的面积为S,则三角形ABQ的面积为S, 1 3 VPABCDSh. 1 3 又设M到平面ABCD的距离为h, 则VABQMVMABQ Sh, 1 3 1 3 根据题意 Sh Sh, 1 3 1 3 1 6 1 3 hh,故 , 1 2 MC PC h h 1 2 M为PC的中点, t1. 6 (2018四川省成都市第七中学诊断)在多面体ABCDEF中, 底面ABCD是梯形, 四边形ADEF 是正方形,ABDC,CDAD,平面ABCD平面ADEF,ABAD1,CD2. (1)求证:平面EBC平面EBD; (2)设M为线段
9、EC上一点, 3, 试问在线段BC上是否存在一点T, 使得MT平面BDE?EM EC 若存在,试指出点T的位置;若不存在,说明理由; (3)在(2)的条件下,求点A到平面MBC的距离 (1)证明 因为平面ABCD平面ADEF, 平面ABCD平面ADEFAD, EDAD,ED平面ADEF, ED平面ABCD, 又BC平面ABCD, EDBC. 过B作BHCD交CD于点H. 故四边形ABHD是正方形, 所以ADB45. 在BCH中,BHCH1, BCH45,BC,2 又BDC45,DBC90,BCBD. BDEDD,BD,ED平面EBD, BC平面EBD,BC平面EBC, 平面EBC平面EBD. (2)解 在线段BC上存在点T,使得MT平面BDE. 在线段BC上取点T,使得 3,连接MT.BT BC 在EBC中, , BT BC EM EC 1 3 CMTCEB,所以MTEB, 又MT平面BDE,EB平面BDE, MT平面BDE. (3)解 点A到平面MBC的距离就是点A到平面EBC的距离, 设点A到平面EBC的距离为h, 由(1)得BCEB,BE,BC,32 利用等积法,可得VAEBCVEABC, 即 h 1 1sin 135, 1 3 1 2 32 1 3 1 2 2 解得h. 6 6
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