高中数学竞赛标准讲义:第四章:几个初等函数的性质.pdf
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1、高中数学竞赛标准讲义:第四章:几个初等函数的性质 一、基础知识 1指数函数及其性质: 形如 y=a x(a0, a 1)的函数叫做指数函数, 其定义域为 R,值域为(0, +),当 01 时,y=ax为增函数,它的图象恒过定点 (0,1)。 2分数指数幂: nm n m n nnm n m nn a a a aaaaa 1 , 1 , 1 。 3对数函数及其性质: 形如 y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数, 其定义域为 (0,+), 值域为 R,图象过定点( 1,0)。当 01 时,y=logax 为增函数。 4对数的性质( M0, N0); 1)a x=M x=logaM(a0
2、, a1); 2)loga(MN)= loga M+ logaN; 3)loga( N M )= loga M- logaN;4)loga M n=n log a M;, 5)loga n M = n 1 loga M;6)a loga M =M; 7) logab= a b c c log log (a,b,c0, a, c1). 5. 函数 y=x+ x a (a0)的单调递增区间是a,和,a,单调递减区间为0 ,a和 a,0。(请读者自己用定义证明) 6连续函数的性质:若a0. 【证明】设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1),则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要
3、证原不等式成立,只需证f(-1)0 且 f(1)0(因为 -10, f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0, 所以 f(a)0,即 ab+bc+ca+10. 例 2 (柯西不等式) 若 a1, a2,an是不全为 0 的实数,b1, b2,bnR, 则 ( n i i a 1 2 ) ( n i i b 1 2 ) ( n i iib a 1 ) 2,等号当且仅当存在 R,使 ai= i b , i=1, 2, , n 时成立。 【证明】令 f(x)= ( n i i a 1 2 )x2-2( n i ii ba 1 )x+ n i i b 1 2 = n i ii bxa 1 2
4、 )(, 因为 n i i a 1 2 0,且对任意 xR, f(x)0, 所以 =4( n i iib a 1 )-4( n i i a 1 2 )( n i i b 1 2 )0. 展开得( n i i a 1 2 )( n i i b 1 2 )( n i iib a 1 ) 2。 等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在,使 ai= i b , i=1, 2, , n。 例 3 设 x, yR +, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2,求 u= y y x x 11 的最小值。 【解】 u= y y x x 11 =xy+ xyx y y x1 xy+ xy 1 +2 x y
5、 y x =xy+ xy 1 +2. 令 xy=t,则 00,所以 p q =. 2 51 例 5 对于正整数 a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w,若 ax=by=cz=70w,且 wzyx 1111 ,求证: a+b=c. 【证明】由 ax=by=cz=70w取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以 w 1 lga= x 1 lg70, w 1 lgb= y 1 lg70, w 1 lgc= z 1 lg70, 相加得 w 1 (lga+lgb+lgc)= zyx 111 lg70,由题设 wzyx 1111 , 所以 lga+lgb+lgc=lg70
6、,所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=257. 若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以a1. 又 abc,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 c2=(ac)logab. 【证明】由题设 logax+logcx=2logbx,化为以 a 为底的对数,得 b x c x x a a a a a log log2 log log log, 因为 ac0, ac1,所以 logab=logacc 2
7、,所以 c2=(ac)logab. 注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。 3指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调 性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 解方程: 3x+4 x +5 x =6 x. 【解】方程可化为 xxx 6 5 3 2 2 1 =1。设 f(x)= xxx 6 5 3 2 2 1 , 则 f(x)在(-,+) 上是减函数,因为f(3)=1,所以方程只有一个解x=3. 例 8 解方程组: 3 12 xy yx yx yx (其中 x, yR +). 【解】两边取对数,则原方程组可化为
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