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高中数学竞赛标准讲义：第四章：几个初等函数的性质 一、基础知识 1指数函数及其性质： 形如 y=a x(a0, a 1)的函数叫做指数函数， 其定义域为 R，值域为（0， +），当 01 时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点 （0，1）。 2分数指数幂： nm n m n nnm n m nn a a a aaaaa 1 , 1 , 1 。 3对数函数及其性质： 形如 y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数， 其定义域为 （0，+）， 值域为 R，图象过定点（ 1，0）。当 01 时，y=logax 为增函数。 4对数的性质（ M0, N0）； 1）a x=M x=logaM(a0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ logaN； 3）loga（ N M ）= loga M- logaN；4）loga M n=n log a M；， 5）loga n M = n 1 loga M；6）a loga M =M; 7) logab= a b c c log log (a,b,c0, a, c1). 5. 函数 y=x+ x a （a0）的单调递增区间是a,和,a，单调递减区间为0 ,a和 a,0。（请读者自己用定义证明） 6连续函数的性质：若a0. 【证明】设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0 且 f(1)0（因为 -10， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0， 所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10. 例 2 （柯西不等式） 若 a1, a2,an是不全为 0 的实数，b1, b2,bnR， 则 （ n i i a 1 2 ） · （ n i i b 1 2 ） ( n i iib a 1 ) 2，等号当且仅当存在 R，使 ai= i b , i=1, 2, , n 时成立。 【证明】令 f(x)= （ n i i a 1 2 ）x2-2( n i ii ba 1 )x+ n i i b 1 2 = n i ii bxa 1 2 )(, 因为 n i i a 1 2 0，且对任意 xR, f(x)0， 所以 =4( n i iib a 1 )-4（ n i i a 1 2 ）( n i i b 1 2 )0. 展开得（ n i i a 1 2 ）( n i i b 1 2 )( n i iib a 1 ) 2。 等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在，使 ai= i b , i=1, 2, , n。 例 3 设 x, yR +, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u= y y x x 11 的最小值。 【解】 u= y y x x 11 =xy+ xyx y y x1 xy+ xy 1 +2· x y y x =xy+ xy 1 +2. 令 xy=t，则 00，所以 p q =. 2 51 例 5 对于正整数 a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且 wzyx 1111 ，求证： a+b=c. 【证明】由 ax=by=cz=70w取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以 w 1 lga= x 1 lg70, w 1 lgb= y 1 lg70, w 1 lgc= z 1 lg70， 相加得 w 1 (lga+lgb+lgc)= zyx 111 lg70，由题设 wzyx 1111 ， 所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以a1. 又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab. 【证明】由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得 b x c x x a a a a a log log2 log log log， 因为 ac0, ac1，所以 logab=logacc 2，所以 c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调 性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 解方程： 3x+4 x +5 x =6 x. 【解】方程可化为 xxx 6 5 3 2 2 1 =1。设 f(x)= xxx 6 5 3 2 2 1 , 则 f(x)在(-,+) 上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3. 例 8 解方程组： 3 12 xy yx yx yx （其中 x, yR +）. 【解】两边取对数，则原方程组可化为. 3lg)( lg12lg)( glxyyx yxyx 把代入得 (x+y)2lgx=36lgx，所以 (x+y) 2-36lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1，由(x+y) 2-36=0(x, yR+)得 x+y=6， 代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0. 又 y0，所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 2 4 ; 1 1 2 2 1 1 y x y x . 例 9 已知 a0, a1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。 【解】由对数性质知，原方程的解x 应满足 0 0 )( 22 222 ax akx axakx . 若、同时成立，则必成立， 故只需解 0 )( 222 akx axakx . 由可得 2kx=a(1+k2)， 当 k=0 时，无解；当 k0 时，的解是 x= k ka 2 )1( 2 ，代入得 k k 2 1 2 k. 若 k1，所以 k0，则 k20 且 a1，比较大小： |loga(1-b)|_| loga(1+b). 7已知 f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数 y=f(x) 2+f(x2)的值域为 _。 8若 x= 3 1 log 1 3 1 log 1 5 1 2 1 ，则与 x 最接近的整数是 _。 9函数 xx y 1 1 1 1 log 2 1 的单调递增区间是 _。 10函数 f(x)=2, 2 3 52 1 2 x xx x 的值域为 _。 11设 f(x)=lg1+2 x+3 x +(n-1) x +n x·a，其中 n 为给定正整数 , n2, aR.若 f(x)在 x(- ,1时有意义，求 a 的取值范围。 12当 a 为何值时，方程 )lg( 2lg ax x =2 有一解，二解，无解？ 四、高考水平训练题 1函数 f(x)=1 8 x +lg(x 2-1)的定义域是 _. 2已知不等式 x 2-log mx0 且 a1，比较大小： |loga(1-b)| _|loga(1+b)|. 7已知 f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数 y=f(x) 2+f(x2)的值域为 _. 8若 x= 3 1 log 1 3 1 log 1 5 1 2 1 ，则与 x 最接近的整数是 _. 9函数 y= xx1 1 1 1 log 2 1 的单调递增区间是 _. 10函数 f(x)=2, 2 3 52 1 2 x xx x 的值域为 _. 11设 f(x)=lg1+2 x+3 x +(n-1) x +n x·a，其中 n 为给定正整数， n2,aR。若 f(x) 在 x (-,1时有意义，求 a 的取值范围。 12当 a 为何值时，方程 )lg( 2lg ax x =2 有一解，二解，无解？ 四、高考水平训练题 1函数 f(x)=1 8 x +lg(x 2-1)的定义域是 _. 2已知不等式 x 2-log mx10, y10, xy=1000，则(lgx)·(lgy)的取值范围是 _. 7若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k 的取值范围是 _. 8函数 f(x)= 10 1|1|lg| x xx 的定义域为 R，若关于 x 的方程 f-2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同 的实数解，则 b, c 应满足的充要条件是 _. （1）b0；（2）b0 且 c0且 a1, f(x)=loga(x+1 2 x)(x1)，（1） 求 f(x)的反函数 f -1(x)； （2） 若 f -1(n) x1 x2 x30，都有 log 1 0 x x 1993+ log 2 10 x x 1993+ log 3 2 x x 1993 klog 3 0 x x 1993恒成 立，则 k 的最大值为 _. 3实数 x, y 满足 4x 2-5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则 minmax 11 SS 的值为 _. 4已知 00 的解集为 _. 9已知 a1, b1，且 lg(a+b)=lga+lgb，求 lg(a-1)+lg(b-1). 10（1）试画出由方程 2 1 2lg )2(log)2lg()6lg( 10 1 y xxx 所确定的函数 y=f(x)图象。 （2）若函数 y=ax+ 2 1 与 y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a 的取值范围。 11对于任意 nN+(n1)，试证明： n+ 3 n+ n n=log2n+ log3n+lognn。 六、联赛二试水平训练题 1设 x, y, zR +且 x+y+z=1，求 u= 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 z zz y yy x xx 的最小值。 2 当 a 为何值时，不等式 log)15( 2 1 axx n · log5(x 2+ax+6)+log a30 有且只有一个解（a1 且 a1）。 3f(x)是定义在（ 1，+）上且在（ 1，+）中取值的函数，满足条件；对于任何x, y1 及 u, v0, f(x uyv)f(x) u4 1 f(y) v4 1 都成立，试确定所有这样的函数f(x). 4. 求所有函数 f：RR，使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)成立。 5设 m14 是一个整数，函数f：NN 定义如下： f(n)= 2 2 )13( 14 mnmnff mnmn , 求出所有的 m,使得 f(1995)=1995. 6求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, yQ. 7是否存在函数 f(n)，将自然数集 N 映为自身，且对每个n1, f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。 8设 p, q 是任意自然数，求证：存在这样的f(x) Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x 轴上的某个长为 q 1 的开区间中的每一个数x, 有. 1 )( 2 qq p xf 9设，为实数，求所有 f: R +R，使得对任意的 x,yR+, f(x)f(y)=y2·f 22 f fx x 成 立。