高考数学第一轮复习几何概型.pdf
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1、第 41 讲几何概型 - 1 - 1几何概型 设 D 是一个可度量的区域 (例如线段、平面图 形、立体图形等 ),每个基本事件可以视为从 区域 D 内随机地取一点, 区域 D 内的每一点 被取到的机会都一样;随机事件A 的发生可 以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点这时,事件A 发生的概率与 d 的测 度(长度、面积、体积等 )成正比,与 d 的形状 和位置无关把满足这样条件的概率模型称 为几何概型 2在几何概型中,事件A 的概率计算公式 P(A) d的测度 D的测度 . 3几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果 有无限多个; (2)等可能性:每个结
2、果的发生具有等可能性 【例 1】( 2014 湖南文 5)在区间 错误!未找到 引用源。 上随机选取一个数 错误!未找到引 用源。 ,则错误!未找到引用源。 的概率为 () 错误!未找到引用源。错误!未找到引 用源。错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。 【解析】 在错误!未找到引用源。 上符合错 误!未找到引用源。 的区间为 错误!未找到 引用源。 ,因为区间 错误!未找到引用源。 的 区间长度为 错误!未找到引用源。 且区间错 误!未找到引用源。 的区间长度为 错误!未 找到引用源。 ,所以根据几何概型的概率计算 公式可得 错误!未找到引用源。,故选 B. 【考点定位】几何概型 【名师
3、点睛】解几何概型的试题,一般先求 出实验的基本事件构成的区域长度(面积或 体积) ,再求出事件 错误!未找到引用源。 构 成的区域长度(面积或体积) ,最后代入几何 概型的概率公式即可 【拓展练习】 1(2009年高考福建 )点 A 为周 长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周 上随机取一点 B,则劣弧的长度小于 1 的 概率为 _ 【解析】 设事件M 为“劣弧的长度小于 1”,则满足事件 M 的点 B 可以在定点 A 的 两侧与定点 A 构成的弧长小于1 的弧上随机 取一点,由几何概型的概率公式得: P(M) 2 3. 【例 2】(2015 湖北理 7)在区间0, 1上 随机取两个数,x
4、 y,记 1 p为事件 “ 1 2 xy” 的 概率, 2 p为事件 “ 1 | 2 xy” 的概率, 3 p为事 件“ 1 2 xy ” 的概率,则() A 123 pppB 231 ppp C 312 pppD 321 ppp 【解析 】因为,0,1x y,对事件 “ 1 2 xy” , 如图( 1)阴影部分 1 S , 对事件 “ 1 | 2 xy” ,如图( 2)阴影部分 2 S , 对为事件 “ 1 2 xy” ,如图( 3)阴影部分3S, 由图知,阴影部分的面积从下到大依次是 132 SSS,正方形的面积为111, 根据几何概型公式可得 231 ppp. (1)(2)(3) 【考点
5、定位】几何概型 . 【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的 “ 测度 ” 要有正确的认识,它只与大小有关, 而与形状和位置无关,在解题时,要掌握“ 测 度” 为长度、面积、体积、角度等常见的几何 概型的求解方法 【思维升华】数形结合为几何概型问题的 要 点 梳 理 与长度、角度有关的几何概型 与面积、体积有关的几何考点剖析 第 41 讲几何概型 “功夫”文科第一轮复习资料 - 2 - 解决提供了简捷直观的方法用图解题的关 键:用图形准确表示出试验的全部结果所构 成的区域,由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式,在图形中画出事件A 发生的 区域,通用公式: P(A) 构成事件 A的区域的测度
6、 试验的全部结果所组成的区域的测度 . 【拓展练习】(2014辽宁文 6)若将一个质点 随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半 圆内的概率是() A错误!未找到引用源。B错误!未 找到引用源。C错误!未找到引用源。 D错误!未找到引用源。 【解析】设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事 件 A, 则 P(A) 阴影面积 长方形面积 1 21 2 1 2 4. 思维点拨求随机点所在区域与所有区域的 面积或体积比 【例 3】 (2016全国 2 文 8)某路口人行横 道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持 续时间为 40 秒.若一名行人来到该
7、路口遇到 红灯 ,则至少需要等待15 秒才出现绿灯的 概率为 A. 7 10 B . 5 8 C. 3 8 D. 3 10 【解析】 因为红灯持续时间为40 秒, 所以这 名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率 为 40 155 408 ,故选 B. 【考点】几何概型 【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的 “ 测度” 要有正确的认识,它只与大小有关, 而与形状和位置无关,在解题时,要掌握“ 测 度” 为长度、面积、体积、角度等常见的几何 概型的求解方法 【解题模板】生活中的几何概型度量区域 的构造方法: (1)审题:通过阅读题目,提炼相关信息 (2)建模:利用相关信息的特征,建立概率模 型
8、 (3)解模:求解建立的数学模型 (4)结论:将解出的数学模型的解转化为题目 要求的结论 【拓展练习】(2014 重庆文 15)某校早上 8: 00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早 上 7:307:50 之间到校,且每人在该时间 段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小 王至少早 5 分钟到校的概率为 _(用 数字作答 ) 【解析】设小王到校时间为x,小张到校时 间为 y, 则小张比小王至少早到5 分钟时满足 xy5. 如图,原点 O 表示 7:30,在平面直 角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成 的平面区域 (图中正方形区域 ), 该正方形区域 的面积为 400, 小张比小王至少早到5
9、 分钟对 应的图形 (图中阴影部分 )的面积为 1 2 15 15 225 2 ,故所求概率 225 2 P= 400 9 32 . 【例 4】在长度为 1 的线段上任取两点, 将线 段分成三段,试求这三条线段能构成三角形 的概率 【易错分析】不能正确理解题意,无法找 出准确的几何度量来计算概率 规范解答 【解析】设 x、y 表示 三段长度中的任意两个 因为是长度,所以应有 01xy, 1xyxy, 1xyyx, 所以 x 1 2 ,故图中阴影 部分符合构成三角形的条件 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面 生活中的几何概型问题 混淆长度型与面积型致误 第 41 讲几何概型 - 3 - 积的
10、 1 4 , 故这三条线段能构成三角形的概率为 1 4 . 【易错点】在等腰直角三角形ACB中,过直 角顶点 C在ACB内部作一条射线与线段AB 交于一点C,则AM 小于AC 的概率为 _ 【错解】 可用相应线段长度之比来度量,易 知 P AB AC AB ACa 2a 2 2 . 【正解】在ACB 内部射线CM 是 均匀分布的,所以 射线 CM 在任何 位置都是等可能 的。在AB 上取 ACAC,则 5 .67ACC, 故 满 足 条 件 的 概 率 为 4 3 90 5 .67 。 【温馨提醒】解决几何概型问题的易误点: (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概 型,导致错误 (2)利用
11、几何概型的概率公式时,忽视验证事 件是否具有等可能性,导致错误 1 【2015 陕西文 12】 设复数 错误!未找到 引用源。错误!未找到引用源。 ,若错误!未 找到引用源。,则错误!未找到引用源。 的概 率() A错误!未找到引用源。B 错误!未 找到引用源。 C错误!未找到引用源。D 错误!未 找到引用源。 【解析】 错误!未找到引用源。 如图可求得 错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 ,阴影面积等于 错误!未找 到引用源。 , 若错误!未找到引用源。,则错误!未找 到引用源。 的概率 错误!未找到引用源。, 故答案选 错误!未找到引用源。 【考点定位】 1.复数的模长; 2.
12、几何概型 . 2 (2015重庆文 15)设 p 在0,5上随机地取 值, 则方程 x2pxp 4 1 20 有实根的概率为 _ 【解析】方程 2 2320xpxp+-=有两个负 根 的充要条件是 2 12 12 44(32)0 20 320 pp xxp x xp 即 2 1, 3 p或2p,又因为0,5p,所以使 方程 2 2320xpxp+-=有两个负根的 p的取 值范围为 2 (,12,5 3 ,故所求的概率 2 (1)(52) 2 3 503 ,故填: 3 2 . 【考点定位】几何概率 . 【名师点睛】本题考查几何概率及一元二次 方 程 实 根 的 分 布 , 首 先 将 方 程 2
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