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第 41 讲几何概型 - 1 - 1几何概型 设 D 是一个可度量的区域 (例如线段、平面图 形、立体图形等 )，每个基本事件可以视为从 区域 D 内随机地取一点， 区域 D 内的每一点 被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可 以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点这时，事件A 发生的概率与 d 的测 度(长度、面积、体积等 )成正比，与 d 的形状 和位置无关把满足这样条件的概率模型称 为几何概型 2在几何概型中，事件A 的概率计算公式 P(A) d的测度 D的测度 . 3几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果 有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性 【例 1】( 2014 湖南文 5)在区间 错误！未找到 引用源。 上随机选取一个数 错误！未找到引 用源。 ，则错误！未找到引用源。 的概率为 （） 错误！未找到引用源。错误！未找到引 用源。错误！未找到引用源。错误！ 未找到引用源。 【解析】 在错误！未找到引用源。 上符合错 误！未找到引用源。 的区间为 错误！未找到 引用源。 ,因为区间 错误！未找到引用源。 的 区间长度为 错误！未找到引用源。 且区间错 误！未找到引用源。 的区间长度为 错误！未 找到引用源。 ,所以根据几何概型的概率计算 公式可得 错误！未找到引用源。,故选 B. 【考点定位】几何概型 【名师点睛】解几何概型的试题，一般先求 出实验的基本事件构成的区域长度（面积或 体积） ，再求出事件 错误！未找到引用源。 构 成的区域长度（面积或体积） ，最后代入几何 概型的概率公式即可 【拓展练习】 1(2009年高考福建 )点 A 为周 长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周 上随机取一点 B，则劣弧的长度小于 1 的 概率为 _ 【解析】 设事件M 为“劣弧的长度小于 1”，则满足事件 M 的点 B 可以在定点 A 的 两侧与定点 A 构成的弧长小于1 的弧上随机 取一点，由几何概型的概率公式得： P(M) 2 3. 【例 2】（2015 湖北理 7）在区间0, 1上 随机取两个数,x y，记 1 p为事件 “ 1 2 xy” 的 概率， 2 p为事件 “ 1 | 2 xy” 的概率， 3 p为事 件“ 1 2 xy ” 的概率，则（） A 123 pppB 231 ppp C 312 pppD 321 ppp 【解析 】因为,0,1x y，对事件 “ 1 2 xy” ， 如图（ 1）阴影部分 1 S ， 对事件 “ 1 | 2 xy” ，如图（ 2）阴影部分 2 S ， 对为事件 “ 1 2 xy” ，如图（ 3）阴影部分3S， 由图知，阴影部分的面积从下到大依次是 132 SSS，正方形的面积为111， 根据几何概型公式可得 231 ppp. （1）（2）（3） 【考点定位】几何概型 . 【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的 “ 测度 ” 要有正确的认识，它只与大小有关， 而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“ 测 度” 为长度、面积、体积、角度等常见的几何 概型的求解方法 【思维升华】数形结合为几何概型问题的 要 点 梳 理 与长度、角度有关的几何概型 与面积、体积有关的几何考点剖析 第 41 讲几何概型 “功夫”文科第一轮复习资料 - 2 - 解决提供了简捷直观的方法用图解题的关 键：用图形准确表示出试验的全部结果所构 成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的 区域，通用公式： P(A) 构成事件 A的区域的测度 试验的全部结果所组成的区域的测度 . 【拓展练习】（2014辽宁文 6）若将一个质点 随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中 AB=2，BC=1，则质点落在以 AB 为直径的半 圆内的概率是（） A错误！未找到引用源。B错误！未 找到引用源。C错误！未找到引用源。 D错误！未找到引用源。 【解析】设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事 件 A， 则 P(A) 阴影面积 长方形面积 1 2·1 2 1× 2 4. 思维点拨求随机点所在区域与所有区域的 面积或体积比 【例 3】 （2016全国 2 文 8）某路口人行横 道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持 续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到 红灯 ，则至少需要等待15 秒才出现绿灯的 概率为 A. 7 10 B . 5 8 C. 3 8 D. 3 10 【解析】 因为红灯持续时间为40 秒, 所以这 名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率 为 40 155 408 ，故选 B. 【考点】几何概型 【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的 “ 测度” 要有正确的认识，它只与大小有关， 而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“ 测 度” 为长度、面积、体积、角度等常见的几何 概型的求解方法 【解题模板】生活中的几何概型度量区域 的构造方法： (1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息 (2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模 型 (3)解模：求解建立的数学模型 (4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目 要求的结论 【拓展练习】（2014 重庆文 15）某校早上 8： 00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早 上 7：307：50 之间到校，且每人在该时间 段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小 王至少早 5 分钟到校的概率为 _(用 数字作答 ) 【解析】设小王到校时间为x，小张到校时 间为 y， 则小张比小王至少早到5 分钟时满足 xy5. 如图，原点 O 表示 7：30，在平面直 角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成 的平面区域 (图中正方形区域 )， 该正方形区域 的面积为 400， 小张比小王至少早到5 分钟对 应的图形 (图中阴影部分 )的面积为 1 2 × 15× 15 225 2 ，故所求概率 225 2 P= 400 9 32 . 【例 4】在长度为 1 的线段上任取两点， 将线 段分成三段，试求这三条线段能构成三角形 的概率 【易错分析】不能正确理解题意，无法找 出准确的几何度量来计算概率 规范解答 【解析】设 x、y 表示 三段长度中的任意两个 因为是长度，所以应有 01xy， 1xyxy， 1xyyx， 所以 x 1 2 ，故图中阴影 部分符合构成三角形的条件 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面 生活中的几何概型问题 混淆长度型与面积型致误 第 41 讲几何概型 - 3 - 积的 1 4 ， 故这三条线段能构成三角形的概率为 1 4 . 【易错点】在等腰直角三角形ACB中，过直 角顶点 C在ACB内部作一条射线与线段AB 交于一点C，则AM 小于AC 的概率为 _ 【错解】 可用相应线段长度之比来度量，易 知 P AB AC AB AC'a 2a 2 2 . 【正解】在ACB 内部射线CM 是 均匀分布的，所以 射线 CM 在任何 位置都是等可能 的。在AB 上取 ACAC',则 5 .67'ACC, 故 满 足 条 件 的 概 率 为 4 3 90 5 .67 。 【温馨提醒】解决几何概型问题的易误点： (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概 型，导致错误 (2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事 件是否具有等可能性，导致错误 1 【2015 陕西文 12】 设复数 错误！未找到 引用源。错误！未找到引用源。 ，若错误！未 找到引用源。，则错误！未找到引用源。 的概 率（） A错误！未找到引用源。B 错误！未 找到引用源。 C错误！未找到引用源。D 错误！未 找到引用源。 【解析】 错误！未找到引用源。 如图可求得 错误！未找到引用源。 ,错误！ 未找到引用源。 ，阴影面积等于 错误！未找 到引用源。 ， 若错误！未找到引用源。，则错误！未找 到引用源。 的概率 错误！未找到引用源。， 故答案选 错误！未找到引用源。 【考点定位】 1.复数的模长； 2.几何概型 . 2 （2015重庆文 15）设 p 在0,5上随机地取 值， 则方程 x2pxp 4 1 20 有实根的概率为 _ 【解析】方程 2 2320xpxp+-=有两个负 根 的充要条件是 2 12 12 44(32)0 20 320 pp xxp x xp 即 2 1, 3 p或2p，又因为0,5p，所以使 方程 2 2320xpxp+-=有两个负根的 p的取 值范围为 2 (,12,5 3 ，故所求的概率 2 (1)(52) 2 3 503 ，故填： 3 2 . 【考点定位】几何概率 . 【名师点睛】本题考查几何概率及一元二次 方 程 实 根 的 分 布 ， 首 先 将 方 程 2 2320xpxp+-=有两个负根的充要条件 找出来，求出p 的取值范围，再利用几何概 率公式求解，本题属于中档题，注意运算的 准确性 . 3 【2015 山东文 7】在区间 错误！未找到引 用源。 上随机地取一个数 错误！未找到引用 源。 ,则事件 “ 错误！未找到引用源。 ” 发生的 概率为 ( ) A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找 到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 【解析 】由错误！未找到引用源。 得，错误！ 未找到引用源。 ，所以，由几何概型概率的 计算公式得， 错误！未找到引用源。，故选错 误！未找到引用源。 . 【考点定位】 1.几何概型； 2.对数函数的性质 . 4. 在区间 1,4内取一个数 x， 则 2xx 21 4的 概率是 _ 【解析】不等式 2xx 21 4，可化为 x 2x20 ，则 1 x2 ， 考点练习 “功夫”文科第一轮复习资料 - 4 - 故所求概率为 2( 1) 4( 1) 3 5. 5.【2015湖北文 8】在区间 错误！未找到引 用源。 上随机取两个数 错误！未找到引用源。， 记错误！未找到引用源。 为事件 “ 错误！未找 到引用源。 ” 的概率， 错误！未找到引用源。 为事件 “ 错误！未找到引用源。” 的概率，则 （） A错误！未找到引用源。B错误！ 未找到引用源。 C错误！未找到引用源。D错误！ 未找到引用源。 【解析】 如图， 满足条件的x，y 构成的点 (x，y)在正方 形 OBCA 内，其面积为 1.事件“xy1 2”对 应的图形为阴影 ODE，其面积为 1 2× 1 2× 1 2 1 8，故 p1 1 8 1 2；事件 “xy 1 2”对应的图形 为斜线表示部分，其面积显然大于 1 2，故 p2 1 2，则 p1 1 2p2，故选 D. 【考点定位】本题考查几何概型和微积分基 本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域 和反比例函数所表示的区域. 【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积 分的几何意义、二元一次不等式所表示的区 域和反比例函数所表示的区域等内容，充分 体现了转化的数学思想在实际问题中的应 用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解 决实际问题的能力 . 6已知ABC 中，ABC60° ，AB2，BC 6，在 BC 上任取一点 D，则使ABD 为钝 角三角形的概率为 _ 【解析】如图，当 BE1 时， AEB 为直 角，则点 D 在线段 BE(不 包含 B、 E 点)上时，ABD 为钝角三角形；当BF4 时， BAF 为直角，则点 D 在线段 CF(不包含 C、F 点)上时， ABD 为钝角三角形所以 ABD 为钝角三角形的 概率为 12 6 1 2. 7.【2014 福建文 13】如图，在边长为1 的正 方形中，随机撒 1000粒豆子，有 180粒落到 阴 影 部 分 ， 据 此 估计 阴影 部 分 的 面 积 为 _. 【解析】由随机数的概念及几何概型得，错 误！未找到引用源。所以估计阴影部分的面 积为错误！未找到引用源。 . 【考点】随机数，几何概型. 【名师点睛】本题主要考查几何概型，几何 概型试题多以客观题形式出现,难度不大 .求 与面积有关的几何概型的概率计算方法通常 是把题中所表示的几何模型转化为封闭图形 的面积 ,然后求解，本题是把频率当作概率， 由概率反过来求面积 . 8 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到 点 O 的距离大于 1 的概率为 _ 【解析】正方体的体积为：2×2×28，以 O 为球心，1 为半径且在正方体内部的半球的 体积为：1 2× 4 3 r 31 2× 4 3 ×1 32 3 ，则点 P 到 点 O 的距离大于 1 的概率为： 1 2 3 8 1 12. 9(2013 ·湖北)在区间 2,4上随机地取一个 数 x，若 x 满足 |x| m 的概率为 5 6，则 m _. 【解析】由|x| m，得 m x m. 第 41 讲几何概型 - 5 - 当 m2 时，由题意得 2m 6 5 6， 解得 m2.5，矛盾，舍去 当 2n. 11 【2015 福建文 8】如图，矩形 错误！未找 到引用源。 中，点 错误！未找到引用源。在 错误！未找到引用源。轴上，点 错误！未找 到引用源。的坐标为 错误！未找到引用源。 且 点错误！未找到引用源。 与点 错误！未找到引用源。在函数 错误！未找 到引用源。 的图像上若在矩形 错误！未 找到引用源。 内随机取一点，则该点取自 阴影部分的概率等于（） A错误！未找到引用源。B错误！ 未找到引用源。C错误！未找到引用源。 D错误！未找到引用源。 【解析】由已知得 错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引 用源。 ，错误！未找到引用源。 则矩形 错误！未找到引用源。 面积为 错误！未找 到引用源。 ，阴影部分面积为 错误！未找 到引用源。 ，故该点取自阴影部分的概率 等于错误！未找到引用源。 【考点定位】几何概型 12(2014 ·湖北改编 )由不等式组 x0 ， y0 ， yx20 确定的平面区域记为1， 不 等式 组 xy1 ， xy 2 确定 的平面 区 域为 2，在 1中随机取一点，则该点恰好在2 内的概率为 _ 【解析】如图，平面区域 1就是三角形区 域 OAB，平面区域 2与平面区域 1的重叠 部分就是区域 OACD， 易知 C(1 2， 3 2)，故由几何概型的概率公式， 得所求概率 P OACD OAB S S 四边形 1 2 4 2 7 8 . 13一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5 米，4 米，3 米，地面三个角上各装有一个捕 蝇器(大小忽略不计 )， 可捕捉距其一米空间内 的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门 口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的 概率是 _ 【解析】屋子的体积为 5× 4× 360 米 3， 捕蝇器能捕捉到的空间体积为 1 8× 4 3×1 3× 3 2. 故苍蝇被捕捉的概率是 2 60 120 . 备选题 14设 f(x)和 g(x)是定义在同一区间上的两个 函数若对任意 x1,2，都有|f(x)g(x)| 8， 则称 f(x)和 g(x)是“ 友好函数 ” 设 f(x)ax， g(x)b x. (1)若 a1,4 ，b 1,1,4，求 f(x)和 g(x) 是“ 友好函数 ” 的概率 (2)若 a1,4，b1,4，求 f(x)和 g(x)是“ 友 好函数 ” 的概率 【解析】(1)设事件 A 表示 f(x)和 g(x)是“ 友 好函数 ” ， 则|f(x)g(x)|(x1,2)所有的情况有： x 1 x，x 1 x，x 4 x，4x 1 x，4x 1 x，4x 4 x， 共 6 种且每种情况被取到的可能性相同 又当 a0，b0 时，yaxb x在(0， b a )上递 “功夫”文科第一轮复习资料 - 6 - 减，在 ( b a ，) 上递增； 且 yx 1 x和 y4x 1 x在(0，) 上递增， 对 x1,2可使|f(x)g(x)| 8恒成立的情况 有 x1 x，x 1 x，x 4 x，4x 1 x， 故事件 A 包含的基本事件有4 种， P(A)4 6 2 3，故所求概率是 2 3. (2)设事件 B 表示 f(x)和 g(x)是“ 友好函数 ” ， a是从区间 1,4中任取的数，b是从区间 1,4 中任取的数， 点(a，b)所在的区域是长为3，宽为 3 的矩 形区域 要使 x1,2时，|f(x)g(x)| 8恒成立， 需 f(1)g(1)ab8 且 f(2)g(2)2ab 2 8， 事件 B 表示的点的区域是如图所示的阴影 部分 矩形区域的面积S3× 39， 阴影部分的面积 S阴1 2× (2 11 4 ) × 3 57 8 ， 根据几何概型的概率公式可得所求概率为 PS 阴 S 57 72 19 24. 1区分古典概型和几何概型最重要的是看基 本事件的个数是有限个还是无限个 2转化思想的应用 对一个具体问题，可以将其几何化，如建立 坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何 概型概率公式 (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关 的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上 即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述， 则可用这两个变量的有序实数对来表示它的 基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺 利地建立与面积有关的几何概型； (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描 述，则可用这三个变量组成的有序数组来表 示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体 积有关的几何概型 失误与防范 1准确把握几何概型的 “ 测度” 是解题关键 2几何概型中，线段的端点、图形的边框是 否包含在事件之内不影响所求结果. 方 法 技 巧