精校版高中数学人教B版选修2-3教学案:2.3.1 离散型随机变量的数学期望 Word版含解析.doc
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1、最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料2.3随机变量的数字特征23.1离散型随机变量的数学期望 设有12个西瓜,其中重5 kg的有4个,重6 kg的有3个,重7 kg的有5个问题1:任取一个西瓜,用X表示这个西瓜的重量,试想X可以取哪些值?提示:X5,6,7.问题2:X取上述值时对应的概率分别是多少?提示:,.问题3:试想每个西瓜的平均重量该如何求?提示:567.1离散型随机变量的均值或数学期望设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1,x2,xn,这些值对应的概率是p1,p2,pn则E(X)x1p1x2p2xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望),它刻画了这个离散型随机
2、变量的平均取值水平2超几何分布与二项分布的均值若离散型随机变量XB(n,p),则E(X)np;若离散型随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X).1对离散型随机变量均值的理解:(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值,是随机变量X本身固有的一个数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平(2)随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同;有相同均值的两个分布未必相同;两个不同的分布也可以有相同的均值2离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均数是一个随机变量,它随样本的不同而变化 求离散型随机变量的期望例1盒中装有
3、5节同牌号的五号电池,其中混有2节废电池现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及期望思路点拨明确X的取值,并计算出相应的概率,列出分布列后再计算期望精解详析X可取的值为1,2,3,则P(X1),P(X2),P(X3)1.抽取次数X的分布列为X123PE(X)1231.5.一点通求离散型随机变量的均值的步骤:(1)根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)由期望的定义求出E(X)1从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个,则这两个数乘积的数学期望是_解析:从1,2,3,4,5中任取不同的两个数,其乘
4、积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,取每个值的概率都是,E(X)(23456810121520)8.5.答案:8.52(江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率;(2)求X的分布列和数学期望解:(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28种,X0时,两向量夹角为直角共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P(X0)
5、.(2)两向量数量积X的所有可能取值为2,1,0,1,X2时,有2种情形;X1时,有8种情形;X1时,有10种情形所以X的分布列为:X2101PE(X)(2)(1)01.二项分布与超几何分布的均值例2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X,求X的概率分布列及数学期望E(X)思路点拨(1)利用对立事件发生的概率去求;(2)X服从二项分布,列出X的值并求其概率,列出概率分布列,并求其数学期望精解详析(1)
6、设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么P(C)1P()1p.解得p.(2)由题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3.故P(X0)C3,P(X1)C2,P(X2)C2,P(X3)C3.所以随机变量X的概率分布列为X0123P故随机变量X的数学期望:E(X)0123.一点通1若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布,可直接代入公式求得期望2常见的三种分布的均值设p为一次试验中成功的概率,则(1)两点分布E(X)p;(2)二项分布E(X)np;(3)超几何分布,即XH(n,M,N),则E(X).3有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,用X表示取到次品的个数,则E(X)等
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